1、特别解析：线性规划求最值一、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决最值问题例 1 已知点 ()Pxy，在不等式组201xy， 表示的平面区域上运动，则 zxy的取值范围是（ ） （A） 2，1 （B） 2，1（C） 1，2 （D） 1，2解析：由线性约束条件画出可行域，考虑 zxy，变形为 yxz，这是斜率为 1 且随 z 变化的一族平行直线 是直线在 y 轴上的截距当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数z取得最大值为 2；直线经过点（ 0，1）时，目标函数 zxy取得最小值为1故选（C） 注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1） ， （2，1） ， （2，0） ，然后再
2、一一代入目标函数求出 z=x-y 的取值范围为 1，2更为简单例 2 已知实数 x、y 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）053xy4zxy分析：将目标函数变形可得 ，所求的目标函数的最小值即一组平行直124yx在经过可行域时在 y 轴上的截距的最小值的 4 倍。12yxb解析：由实数 x、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：-553O xyCABL当一组平行直线 L 经过图中可行域三角形 ABC 区域的点 C 时，在 y 轴上的截距最小，又，故 的最小值为 。(3,)C24zxymin234()6z二、数行结合，构造斜率法：利用直线的斜率解决最值问题例 3 设实数 xy，满足0243cy
3、， ，则 yzx的最大值是_解析：画出不等式组所确定的三角形区域 ABC（如图 2） ， 0yzx表示两点(0)OPxy，确定的直线的斜率，要求 z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值由图 2 可以看出直线 OP 的斜率最大，故 P 为 40y与230y的交点，即 A 点 312P，故答案为 32注：解决本题的关键是理解目标函数 0yzx的几何意义，当然本题也可设 ytx，则 t，即为求ytx的斜率的最大值由图 2 可知， 过点 A 时，t 最大代入 yt，求出 3t，即得到的最大值是 2例 3.已知实数 x、y 满足不等式组 ,求函数 的值域.240xy31yzx解析：所给的
4、不等式组表示圆 的右半圆(含边界)， 2可理解为过定点 ，斜率为-2 2O xy（-1，-3）-2 31yzx(1,3)P的直线族问题的几何意义：求过半圆域 上任一点与点 的z 24(0),直线斜率的最大、最小值由图知，过点 和点 的直线斜率最大，P(0,2)A过点 所作半圆的切线的斜率最小设切点为 ，则过 B 点的max2(3)501z (,)ab切线方程为 又 B 在半圆周上，P 在切线上，则有 解得4by 243因此 。2365abmin263z三、平面内两点间的距离型（或距离的平方型） ，构造两点间的距离公式法解决最值问题例 5 已知实数 x、y 满足 ，则 的最值为_.10y248w
5、xy解析：目标函数 ，其含义是点(2,2)与2 2248()()wyx可行域内的点的距离的平方。由实数 x、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：可行域为图中 内部（包括边界） ，易-111O xy（2，2）x+y-1=0-1ABC ABC求 B（-2，-1） ，结合图形知，点(2,2)到点 B 的距离为其到可行域内点的最大值，；点(2,2)到直线 x+y-1=0 的距离为其到可行域内点的最22max()(1)5w小值， 。in|3例 6 已知2045xy， ，求 21025zxy的最小值解析：作出可行域，并求出顶点的坐标 A（1，3） 、 B（3，1） 、 C（7，9） 而22()zxy表示
6、可行域内任一点（ x， y）到定点 M（ 0，5）的距离的平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 在线段 AC上，故 z 的最小值是 29MN注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方） 、点到直线的距离等四、点到直线的距离型例 7 已知实数 x、y 满足 的最小值。221,4yuxy求解析：目标函数 ，其含义是点(-2,1)与24()(1)5u可行域内的点的最小距离的平方减 5。由实数 x、y 所满足的不等式组作可行域如图所示(-2,1)1 2O xy2x+y=1点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线 2x+y=1 的距离，由点到直线的距离公式可求得 ，故|2()
7、1|45d21695d例 8 已知025xy， ，求 20zxy的最小值解析：作出可行域，并求出顶点的坐标 A（1，3） 、 B（3，1） 、 C（7，9） 而22()zxy表示可行域内任一点（ x， y）到定点 M（ 0，5）的距离的平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 在线段 C上，故 z 的最小值是 2N五、变换问题研究目标函数例 9 （08 年山东）已知 ，且 的最大值是最小值的 3 倍， a 等于（ axy2yxz）解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.如图所示， Ayxz在2点和 B 点分别取得最小值和最大值. 由，由 得),(aAxy得yx
8、2B(1，1). . 由题意，得 。az3,mina .31a六、综合导数、函数知识类例 10 （06 山东） 已知函数 ，部分对应值如下表，),2)(的 定 义 域 为xf的导函数，函数 的图象如右图所示. 若两正数 a，b 满足)(xf为 )(fy的取值范围是（ ）312ab， 则 )37,5分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联系起来。由导函数的图象可知，原函数在区间 -2,0为单调递减函数，在区间（0， ）为单调递增函数。结合题中提供的函数的数据可得 ，另 42ba外注意到 的几何意义，转化为线性规划问题可求解。3ab解析：由导函数的图
9、象可知，原函数在区间 -2,0为单调递减函数，在区间（0，）为单调递增函数，又 ，故 ，而 1)4(,)0(,1)2(fff 42ba均为正数，可得可行域如图，ba,(-3,-3)42O xy的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故最大为点3（0，4） ，此时为 ，最小为点（2，0） ，此时为 。3745320x 2 0 4)(f1 1 1七、在日常应用中解决最值问题例(2009 山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设
10、备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为_元. 答案 2300解析 设甲种设备需要生产 x天, 乙种设备需要生产 y天, 该公司所需租赁费为 z元则 203zxy，甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示: 产品 设备 A 类产品(件)(50) B 类产品(件)(140) 租赁费(元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为50124,xy即:61024,xy, 作出不等式表示的平面区域,当 03zxy对应的直线过两直线610524xy的交点(4,5
11、)时，目标函数 2z取得最低为 2300 元. 附 ： 线 性 规 划 常 见 题 型 及 解 法一 、 求 线 性 目 标 函 数 的 取 值 范 围例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=x+2y 的 取 值2xy范 围 是 （ ）xyO 22x=2y =2x + y =2BAA、 2,6 B、 2,5 C、 3,6 D、 （ 3,5解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l： x+2y 0， 将 l 向 右 上 方 平 移 ， 过点 A（ 2,0） 时 ， 有 最 小 值2， 过 点 B（ 2,2） 时 ， 有 最 大 值 6， 故 选 A二 、 求
12、可 行 域 的 面 积例 2、 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为2603xy（ 1） 。解 ： 如 图 作 出 可 行 域 ， 即 为 所 求 ， 由 减 去ABCSOMBCS梯 形即 可 。OMACS梯 形三 、 求 可 行 域 中 整 点 个 数例 3、 满 足 |x| |y| 2 的 点 （ x， y） 中 整 点 （ 横 纵 坐 标 都是 整 数 ） 有 （ 13 个 ）解 ： |x| |y| 2 等 价 于(0,)2,()xyxy作 出 可 行 域 如 右 图 ， 是 正 方 形 内 部 （ 包 括 边 界 ） ， 容 易 得 到 整 点 个 数 为 13.
13、四 、 求 线 性 目 标 函 数 中 参 数 的 取 值 范 围例 4、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ， 使503xyz=x+ay(a0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， a 的 值 为 （ ）A、 3 B、 3 C、 1 D、 1解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l： x+ay 0， 要 使 目 标函 数 z=x+ay(a0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， 则 将 l 向 右 上 方 平 移 后 与xyOx + y = 5x y + 5 = 0Oyxx=32x + y 6= 0 = 5xy 3 = 0
14、OyxABCM y =2直 线 x+y 5 重 合 ， 故 a=1， 选 D五 、 求 非 线 性 目 标 函 数 的 最 值例 5、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ， 则2043xyz=x2+y2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是 （ ）A、 13， 1 B、 13， 2 C、 13， D、 ，5135解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ,x2+y2 是 点 （ x， y） 到 原 点 的 距 离 的 平 方 ， 故 最 大 值为 点 A（ 2,3） 到 原 点 的 距 离 的 平 方 ， 即 |AO|2=13， 最 小 值 为 原 点 到 直 线2x y
15、2=0 的 距 离 的 平 方 ， 即 为 ， 选 C。45六 、 求 约 束 条 件 中 参 数 的 取 值 范 围例 6、 已 知 |2x y m| 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点（ 0,0） 和 （ 1,1） ， 则 m 的 取 值 范 围 是 （ ）A、 （ -3,6） B、 （ 0,6） C、 （ 0,3） D、 （ -3,3）解 ： |2x y m| 3 等 价 于 230xy由 右 图 可 知 ,故 0 m 3， 选 C七、比值问题当目标函数形如 yazxb时,可把 z 看作是动点 (,)Pxy与定点 (,)Qba连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为 PQ 连线斜率的最值。例 已知变量 x， y 满足约束条件 则 的取值范围是（ ）.x y 2 0，x 1，x y 7 0， ) yxO2x y = 0y 2x y + 3 = 02x + y - 2= 0 = 5x 2y + 4 = 03x y 3 = 0OyxA（A） ，6 （B） （， 6，）95 95（C） （，36，） （D）3，6解析： 是可行域内的点 M（ x， y）与原点 Oyx（0，0）连线的斜率，当直线 OM 过点（ ，）时， 取得5292 yx最小值 ；当直线 OM 过点（1，6）时， 取得最大值 6. 答案 A95 yx
