1、 “对数平均数不等式”应用举隅江苏省姜堰中学 张圣官（225500）已知 为两不等的正实数，我们称 为 的“对数平均数” 它与 的,ablnab, ,ab“几何平均数 ”及“算术平均数 ”之间有如下不等关系：2ln2ab证明：不妨设 先证 ，即证 ，0lnababln令 ，设 ，(1)atb1()2l()fttt则 ，所以 在 递减，而 ，02)(2 tttf ()ft),(1)0f因此当 时， 恒成立，即 成立1t1()lnfttabln再证 ，即证 ，l2ab1)(2lba令 ， ，(1)tb()g(lntt则 ，所以 在 递增，而 ，因0)()(4)22 tttgg()t),1g(1)0
2、此当 时， 恒成立，即 成立1t1ln0tln2ab该不等式本身的证明乃通过构造函数，借助于导数作为工具，利用函数单调性而得在处理某些与指数、对数相关的不等式问题时，可以尝试应用它来帮助思考分析例 1 已知函数 ()xfea（1）当 时，求过点 的曲线 的切线方程；2a0,2P)(xfy（2）当 存在两个不同零点 时，求证： ()fx21x212x分析：第（1）题易得切线方程为 ；第（2）题中我们先要探究：当()yex存在两个不同零点 时，需要具备什么条件，又能推得什么结论？转化()fx(,212x为研究曲线 和直线 ，当直线与曲线相切时，设切点为 ，则切线xeyaxy),(0xe方程为 ，因
3、此 这样当 存在两个)(00x 200)1(0 eaxxef不同零点 时，必有 进一步思考，要证明,21222,a，可转化为证明 ，或 等思路12x121x1)(1x方法一：即要证 ，令 ，由于21)2,0(),(21tt，所以 ， 为方程)(2121xae)ln(22xax21,t的两根0lnln)tth由于 ，所以 在 递增，在 递减)1(1(2 tt )(th21,0）（ 1,设 ，则 ， 在 递增，)()htt),(从而，当 时 ，即 ，21,00)2(t )1()h所以 ，因此 ，即原不等式成立)(1t21t方法二：即要证 ，由于 ，)(21x)1(221xae因而 ，12121()
4、lnlxe令 ，则 ，,(),021 xtt 12ltlt在 递增，在 递减h()lnt(）（ 1设 ，其在 递减，所以 ，)ht),(1(t)0所以 ，从而 ，()12tt212tt由此得 ，即 )21x212x本题是近年来流传甚广的一道题，其条件结论非常优美以上两种方法散见于各种资料上，它们的特点均是通过构造辅助函数来帮助论证的总的来说，解题过程较为繁琐，而且要经过两次构造函数才行现在让我们换一种思路，将指数关系转化为对数关系，这样刚才的对数平均数不等式或许就能够帮得上忙以下解法令人拍案叫绝，真的是“大道至简”！方法三：由于 ，)1(221xae因而 ，121212()ln()l(1)x
5、x由对数平均数不等式知， ，1212()l()ln()xx从而 ，即 )(12x212x例 2（2010 年天津高考理科 21 题）已知函数 ()()xfeR（）求函数 的单调区间和极值；()fx（）已知函数 y= 的图象与函数 y= 的图象关于直线 对称，证明：当g()fx1x时， ；1x()fx（）如果 ，且 ，证明： 1212()fxf12x分析：（） 、 （）略 （）由前知， 是函数 的极值点，不妨设()f，则根据 ，有 ，即 ，按照常规思210x12()fxf1xe2x12xe路，一般设 ，则 ，然后通过构12()xet2112()lnlnttx造函数 来解决但如此需要两次构造函数过
6、程繁琐，而且还要用到()lntht像罗必塔法则这样高等数学的知识还是让我们调整一下思路，利用对数平均数不等式试试看将 两边取自然对数得， ，故 ，1xe2x 12lnlxx12lnx由对数平均数不等式知， ，即 1212lx12例 3 (2014 年江苏省南通二模试题) 设函数 ，其图像与 轴交于()xfeax两点，且 12(,0),AxB12x（）求实数 的取值范围；a（）求证： 12()0f解：（）由 ，当 时 ， 单调递增，不合题意；当xea()0fx()f时 在 递减，在 递增，则根据条件 有两个零点得0a()fx,ln)(ln,fx，从而实数 的取值范围为 ln20fa2ae（）由
7、，两式相减得 ，从而12xe21xe，1211()xxef在以上的对数平均数不等式中，将 分别赋值为 ，则得,ab21,xe，即 ，2112xxe12112()0xf又 是单调增函数，且 ，()xfa122故 1212)0f例 4（2011 年辽宁高考理科压轴题）已知函数 2()ln()fxax（1）讨论函数 的单调性；()fx（2）设 ，证明：当 时 ， ；0a1a1()()fxfa（3）若函数 的图象与 轴交于 A、B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 ，证()yfx 0x明： 0()fx分析：（1） 、 （2）略；（3）由（1）知 时 在 单调递减且0a()yfx0,)已知函数 的图象与 轴交于 A、B 两点，设()fa()yfx，由 得，1212(,0),AxBxa12()0fxf， ，故ln()0alna，所以 21212112l ()xxxx1212ln()xx故要证 ，即证 ，即证 ，也即只0()fx120xa1212l()x需证 由对数平均数不等式，命题得证12121212lnlnx
