1、1分层限时跟踪练(十六)(限时 40 分钟)基 础 练 扣 教 材 练 双 基一、选择题1函数 f(x) x33 x1，若对于区间3,2上的任意 x1， x2，都有| f(x1) f(x2)| t，则实数 t 的最小值是( )A20 B18 C3 D0【解析】 因为 f( x)3 x233( x1)( x1)，令 f( x)0，得 x1，所以1,1 为函数的极值点又 f(3)19， f(1)1， f(1)3， f(2)1，所以在区间3,2上 f(x)max1， f(x)min19.又由题设知在区间3,2上 f(x)max f(x)min t，从而 t20，所以 t 的最小值是 20.【答案】
2、A2已知 f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足 xf( x) f(x)0，对任意正数 a， b，若 a b，则必有( )A af(b) bf(a) B bf(a) af(b)C af(a) bf(b) D bf(b) af(a)【解析】 设函数 F(x) (x0)，则 F( x) f xx (f xx ).因为 x0， xf( x) f(x)0，所以 F( x)0，故函数 F(x)在xf x f xx2(0，)上为减函数又 0 a b，所以 F(a) F(b)，即 ，则 bf(a)f aa f bb af(b)【答案】 A3(2015兰州模拟)已知定义在 R 上的可导函数 f(x)
3、的导函数为 f( x)，若对于任意实数 x，有 f(x) f( x)，且 y f(x)1 为奇函数，则不等式 f(x)e x的解集为( )A(，0) B(0，)C(，e 4) D(e 4，)【解析】 因为 y f(x)1 为奇函数，且定义域为 R，所以 f(0)10，得 f(0)1，设 h(x) ，则 h( x) ，因为 f(x) f( x)，所以f xex ex f x f x ex 2h( x)0，所以函数 h(x)是 R 上的减函数，所以不等式 f(x)e x等价于 1f xex，所以 x0，故选 B.f 0e02【答案】 B4设 f(x)|ln x|，若函数 g(x) f(x) ax
4、在区间(0,4)上有三个零点，则实数 a的取值范围是( )A. B.(0，1e) (ln 22 ， e)C. D.(ln 22 ， 1e) (0， ln 22 )【解析】 由题意，可知方程|ln x| ax 在区间(0,4)上有三个根，令 h(x)ln x，则 h( x) ，又 h(x)在( x0，ln x0)处切线 yln x0 (x x0)过原点，得 x0e，即曲1x 1x0线 h(x)过原点的切线的斜率为 ，而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为 ，所以实1e ln 22数 a 的取值范围是 .(ln 22 ， 1e)【答案】 C5(2014全国卷)已知函数 f(x) ax33 x
5、21，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且x00，则 a 的取值范围是( )A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)【解析】 f( x)3 ax26 x，图(1)当 a3 时， f( x)9 x26 x3 x(3x2)，则当 x(，0)时， f( x)0；x 时， f( x)0，注意 f(0)1， f 0，则 f(x)的大致图象如图(1)所(23， ) (23) 59示不符合题意，排除 A、C.图(2)3当 a 时， f( x)4 x26 x2 x(2x3)，则当 x 时， f( x)43 ( ， 32)0， x(0，)时， f( x)0时， xf( x) f(x)0 成立的 x 的取值范
6、围是( )A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)6C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)【解析】 构造函数 y g(x) ，通过研究 g(x)的图象的示意图与性质得出使f xxf(x)0 成立的 x 的取值范围设 y g(x) (x0)，则 g( x) ，当 x0 时， xf( x)f xx xf x f xx2 f(x)0， g(x)0 时， f(x)0,00， x0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)，故选 A.【答案】 A2(2014辽宁高考)当 x2,1时，不等式 ax3 x24 x30 恒成立，则实数 a的取值范围是( )A5，3 B. 6， 98C6，2 D4，3【解析
7、】 当 x0 时， ax3 x24 x30 变为 30 恒成立，即 aR.当 x(0,1时， ax3 x24 x3， a ，x2 4x 3x3 a max.x2 4x 3x3 设 (x) ，x2 4x 3x3 ( x) 2x 4 x3 x2 4x 3 3x2x6 0，x2 8x 9x4 x 9 x 1x4 (x)在(0,1上递增， (x)max (1)6.7 a6.当 x2,0)时， a ，x2 4x 3x3 a min.x2 4x 3x3 仍设 (x) ， ( x) .x2 4x 3x3 x 9 x 1x4当 x2，1)时， ( x)0.当 x(1,0)时， ( x)0.当 x1 时， (x
8、)有极小值，即为最小值而 (x)min (1) 2， a2.1 4 3 1综上知6 a2.【答案】 C3已知 f(x) x36 x29 x abc， a b c，且 f(a) f(b) f(c)0.现给出如下结论： f(0)f(1)0； f(0)f(1)0； f(0)f(3)0； f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_【解析】 f( x)3 x212 x93( x1)( x3)，由 f( x)0，得 1 x3，由 f( x)0，得 x1 或 x3， f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又 a b c， f(a) f(b) f(c)0， y 极大值 f(1)
9、4 abc0， y 极小值 f(3) abc0，0 abc4. a， b， c 均大于零，或者 a0， b0， c0.又 x1， x3 为函数 f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图 f(0)0， f(0)f(1)0， f(0)f(3)0，正确结论的序号是.【答案】 4已知函数 f(x) x ， g(x) x22 ax4，若任意 x10,1，存在 x21,2，1x 18使 f(x1) g(x2)，则实数 a 的取值范围是_【解析】 由于 f( x)1 0，因此函数 f(x)在0,1上单调递增，1 x 1 2所以 x0,1时， f(x)min f(0)1.根据题意可知存在 x1,2，使得
10、g(x) x22 ax41，即 x22 ax50，即a 能成立，令 h(x) ，x2 52x x2 52x则要使 a h(x)在 x1,2能成立，只需使 a h(x)min，又函数 h(x) 在 x1,2上单调递减，x2 52x所以 h(x)min h(2) ，故只需 a .94 94【答案】 94， )5(2015江西师大附中模拟)已知函数 f(x)( a1)ln x ax21.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)设 a1，若对任意 x1， x2(0，)，且 x1 x2，恒有| f(x1) f(x2)|4| x1 x2|，求 a 的取值范围【解】 (1)函数 f(x)的定义域为(0，)，
11、f( x) 2 ax .a 1x 2ax2 a 1x当 a0 时， f( x)0，故 f(x)在区间(0，)上单调递增；当 a1 时， f( x)0，故 f(x)在区间(0，)上单调递减；当1 a0 时，令 f( x)0，解得 x ， a 12a当 x 时， f( x)0；(0， a 12a)当 x 时， f( x)0.( a 12a， )故 f(x)在区间 上单调递增 ，在区间 上单调递减(0， a 12a) ( a 12a， )(2)不妨设 x1 x2，又 a1，故由(1)知 f(x)在区间(0，)上单调递减，从而对任意 x1， x2(0，)，恒有| f(x1) f(x2)|4| x1 x
12、2|f(x1) f(x2)4( x2 x1)f(x1)4 x1 f(x2)4 x2.令 g(x) f(x)4 x， x(0，)，则 g( x) 2 ax4.a 1x9因为 g(x1) g(x2)，所以 g(x)在区间(0，)上单调递减，所以 g( x) 2 ax40，a 1x从而 a 2， 4x 12x2 1 2x 1 2 4x2 22x2 1 2x 1 22x2 1故 a 的取值范围为(，26(2015山东高考)设函数 f(x)( x a)ln x， g(x) .已知曲线 y f(x)在点x2ex(1， f(1)处的切线与直线 2x y0 平行(1)求 a 的值；(2)是否存在自然数 k，使
13、得方程 f(x) g(x)在( k， k1)内存在唯一的根？如果存在，求出 k；如果不存在，请说明理由；(3)设函数 m(x)min f(x)， g(x)(minp， q表示 p， q 中的较小值)，求 m(x)的最大值【解】 (1)由题意知，曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线斜率为 2，所以 f(1)2.又 f( x)ln x 1，所以 a1.ax(2)当 k1 时，方程 f(x) g(x)在(1,2)内存在唯一的根设 h(x) f(x) g(x)( x1)ln x ，x2ex当 x(0,1时， h(x)110，4e2 4e2所以存在 x0(1,2)，使得 h(x0)0.因为 h
14、( x)ln x 1 ，1x x x 2ex所以当 x(1,2)时， h( x)1 0，1e当 x(2，)时， h( x)0，所以当 x(1，)时， h(x)单调递增所以当 k1 时，方程 f(x) g(x)在( k， k1)内存在唯一的根(3)由(2)知，方程 f(x) g(x)在(1,2)内存在唯一的根 x0，且 x(0， x0)时， f(x) g(x)，x( x0，)时， f(x) g(x)，所以 m(x)Error!当 x(0， x0)时，若 x(0,1， m(x)0；10若 x(1， x0)，由 m( x)ln x 10，1x可知 00， m(x)单调递增；x(2，)时， m( x)0， m(x)单调递减可知 m(x) m(2) ，且 m(x0)m(2)4e2综上可得，函数 m(x)的最大值为 .4e2
