1、1高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法自我小测 北师大版选修 2-21.设 f(n) (nN )，那么 f(n1) f(n)等于( 1123n2)A B C D21 1122满足 122334 n(n1)3 n23 n2 的自然数有( )A1 B1 或 2 C1,2,3 D1,2,3,43用数学归纳法证明“ n3( n1) 3( n2) 3(nN )能被 9整除”的过程中，利用归纳假设证明 n k1 时，只需展开( )A( k3) 3 B( k2) 3 C( k1) 3 D( k1) 3( k2) 34证明 1 n1( n1)，当 n2 时，中间式等于( 2142)A1 B1 C1
2、 D132345凸 n边形有 f(n)条对角线，则凸( n1)边形的对角线的条数 f(n1)为( )A f(n) n1 B f(n) n C f(n) n1 D f(n) n26若命题 A(n)(nN )，当 n k(kN )时，命题成立，则有 n k1 时，命题成立现知命题对 n n0(n0N )时，命题成立，则有( )A命题对所有正整数都成立B命题对小于 n0的整数不成立，对大于或等于 n0的正整数都成立C命题对小于 n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于 n0的正整数都成立D以上说法都错7用数学归纳法证明“ n35 n能被 6整除”的过程中，当 n k1 时，对式子( k1)35(
3、k1)应变形为_8用数学归纳法证明“当 n为正偶数时， xn yn能被 x y整除” ，第一步应验证n_时，命题成立；第二步归纳假设成立，应写成_9用数学归纳法证明凸 n边形的对角线的条数： f(n) n(n3)( n3 且 nN )12210已知 n2， nN ，求证： 11357.1213参考答案1.答案：D 解析： f(n) 11,232nf(n1) ，123 f(n1) f(n) .12.答案：B 解析：当 n1 时，左边122，右边3322，等式成立当 n2 时，左边12238，右边32 23228，等式成立当 n3 时，左边12233420，右边33 233220，等式成立当 n4
4、 时，左边1223344540，右边34 234238，等式不成立3.答案：A 解析：当 n k时， k3( k1) 3( k2) 3能被 9整除，当 n k1 时，( k1) 3( k2) 3( k3) 3 k3( k1) 3( k2) 3( k3) 3 k3，只需展开( k3) 3即可4.答案：D 解析：当 n2 时，分母从 1依次到 4，则中间式为 1 .245.答案：B 解析：增加的对角线条数为 n1.6.答案：B 解析：只能对大于或等于 n0的所有正整数成立，而小于 n0的正整数不确定7.答案： k35 k3 k(k1)6 解析：采用配凑法，必须利用归纳假设8.答案：2 x2k y2
5、k能被 x y整除 解析：因为 n为正偶数，故第一个值应为n2，第二步假设 n取第 k个正偶数，即 n2 k时成立，故应假设 x2k y2k能被 x y整除9.答案：证明：(1)三角形没有对角线， n3 时， f(3)0，命题成立(2)假设 n k(k3 且 kN )时命题成立，即 f(k) k(k3)12则当 n k1 时，凸 k边形由原来 k个顶点变为 k1 个顶点，对角线条数增加 k1. f(k1) f(k) k1 k(k3) k1 (k1)( k1)32当 n k1 时，命题成立4对于任意的 nN 且 n3，凸 n边形对角线的条数为 f(n) n(n3)1210.证明：(1)当 n2 时，左边1 ，右边 ，原不等式成立14354,3(2)假设 n k时，原不等式成立即.那么当 n k1 时， 1112352kkk 要使 n k1 时，原不等式成立，只需证明122.k，1(1)k即 ，只需证 2k1 22 k3，即 0.223k12 k2， 0.1显然成立，即当 n k1 时，原不等式成立由(1)(2)可知，对任何 nN (n2)，原不等式均成立
