1、12017 届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第六讲 导数应用(二)课时作业 理1已知函数 f(x) x22 aln x( a2) x， aR.12(1)当 a1 时，求函数 f(x)的图象在点(1， f(1)处的切线方程(2)是否存在实数 a，对任意的 x1， x2(0，)且 x1 x2有 a 恒成立？f x2 f x1x2 x1若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由解析：(1)函数 f(x) x22 aln x( a2) x， f( x) x ( a2)12 2ax(x0)当 a1 时， f( x) ， f(1)2，则所求 x
2、2 x ax x 2 x 1x的切线方程为 y f(1)2( x1)，即 4x2 y30.(2)假设存在这样的实数 a 满足条件，不妨设 0a 知 f(x2) ax2f(x1) ax1成立，f x2 f x1x2 x1令 g(x) f(x) ax x22 aln x2 x，则函数 g(x)在(0，)上单调递增，12则 g( x) x 20，即 2a x22 x( x1) 21 在(0，)上恒成立，则 a .2ax 12故存在这样的实数 a 满足题意，其取值范围为 .( ， 122已知函数 f(x) xln x( x1)( ax a1)( aR)(1)若 a0，判断函数 f(x)的单调性；(2)
3、若 x1 时， f(x)0， f(x)为增函数(2)由题意知 f(x) xln x( x1)( ax a1)0 在 x(1，)上恒成立， f(x)为(1，)上的增函数， f(x)f(1)0，即 f(x)1，只需 ln x 0 在(1，)上恒成立，故 h(x)为增函数， h(x)h(1)0，不合题意若 00， h(x)为增函数，12 (1， 1 aa ) h(x)h(1)0，不合题意，若 a ， x(1，)时， h( x)1 时， f(x)0)(1)若 a1，证明： y f(x)在 R 上单调递减；(2)当 a1 时，讨论 f(x)零点的个数解析：(1)证明：当 x1 时， f( x) 10，
4、f(x)在1，)上单调递减， f(x) f(1)1x0；当 x0.所以 y f(x)在 R 上单调递减(2)若 x a，则 f( x) a a1)，1x 1a所以此时 f(x)单调递减，令 g(a) f(a)ln a a21，则 g( a) 2 a2 时， f( x)0， f(x)单调递增，又 f(0)e 1 0， f 0，1 1所以此时 f(x)没有零点综上，当 12 时， f(x)有一个零点5(2016张掖模拟)设函数 f(x)ln x ax(aR)(e2.718 28是自然对数的底数)(1)判断 f(x)的单调性；(2)当 f(x)0，此时 f(x)在(0，)上是增函数，4当 a0 时，
5、 x 时， f( x)0，此时 f(x)在 上是增函数， x 时，(0，1a) (0， 1a) (1a， )f( x)0 时， f(x)在 上是增函数，(0，1a)在 上是减函数(1a， )(2)f(x) 在(0，)上恒成立，ln xx设 g(x) ，则 g( x) ，ln xx 1 ln xx2当 x(0，e)时， g( x)0， g(x)为增函数，当 x(e，)时， g( x)0 时， f( x)0，5所以 f(x)( x2 x1)e x在(，1)上单调递减，在(1,0)上单调递增，在(0，)上单调递减，所以 f(x)在 x1 处取得极小值 f(1) ，在 x0 处取得极大值 f(0)1.3e令 g(x) x3 x2 m，得 g( x) x2 x.13 12当 x0 时， g( x)0；当1 x0 时， g( x)0，所以 g(x)在(，1)上单调递增，在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增故 g(x)在 x1 处取得极大值 g(1) m，在 x0 处取得极小值 g(0) m.16因为方程 f(x) x3 x2 m 有 3 个不同的根，13 12即函数 f(x)与 g(x)的图象有 3 个不同的交点，所以Error! ，即Error! .所以 m1.3e 16
