1、2018 年安徽省“江南十校”综合素质检测理科数学一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为虚数单位，则 （ ）1iA B C D2i12i12i12i2.已知集合 ， ，则（ ）|ln()xyx|xeA B|0B 1|02AxC D1|2Rx()RC3. 是 上奇函数，对任意实数都有 ，当 时，()f 3)2fxf13(,)2x，则 （ ）2log1)x(08)(219fA B C D 4.在区间 上随机取两个数， ，则函数 有零点的概率是（ ）0, 21()4fxabA B C D1223635.下列说法中正
2、确的是（ ）“ ，都有 ”的否定是“ ，使 ”.0x210x0x201x已知 是等比数列， 是其前项和，则 ， ， 也成等比数列.nanSnS2n32nS“事件 与事件 对立”是“事件 与事件 互斥”的充分不必要条件.ABAB已知变量， 的回归方程是 ，则变量， 具有负线性相关关系.y201yxyA B C D6.执行如图所示的程序框图，输出的 和的值分别是（ ）SA ， B ， C ， D ， 202016167.古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”.意思是：“今有蒲草第一天，长为尺；莞生长第一天，长为尺.以后蒲
3、的生长长度逐天减半，莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等？”以下给出了问题的个解，其精确度最高的是（结果保留一位小数，参考数据： ， ） （ ）lg20.3l.48A 日 B 日 C 日 D 日1. 152.63.08.在 中，角 ， ， 所对的边分别为， ， ，且 ， ，则CAbac22bca的值为（ ）sincbBA B C D1232239.某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ）A B C D3424(21)4(2)4(1)10. 的展开式中各项系数之和为，则该
4、展开式中常数项为（ ）51()2axxA B C D4020204011.若函数 的导函数 ， 的部分图象()f()cos()fAx(,)2(fx如图所示， ，当 时，则 的最大值为（ 12gxf12,31(gx）A B C D 312313212.已知函数 ，若对任意实数 ，都有2()()xfxae)aR123,0,x，则实数的取值范围是（ ）123()fxA B C D,4)e1,2),4e,4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 ， ，实数 满足 ，则 (2,0)a(1,)bab14.实数、 满足 ，则 的取值范围是 y312x1yx15.正四棱柱
5、底面边长为，侧棱长为， 、 分别为棱 、 的中1ABCDEF1BDC点，则四面体 的外接球的表面积为 FE16.已知双曲线 ， 的焦点分别在轴， 轴上，渐近线方程为 ，离心率分别为12yyxa， .则 的最小值为 1e212e三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分17.等差数列 的首项 ，公差 ，前项和 满足 .na*1N1,35dnS512（1）求数列 的通项公式；n（2）若 ，数列 的前项和为 ，求证 .94nnba21nbnT12n18.习
6、近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前， “日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足千步的人为“不健康生活方式者” ，不少于 千步的人为“超健康生活方式者” ，其他为“一般生10活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校 名教职工，统计他们的日行步数，按步数4分组，得到频率分布直方图如图所示：（1）求 名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数） ；40（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布 ，其中 为2(
7、,)N样本平均数，标准差 的近似值为 ，求该校被抽取的 名教职工中日行步数（千步）2.540的人数（结果四舍五入保留整数） ；(,45)（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人元；“一般生活方式者”奖励金额每人 元；“超健康生活方式者”奖励金额每人 元.求工会10 20慰问奖励金额 的分布列和数学期望.X附：若随机变量服从正态分布 ，2(,)N则 ， .()0.68P2)0954P19.如图，在以 、 、 、 、 、 为顶点的五面体中，平面 平面 ，ABCDEFCDEFAB，四边
8、形 为平行四边形，且 .FCB（1）求证： ；CDBF（2）若 ， ，直线 与平面 所成角为 ，求平面2AE2BFACD45与平面 所成锐二面角的余弦值.20.线段 为圆 ： 的一条直径，其端点 ， 在抛物线 ：BM2106xyBC上，且 ， 两点到抛物线 焦点的距离之和为 .2(0)xpyAB21（1）求直径 所在的直线方程；（2）过 点的直线交抛物线 于 ， 两点，抛物线 在 ， 处的切线相交于 点，CPQCPQN求 面积的最小值.PQN21.已知函数 .2()ln()fxax0,)aR（1）求函数 的单调递增区间；（2）讨论函数 零点的个数.()fx（二）选考题：共 10 分.请考生在
9、22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （ 为参数， ） ，在xoy1Ccos2inxy0以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程是 ，等边C4的顶点都在 上，且点 ， ， 依逆时针次序排列，点 的极坐标为 .ABC2ABA(,)6（1）求点 ， ， 的直角坐标；（2）设 为 上任意一点，求点 到直线 距离的取值范围.P1PC23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， .()2fxxaR（1）当 ，解不等式 ；a()f（2）求证： .1()2fx2018 年安徽省“江南
10、十校”综合素质检测数学（理科）解析及评分标准一、选择题1-5: CBADD 6-10: ACDAD 11、12：CD二、填空题13. 或 14. 15. 16. 1531,42172三、解答题17.解：（1） ， ，得 ，512S1106ad18ad ， ，3d83又 ， ， ，*1aN14 .94n（2） ， ， ，nnba4b216()nb18()2n1324nT21n8(5611)2n.1)22n18.解：（1） 0.4.830.15.47x0.169.10.23.6.97（2） ， ， ，(7,25)N:(4.9.5)0682P(12)0.954P .(4.P12(.)3走路步数 的总
11、人数为 人.,).134（3）由题意知 的可能取值为 ， ， ， ， ，X400， ，(40)P2.1.C()PX12.076.1824C，22.76.4， .(1)X1.08(0)2.1则 的分布列为： 13040P0.140.8240.64.182.1.40.3EX618219.解：（1）过 作 交 于 ，连接 ，由平面 平面 ，得FOCDBOCDEFAB平面 ，因此 .OABB ， ， ，90F ， ，C由已知 得 为等腰直角三角形，因此 ，又 ，45DBOCOBCDFO 平面 ， .FFB（2） ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，/ABCDEFCDEF/ABCDEF平面 平面 ， ，EF
12、/AB由（1）可得 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标OO系 ，由题设可得 ，进而可得 ， ， ，Oxyz45FBO1,20A（ ） ,B（ ） 0,1C（ ）， ， ，0,1)D（ (,1)E(0,)设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，A1,mxyz0mDE1xyz可取 ，(1,0)设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，BCF2(,)nxyz0nBCF20xyz可取 ，(1,)n则 ，cos,mn263二面角的余弦值为 .6320.解：（1）设 ， ，抛物线 的焦点为 ，则 ，1(,)Axy2(,)BCF12AByp又 ，故 ， ，120yp1于是 的方程为 .C2xy，
13、则 ，21xy1212x 的直线方程为 .AB30y（2）不妨记 ， ， ，直线的方程为 ，1(,)Px2(,)Q0(,)Nxy(1)5ykx联立 得 ，()5yk5k则 ， ，12x21P420k又因为 ，则 ，0101()yx2101xy同理可得： ，22y故 ， 为一元二次方程 的两根，1x220xy ，05yk点 到直线 的距离 ，NPQ210kd240k，12NPS 322(40)k32()16 时， 的面积 取得最值 .kS21.解：（1）当 时， 的定义域为 ，0a()fx(0,)，令 得：1()2fx2121ax， ，1804a2804x 的单调递增区间为 .()fx2(,)当
14、 时， 的定义域为 ， ，0a()f,01()2fxax21a当 即 时， 的单调增区间为 ，1818a()f(,0)当 ，即 时， .001 )xx21x的单调递增区间为 和 .()fx2(,)1(,0（2）由（1）知当 时， 在 内单调递增， ，8afx)()0fa故 只有一个零点 ，()fx当 时， 在 处取极大值， 处取极小值.08()fx21x由 知 ，而 ，则 ，12xa1214a2()0ffa，2111()ln()fx11ln()x ， ， ，1x1120x1()0fx当 时，函数 只有一个零点 ，0a()fa当 时，令 ，()1lngfa， 在 单调递减，在 单调递增，a()0
15、,1(1,)， （当且仅当 时，等号成立） ，min() ()gfai） 时，1a， ， ，84a1()0f()f由（1）函数单调性知， ，所以函数在 存在零点，8()4fa81(,)4a 在 有两个零点.()fx0,)ii） 时，1a， ， ，84()0fa(1)f同理可得函数在 存在零点，8(1,)4 在 有两个零点.()fx0,)iii） 时，1a，函数在 有一个零点.()ff(0,)综上所述：当 或 时，函数有一个零点，0a1当 且 时，函数有两个零点.22.解：（1）由 ， 可得点 的直角坐标 ，cosxsinyA(23,)由已知， 点的极坐标为 ，可得 两点的直角坐标为 ，B5(4,)6BB点的极坐标为 ，同理可得 两点的直角坐标为 .C3(4,)2C(0,4)C（2） 直线的方程为 ，B40xy设点 ，则点 到直线 距离(cos,in)P(0)PB（其中 ， ） ，32d7sin()22cos73sin7因为 ，所以 ，所以 ，03in()17所以 .437,2d23.解：（1）当 ，1a()21fxx或 或23xx3x或 或1或 ，1x3所以不等式的解集为 .1|3x或（2） ()2fxa2|2ax|2ax.|a()|1|
