1、一元二次方程根与系数的关系习题朱发栋准备知识回顾 ：1、一元二次方程 的求根公式为)0(2acbxa。4(bx2、一元二次方程 根的判别式为：)(2cx acb42（1） 当 时，方程有两个不相等的实数根。0（2） 当 时，方程有两个相等的实数根。（3） 当 时，方程没有实数根。反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。韦达定理相关知识1 若一元二次方程 有两个实数根 ，那么 )0(2acbxa 21x和 21x， 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的21x关系，简称韦达定理。2、如果一元二次方程 的两个根是 ，则 02qpx21x和 2
2、1x， 。21x3、以 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是和 0)(212124、在一元二次方程 中，有一根为 0，则 ；有一)0(acbxa c根为 1，则 ；有一根为 ，则 ；若两根1ba互为倒数,则 ；若两根互为相反数，则 。c基础运用例 1：已知方程 的一个根是 1，则另一个根是 ， 02)1(32xk k。解：变式训练：1、已知 是方程 的一个根，则另一根和 的值分别是多少？1x023kxk2、方程 的两个根都是整数，则 的值是多少？062kk例 2：设 是方程 ，的两个根，利用根与系数关系求下列各21x和 0342x式的值：（1） （2） （3） （4）2)1(21 21x2
3、1)(x变式训练：1、已知关于 的方程 有实数根，求满足下列条件的 值：x0132kx k（1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。 （4）两个根都小于 2。2、已知关于 的方程 。x02ax（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。（2） 取何值时，方程有两个正根。a（3） 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。（4） 取何值时，方程到少有一根为零？选用例题：例 3：已知方程 的两根之比为 1：2，判别式的值为 1，则)0(2acbxa是多少？ba与例 4、已知关于 的方程 有两个实数根，并且这两个根x05)2(2mx的平方和比两个根的积大 16，求
4、的值。例 5、若方程 与 有一个根相同，求 的值。042mx02xm基础训练：1关于 的方程 中，如果 ，那么根的情况是（ ）x012xa0a（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 （D）不能确定2设 是方程 的两根，则 的值是（ ）21,x0362x21x（A）15 （B）12 （C）6 （D）33下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）（A） 2y2+5=6y（B）x 2+5=2 x（C） x2 x+2=0（D）3x 22 x+1=05 3 2 64以方程 x22x30 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A） y2+5y6=0 （B）y 2+5y6
5、=0 （C）y 25y6=0 （D）y 25y6=05如果 x1，x 2是两个不相等实数，且满足 x122x 11，x 222x 21，那么 x1x2等于（ ）（A）2 （B）2 （C）1 （D）16.关于 x 的方程 ax22x10 中，如果 a0，那么根的情况是（ ）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 （D）不能确定7.设 x1，x 2是方程 2x26x30 的两根，则 x12x 22的值是（ ）（A）15 （B）12 （C）6 （D）38如果一元二次方程 x24xk 20 有两个相等的实数根，那么 k 9如果关于 x 的方程 2x2(4k+1)x2 k2
6、10 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 10已知 x1，x 2是方程 2x27x40 的两根，则 x1x 2 ，x 1x2 ， （x 1x 2） 2 11若关于 x 的方程(m 22)x 2(m2)x10 的两个根互为倒数，则 m .二、能力训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x 2x=5 (2)9x 26 +2=0 (3)x2x+2=022、当 m= 时，方程 x2+mx+4=0 有两个相等的实数根；当 m= 时，方程 mx2+4x+1=0 有两个不相等的实数根；3、已知关于 x 的方程 10x2(m+3)x+m7=0，若有一个根为 0，则 m= ， 这时方程的另一个
7、根是 ；若两根之和为 ，则 m= ，这时方程的 35两个根为 .4、已知 3 是方程 x2+mx+7=0 的一个根，求另一个根及 m 的值。25、求证：方程(m 2+1)x22mx+(m 2+4)=0 没有实数根。6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是 1 和 1+ 。5 57、设 x1,x2是方程 2x2+4x3=0 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2) + （3）x 12+ x1x2+2 x1x2x1 x1x28、如果 x22(m+1)x+m 2+5 是一个完全平方式，则 m= ;9、方程 2x(mx4)=x 26 没有实数根，则最小的整数 m
8、= ;10、已知方程 2(x1)(x3m)=x(m4)两根的和与两根的积相等，则 m= ;11、设关于 x 的方程 x26x+k=0 的两根是 m 和 n，且 3m+2n=20，则 k 值为 ; 12、设方程 4x27x+3=0 的两根为 x1,x2，不解方程，求下列各式的值:(1) x12+x22 (2)x1x 2 （3） （4）x 1x22 x1211213、实数、分别满足方程 19 29910 和且 1999 20 求代数式 的值。 4 114、已知 a 是实数，且方程 x2+2ax+1=0 有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1 (a2x2a 21)=0 有无实根？1215、求
9、证：不论 k 为何实数，关于 x 的式子(x1)(x2)k 2都可以分解成两个一次因式的积。16、实数 K 在什么范围取值时，方程 有实数正根？0)1()(2kxkx训练（一）1、不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2t2+3t4=0, ; (2)16x 2+9=24x, ;(3)5(u2+1)7u=0, ;2、若方程 x2(2m1)x+m 2+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 ;3、一元二次方程 x2+px+q=0 两个根分别是 2+ 和 2 ，则 p= ,q= ;3 34、已知方程 3x219x+m=0 的一个根是 1，那么它的另一个根是 ，m= ;5、若方程 x2+mx1=0
10、的两个实数根互为相反数，那么 m 的值是 ;6、m,n 是关于 x 的方程 x2-(2m-1)x+m2+1=0 的两个实数根，则代数式 mn= 。7、已知关于 x 的方程 x2(k+1)x+k+2=0 的两根的平方和等于 6，求 k 的值;8、如果 和 是方程 2x2+3x1=0 的两个根，利用根与系数关系，求作一个一 元二次方程，使它的两个根分别等于 + 和 + ;1 19、已知 a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a 2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0 有两个相 等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时，二次三项式 2x2(4k+1)x+2k 21 可因式分
11、解.11.已知关于 X 的一元二次方程 2 22（3）10 的两实数根为,，若 ，求的取值范围。1 1训练（二）1、已知方程 x23x+1=0 的两个根为 ,，则 += , = ;2、如果关于 x 的方程 x24x+m=0 与 x2x2m=0 有一个根相同，则 m 的值为 ;3、已知方程 2x23x+k=0 的两根之差为 2 ，则 k= ;124、若方程 x2+(a22)x3=0 的两根是 1 和3，则 a= ;5、方程 4x22(a-b)xab=0 的根的判别式的值是 ;6、若关于 x 的方程 x2+2(m1)x+4m 2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为 ;7、已知
12、p0,q0，则一元二次方程 x2+px+q=0 的根的情况是 ;8、以方程 x23x1=0 的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、设 x1,x2是方程 2x26x+3=0 的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) 1x1 1x210m 取什么值时，方程 2x2(4m+1)x+2m 21=0（1）有两个不相等的实数根， （2）有两个相等的实数根， （3）没有实数根；11设方程 x2+px+q=0 两根之比为 1:2，根的判别式 =1，求 p,q 的值。12是否存在实数 ，使关于 的方程 的两个实根 ，kx06)74(922kx21,x满足 ，如果存在，试求出所有满足条件
13、的 的值，如果不存在，请说明21x32理由。一元二次方程根与系数关系专题训练朱发栋1、如果方程 ax2+bx+c=0(a0) 的两根是 x1、x 2，那么 x1+x2= ，x 1x2= 。2、已知x 1、 x2是方程2x 2+3x4=0的两个根，那么：x 1+x2= ；x 1x2= ； 21x；x 21+x22= ；(x 1+1)(x2+1)= ；x 1x 2= 。3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。4、如果关于 x的一元二次方程 x2+ x+a=0的一个根是1 ，那么另一个根2是 ，a的值为 。5、如果关于 x的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。6、已知方程
14、 2x2+mx4=0 两根的绝对值相等，则m= 。7、一元二次方程 px2+qx+r=0(p0)的两根为0和1，则qp= 。8、已知方程 x2mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。9、已知关于 x的一元二次方程 (a21)x 2(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。10、已知关于x的一元二次方程 mx24x6=0的两根为 x1和x 2，且x 1+x2=2，则m= ，(x 1+x2) = 。1x11、已知方程3x 2+x1=0 ，要使方程两根的平方和为 ，那么常数项应改为 93。12、已知一元二次方程的两根之和为 5，两根之积为 6，则这个方程为 。13、若、为实数且 +3+(2) 2=
15、0，则以、为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1)14、已知关于x的一元二次方程 x22(m1)x+m 2=0。若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。15、已知方程x 2+4x2m=0 的一个根比另一个根 小4，则= ；= ；m= 。16、已知关于x的方程x 2 3x+k=0的两根立方和为0，则k= 17、已知关于x的方程x 2 3mx+2(m1)=0的两根为 x1、x 2，且 ，43x12则m= 。18、关于x的方程2x 23x+m=0 ，当 时，方程有两个正数根；当 m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。19、若方程x 2
16、4x+m=0与 x2x2m=0有一个根相同，则 m= 。20、求作一个方程，使它的两根分别是方程 x2+3x2=0两根的二倍，则所求的方程为 。21、一元二次方程2x 23x+1=0 的两根与x 23x+2=0 的两根之间的关系是 。22、已知方程5x 2+mx10=0 的一根是5，求方程的另一根及 m的值。23、已知2+ 是x 24x+k=0的一根，求另一根和k的值。324、证明：如果有理系数方程 x2+px+q=0有一个根是形如 A+ 的无理数(A、B均为有理数)，那么另一个根必是A 。B25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大? 0362)(,0
17、53)1(2 xx26、已知x 1和x 2是方程2x 23x1=0 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x31x2+x1x32 27、已知x 1和x 2是方程2x 23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： 2128、已知x 1和x 2是方程2x 23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(x21x 22)2 29、已知x 1和x 2是方程2x 23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x1x 230、已知x 1和x 2是方程2x 23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： 1231、已知x 1和x 2是方程2x 23x
18、1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x51x22+x21x5232、求一个一元二次方程，使它的两个根是 2+ 和2 。633、已知两数的和等于6，这两数的积是 4，求这两数。 34、造一个方程，使它的根是方程 3x27x+2=0的根； (1)大3；(2)2倍；(3)相反数；(4)倒数。35、方程x 2+3x+m=0中的m 是什么数值时，方程的两个实数根满足： (1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。36、已知关于x的方程2x 2(m1)x+m+1=0的两根满足关系式 x1x 2=1，求m的值及两个根。37、是关于x的方程 4x24mx
19、+m 2+4m=0的两个实根，并且满足，求m的值。109)(138、已知一元二次方程8x 2(2m+1)x+m7=0，根据下列条件，分别求出 m的值：(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；(3)有一根为零；(4)有一根为1；(5)两根的平方和为 。64139、已知方程x 2+mx+4=0和 x2(m2)x16=0有一个相同的根，求 m的值及这个相同的根。 40、已知关于x的二次方程 x22(a2)x+a 25=0 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。41、已知方程x 2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b、c的值。42、设：3a 26
20、a11=0， 3b26b11=0且ab，求 a4b 4的值。43、试确定使x 2+(ab)x+a=0 的根同时为整数的整数 a的值。44、已知一元二次方程(2k 3)x 2+4kx+2k5=0，且 4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k取何整数时，方程有两个整数根。45、已知：、是关于 x的方程x 2+(m2)x+1=0 的两根，求(1+m+ 2)(1+m+ 2)的值。46、已知x 1,x2是关于x的方程 x2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数 p、q的值。47、已知x 1、x 2是关于x的方程 x2+m2x+n=0的两个实数根
21、； y1、y 2是关于y的方程y 2+5my+7=0的两个实数根，且x 1y 1=2,x2y 2=2，求m、n的值。48、关于x的方程m 2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为 1的实根，x 2+2(a+m)x+2am 2+6m4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。49、关于x的一元二次方程 3x2(4m 21)x+m(m+2)=0 的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m的值。50、已知：、是关于 x的二次方程：(m2)x 2+2(m4)x+m4=0的两个不等实根。(1)若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2)若 2+ 2=6时，求m的值。51、已知关于x的方程mx 2nx
22、+2=0两根相等，方程 x24mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。求证：方程x 2(k+n)x+(km)=0一定有实数根。52、关于x的方程 =0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和2241x底边长。(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。53、已知关于x的一元二次方程 x2+2x+p2=0有两个实根 x1和x 2(x1x 2)，在数轴上，表示x 2的点在表示x 1的点的右边，且相距p+1，求p的值。54、已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0的两根为 、，且两个关于x的方程x 2+(+1)x+ 2
23、=0与x 2+(+1)x+ 2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。55、如果关于x的实系数一元二次方程 x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根、，那么(1) 2+(1) 2的最小值是多少?56、已知方程2x 25mx+3n=0 的两根之比为23，方程 x22nx+8m=0的两根相等(mn0)。求证：对任意实数k，方程mx 2+(n+k1)x+k+1=0恒有实数根。57、(1)方程x 23x+m=0的一个根是 ，则另一个根是 。2(2)若关于y的方程 y2my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m，n应满足 。58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积x2+3x+1=0；5
24、9、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积3x22x1=0；60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积2x 2+3=0；61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积2x2+5x=0。62、已知关于x的方程2x 2+5x=m的一个根是2，求它的另一个根及 m的值。63、已知关于x的方程3x 21=tx 的一个根是2，求它的另一个根及t 的值。64、设x 1，x 2是方程3x 2 2x2=0 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x14)(x 24) ；(2)x13x24+x14x23；(3) ；(4)x13+x23。65、设x 1，x 2是方程2x 2 4x+1=0
25、的两个根，求x 1x 2的值。66、已知方程x 2+mx+12=0的两实根是x 1和x 2，方程x 2mx+n=0 的两实根是x1+7和 x2+7， 求m和n的值。67、以2，3为根的一元二次方程是 ( ) A.x2+x+6=0 B.x2+x6=0C.x2 x+6=0 D.x2x 6=068、以3，1为根，且二次项系数为 3的一元二次方程是 ( )A.3x22x+3=0 B.3x2+2x 3=0C.3x2 6x9=0 D.3x2+6x9=069、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 ( ) A.x2+2x3=0 B.x22x+3=0C.x2+2x+3=0 D.x22x 3=070、以3，2为
26、根的一元二次方程为 ，以 ， 为根的一元二次方程为 ，1以5，5为根的一元二次方程为 ，以4， 为根的一元二次方程为 。71、已知两数之和为7，两数之积为 12，求这两个数。72、已知方程2x 23x3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：(1)a+1.b+1(2) ba,73、一个直角三角形的两条直角边长的和为 6cm，面积为 cm2，求这个直角三7角形斜边的长 。74、在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与3；小王看错了q，解得方程的根为4与2。这个方程的根应该是什么?75、关于x的方程x 2ax 3=0有一个根是
27、1，则a= ，另一个根是 。76、若分式 的值为 0，则x的值为 132x( )A.1 B.3 C.1或3 D.3或177、若关于y的一元二次方程 y2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则 ( )A.m=0且n0 B.n=0且m0C.m=0且n0 D.n=0且m 078、已知x 1，x 2是方程2x 2+3x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(2x13)(2x 23) ；(2)x13x2+x1x23。79、已知a 2=1a ，b 2=1 b，且ab，求(a1)(b1)的值。80、如果x=1是方程2x 23mx+1=0的一个根，则m= ，另一个根为 。81、已知m 2
28、+m4=0 ， ，m，n为实数，且 ，则 = 0412nnm1。82、两根为3和5的一元二次方程是 ( ) A.x22x15=0 B.x22x+15=0C.x2+2x15=0 D.x2+2x+15=083、.设x 1，x 2是方程2x 22x1=0 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x12+2)(x22+2)；(2)(2x1+1)(2x2+1)；(3)(x1x 2)2。84、.已知m，n是一元二次方程x 22x5=0 的两个实数根，求2m 2+3n2+2m的值。85、已知方程x 2+5x7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数。8
29、6、已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根之比为21，求证：2b2=9ac。87、.已知关于x的一元二次方程 x2+mx+12=0的两根之差为11，求m 的值。88、已知关于y的方程y 2 2ay2a4=0。(1) 证明：不论a取何值，这个方程总有两个不相等的 实数根；(2)a为何值时，方程的两根之差的平方等于16?89、已知一元二次方程x 210x+21+a=0。(1) 当a为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此 方程会有两个负根吗?为什么?90、已知关于x的方程x 2 (2a1)x+4(a1)=0 的两个根是斜边长为 5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角
30、形的面积。91、已知方程x 2+ax+b=0的两根为x 1，x 2，且4x 1+x2=0，又知根的判别式=25，求a，b 的值。92、已知一元二次方程8y 2(m+1)y+m5=0。(1)m为何值时，方程的一个根为零?(2)m为何值时 ，方程的两个根互为相反数 ?(3)证明：不存在实数m ，使方程的两个相互为倒数。93、当m为何值时，方程3x 2+2x+m8=0：(1)有两个大于2的根?(2)有一个根大于2，另一个 根小于2?94、已知2s 2+4s7=0，7t 24t2=0，s，t为实数，且st1。求下列各式的值：(1) ；;ts1(2) 。395、已知x 1，x 2是一元二次方程 x2+ x+n=0的两个实数根，且mx12+x22+(x1+x2)2=3，求m和n的值。5
