1、1 同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用.一、知一求二型例 1 已知 sin ， ，则 tan _.255 2解析 由 sin ，255且 sin2cos 21，得 cos ，55因为 ，可得 cos ，2 55所以 tan 2.sin cos 答案 2点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.二、 “1”的妙用例 2 证明： .1 sin6x cos6x
2、1 sin4x cos4x 32证明 因为 sin2xcos 2x1，所以 1(sin 2xcos 2x)3， 1(sin 2xcos 2x)2，所以1 sin6x cos6x1 sin4x cos4xsin2x cos2x3 sin6x cos6xsin2x cos2x2 sin4x cos4x3sin4xcos2x 3cos4xsin2x2sin2xcos2x3sin2x cos2x2 .32即原命题得证.点评 本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.三、齐次式型求值例 3 已知 tan 2，求值：(1) _ ；2sin 3cos 4sin
3、 9cos (2)2sin23cos 2_.解析 (1)因为 cos 0，分子分母同除以 cos ，得 1.2sin 3cos 4sin 9cos 2tan 34tan 9 22 342 9(2)2sin23cos 2 ，2sin2 3cos2sin2 cos2因为 cos2 0 ，分子分母同除以 cos2，得 1.2sin2 3cos2sin2 cos2 2tan2 3tan2 1 222 322 1答案 (1)1 (2)1点评 这是一组在已知 tan m 的条件下，求关于 sin 、cos 的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于 sin 、cos 的齐次式(或能化为齐
4、次式) 的三角函数式.(2)因为 cos 0，所以分子、分母可同时除以 cosn (nN ).这样可以将所求式化为关于 tan 的表达式，整体代入 tan m 的值求解.2 单调不“单调” ，应用很“奇妙”三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容.利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等.下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助.一、信心体验比较大小例 1 比较 cos ，sin ， cos 的大小.514 27 87解 因为 sin cos( )cos ，cos cos ，又 0cos cos ，7 314 514即co
5、s sin cos .87 27 514点评 比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行.将不同名的三角函数化为同名三角函数；用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小.由单调性得出各值的大小关系.二、重拳出击求解最值例 2 已知 f(x) sin(2x )，xR .求函数 f(x)在区间 ， 上的最小值和最大值.24 8 34解 因为当 2k 2x 2k (kZ)，2 4 2即 k xk (kZ)时，8 38函数 f(x) sin(2x )单调递增；24当 2k 2x 2k (kZ)，2 4 32即 k xk (kZ)时，函数单调递减，38 78所以 f(x
6、) sin(2x )在区间 ， 上为增函数，在区间 ， 上为减函数.24 8 38 38 34又 f( ) 0，f( ) ，f( )1.8 38 2 34故函数 f(x)在区间 ， 上的最大值为 ，最小值为1.8 34 2点评 求三角函数的最值是一类重要的三角问题，也是考试中经常出现的考点，解题过程中要注意将 x 看作一个整体.利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础知识的综合运用.三、触类旁通解不等式例 3 若 0 cos ，求 的取值范围.33解 当 时，不等式成立，当 时，不等式不成立.当 0 ， )( ，2时，cos 2 32 2 320，则原不等式可化为 tan ，根据正切函数的单调
7、性得， cos x 成立的 x 的取值范围是_.解析 在同一坐标系中画出 ysin x，ycos x，x(0，2)的图象如图.由图知，x( ， ).4 54答案 ( ， )4 54点评 求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单.二、分类讨论思想例 2 证明： (1) ncos ，nZ .2sin ncos nsin n sin n证明 当 n 为偶数时，令 n2k，kZ ，左边2sin 2kcos 2ksin 2k sin 2k cos .2sin cos sin sin 2sin cos 2sin 右边(1) 2kcos cos ，左边右边.当 n 为奇数时，令 n2
8、k1，kZ ，左边2sin 2k cos 2k sin 2k sin 2k 2sin cos sin sin cos .2 sin cos sin sin 2sin cos 2sin 右边(1) 2k1 cos cos ，左边右边.综上所述， (1) ncos ，2sin ncos nsin n sin nnZ 成立.点评 解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是k(kZ )的形式，往往对参数 k 进行讨论.常见的一些关于参数 k 的结论有 sin(k)(1)ksin (kZ)；cos(k )(1) kcos (kZ)；sin(k)( 1) k1 sin (kZ)；c
9、os(k)(1) kcos (kZ)等.三、函数与方程的思想例 3 函数 f(x) cos xsin 2x( x )的最大值是_.36 3解析 f(x) cos xsin 2xcos 2x cos x13 3(cos x )2 ，32 74设 cos xt，因为 x ，所以由余弦函数的单调性可知， cos x ，即 t ，又函6 3 12 32 12 32数 f(t)(t )2 在 ， 上单调递增，故 f(t)maxf ( ) ，所以 f(x)的最大值为 .32 74 12 32 32 54 54答案 54点评 遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值.四、转化与化归思想例 4
10、 比较下列每组数的大小.(1)tan 1，tan 2，tan 3；(2)tan( )与 tan( ).134 175解 (1)因为 tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，又因为 tan ，425 2 2 4 25 4 25即 tan( )tan( ).134 175点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想.4 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通
11、过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.一、定义域例 1 函数 y 的定义域为_.cos x 12解析 由题意得 cos x ，12所以 2k x2k ，k Z.3 3即函数的定义域是2k ，2k ，k Z.3 3答案 2k ，2k ，k Z3 3点评 解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.二、值域与最值例 2 函数 ycos(x )，x (0 ， 的值域是_.3 3解析 因为 00，然后把 x 看做一个整体，根据 ysin x 的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的 k
12、进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.四、周期性与对称性例 4 已知函数 f(x)sin(2x )(0)的最小正周期为 ，则函数 f(x)的图象的一条对称轴方3程是( )A.x B.x C.x D.x12 6 512 3解析 由 T ，得 1，22所以 f(x)sin(2x )，3由 2x k，k Z，3 2解得 f(x)的对称轴为 x ，kZ ，512 k2所以 x 为 f(x)的一条对称轴，选 C.512答案 C点评 解本题的关键是先由周期公式求得 的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征对应的函数值为函数的最值解决.同样地
13、，求解对称中心也有两种方法.五、奇偶性例 5 若函数 f(x)sin (0，2)是偶函数，则 等于( )x 3A. B. C. D.2 23 32 53解析 函数是偶函数，所以函数关于 x0 对称；由 k 可得函数的对称轴方程是 x 3k，kZ，令 3k 0，x 3 2 32 32解得 3k ，kZ，32又 0，2)，故 .32答案 C点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数函数图象关于 y 轴对称；奇函数函数图象关于原点对称.5 数形结合百般好，形象直观繁琐少构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有
14、着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.一、确定函数的值域例 1 定义运算 ab 为 abError!例如，121，则函数 f(x)sin xcos x 的值域为( )A.1， 1 B. 22，1C. D. 1，22 1， 22解析 根据题设中的新定义，得 f(x)Error!作出函数 f(x)在一个周期内的图象，如图可知函数 f(x)的值域为 . 1，22答案 C点评 有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.二、确定零点个数例 2 函数 f(x) xsin x 在区间0，2上的零点个数为 _.(12)解析 在同一直角坐标系
15、内，画出 y x及 ysin x 的图象，由图象可观察出交点个数为 2.(12)答案 2点评 有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.三、确定参数的值例 3 已知 f(x)sin(x )(0)，f f ，且 f(x)在区间 上有最小值，无最大值，则3 (6) (3) (6，3)_.解析 f(x) sin (0)且 f f ，(x 3) (6) (3)又 f(x)在区间 内只有最小值、无最大值，(6，3)画出函数大致图象，如图所示，f(x)在 处取得最小值.6 32 4 2k (kZ )，4 3 28k (kZ).1030 ，当 k1 时，8 ；103 143
16、当 k2 时，16 ，此时在区间 内已存在最大值 .故 .103 383 (6，3) 143答案 143点评 本小题考查对 yA sin(x)的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点：一是 f(x)在 处取得最小值；二是在区间 内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以4 (6，3)帮助解题.四、判断函数单调性例 4 设函数 f(x) (xR)，则 f(x)( )|sin(x 3)|A.在区间 上是增函数23，43B.在区间 上是增函数34，1312C.在区间 上是减函数 8，4D.在区间 上是减函数3，56解析 作出函数 y 的图象如图所示.|sin(x 3)|由图象可知 B 正确.答
17、案 B点评 形如 f(x)|Asin(x )k|(A0，0)的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解.五、确定参数范围例 5 当 0x1 时，不等式 sin kx 恒成立，则实数 k 的取值范围是_.x2解析 作出函数 ysin ，ykx 的函数图象，如图所示 .x2当 k0 时，显然成立；当 0k1 时，由图象可知：sin kx 在 x0，1上成立.x2综上所述，k1.答案 (，1点评 数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断.本题讨论 ykx 与 ysin 的图象关系时，不要忘记 k0 的情况.x2六、研究方程的实根例 6 已知方程 sin k 在 0x 上有两个实数根 x1，x 2，求实数 k 的取值范围，并2 (x 4)求 x1x 2 的值.解 在同一坐标系内作出函数 y1 sin (0x )与 y2k 的图象，如图所示.2 (x 4)当 x0 时，y 1 sin 1.2 (0 4)所以当 k1 ， )时，两曲线在0 ， 上有两个交点，即方程有两个实数根 x1、x 2，且 x1、x 22关于 x 对称，4x1x 2 .2故实数 k 的取值范围是1 ， )，且 x1x 2 .22点评 本题通过函数图象的交点个数判断方程实数根的个数，应重视这种方法.
