1、1高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例自我小测 新人教 A 版选修 2-21某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午 6 时到 9 时，车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间的关系可近似地用如下函数给出： y t3 t236 t .则在这段时间内，通过该18 34 6294路段用时最多的时刻是( )A6 时 B7 时 C8 时 D9 时2某产品的销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数： y117 x2(x0)，生产成本y2(万元)是产量 x(千台)的函数： y22 x3 x2(x0)，为使利润
2、最大，应生产( )A6 千台 B7 千台C8 千台 D9 千台3要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则其高为( )A cm B10 cm C15 cm D cm203 20334设有一个容积 V 一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3 倍，当总造价最少时，桶高为( )A B1232V 123V2C2 D232V 3V25某厂生产某种产品 x 件的总成本： C(x)1 200 x3，产品单价的平方与产品件275数 x 成反比，生产 100 件这样的产品的单价为 50 元，总利润最大时，产量应定为( )A20 B25 C30 D456如图所示，某厂需要
3、围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为_7某公司生产一种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位的产品，成本增加100 元，若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)Error!则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是_8将边长为 1 的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，2记 S ，则 S 的最小值是_(梯 形 的 周 长 )2梯 形 的 面 积9已知球的直径为 d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？10某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产
4、品的成本是 15 元，销售价是 20 元，月平均销售 a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为 x(0 x1)，那么月平均销售量减少的百分率为 x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y(元)(1)写出 y 与 x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大3参考答案1解析： y t2 t36，令 y0 解得 t8 或 t12(舍)，38 32当 0 t8 时， y0；当 t8 时， y0， t8 为函数的最大值点 t8 时，通过该路段用时最多答案：C2解析：设
5、利润为 y，则 y y1 y217 x2(2 x3 x2)2 x318 x2(x0)， y6 x236 x6 x(x6)令 y0，解得 x0 或 x6，经检验知 x6 既是函数的极大值点又是函数的最大值点答案：A3解析：设圆锥的高为 x cm，则底面半径为 cm，202 x2其体积 V x(202 x2)(0 x20)，13V (4003 x2)，令 V0 得 x1 ， x2 (舍去) 3 2033 2033又当 0 x 时， V0； x20 时， V0，2033 2033当 x cm 时， V 取最大值2033答案：D4解析：设圆柱形铁桶的底面半径为 r，高为 h，总造价为 y，单位面积铁的
6、造价为a，则 V r2h， y r23a r2a2 rha a ，则 y a(4r22V r).(8r2V r2)令 y0，得 r ， h 2 .1232V V r2 32V答案：C5解析：设产品单价为 a 元，产品单价的平方与产品件数 x 成反比，即 a2x k，由题知 k250 000，则 a2x250 000，所以 a .500x总利润 y500 x31 200( x0)， y x2.x275 250x 225由 y0，得 x25，当 x(0,25)时， y0， x(25，)时， y0，所以x25 时， y 取最大值4答案：B6解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为
7、x 米，则长为米，因此新墙壁总长度 L2 x (x0)，则 L2 .512x 512x 512x2令 L0，得 x16. x0， x16.当 x16 时， Lmin64，此时堆料场的长为 32(米)51216答案：32 和 167解析：由题意得，总利润P(x)Error!当 0 x390 时， P( x) 300，令 P( x)0，解得 x300；x2300当 0 x300 时， P( x)0；当 300 x390 时， P( x)0.所以当 x300 时， P(x)max40 000，而当 x390 时， P(x)40 000，因此当 x300 时利润最大答案：3008解析：设剪成的上面一块
8、正三角形的边长为 x.则 S (0 x1)，(3 x)234 34x2 433 (3 x)21 x2S ，433 6x2 20x 6(1 x2)2 833 (3x 1)(x 3)(1 x2)2令 S0，得 x 或 x3(舍去)13 x 是 S 的极小值点且是最小值点13 Smin .433 (3 13)21 19 3233答案：32339解：如图所示，设正四棱柱的底面边长为 x，高为 h，由于 x2 x2 h2 d2，5所以 x2 (d2 h2)12所以球内接正四棱柱的体积为 V x2h (d2h h3),0 h d.12令 V (d23 h2)0，所以 h d.12 33在(0， d)上，当
9、 h 变化时， V， V 的变化情况如下表：h (0，33d)d33 (33d， d)V 0 V A极大值 A由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为 d.3310解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为 20(1 x)元，月平均销售量为 a(1 x2)件，则月平均利润 y a(1 x2)20(1 x)15元，所以 y 与 x 的函数关系式为 y5 a(14 x x24 x3)(0 x1)(2)由 y5 a(42 x12 x2)0 得 x1 ， x2 (舍)12 23当 0 x 时， y0； x1 时 y0，12 12所以函数 y5 a(14 x x24 x3)(0 x1)在 x 处取得最大值12故改进工艺后，产品的销售价为 20 30(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平(112)均利润最大
