1、第四章 导数的应用,微分中值定理与洛必达法则 函数单调性的判定法与极值 曲线的凹凸形与拐点,第一节 微分中值定理与洛必达法则,学习目的与要求理解罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理会用洛必达法则求基本型不定式的极限掌握简单的 和 型不定式极限的计算 了解 0 ， - 等不定式极限的计算方法重点 拉格朗日中值定理的应用 掌握简单的 和 型不定式极限的计算 难点 拉格朗日中值定理的应用 0 、 - 等不定式极限的计算,.1.1 微分中值定理,它们是导数的应用基础,一 罗尔定理,罗尔定理：,如果函数 f(x) 具有,例如,几何事实:,二 拉格朗日定理,拉格朗日定理,如果函数 f(x) 具有,注意：,几何
2、事实：,三 柯西定理（广义微分中值定理）,设函数 (x)，F(x )在区间ab上连续，在（ ab）内微。且F(x) 0则在（ ab）内至少存在一点使 (令F(x )= x，它就变成拉格朗日定理，因此柯西定理是拉格朗日定理的推广）罗尔定理拉格朗日定理柯西定理,4.1.2洛必达法则,定理1 设函数(x），F (x）在 x。的一个领域内可微，且满足，（x）（或 ）则 （或 ）即 称洛必达法则,关于洛必达法则的几点说明： 1 函数(x），F (x）在x。处可以不可微，甚至可以是间断点结论仍然成立。 2 只要是“ ”，或“ ” 型的未定型，不管自变量趋于x。还是，在满足相应条件下结论均成立。,洛必达法则
3、是计算未定型极限“ ”，“ ” 的方法例如 ， 型未定型极限 ， 型未定型极限 求其它未定型极限时先转化为以上两种形式的未定型极限再用洛必达法则,例1 求 型 解： 例2 求 型 解： 例3 求 型解：,型,例6 求 型 解 ： 例7 求 例题 说明 只要未定型 或 可以重复使用洛必达法则。并且有时洛必达法则与等价无穷小的代换和其它方法结合使用效果更好。,型,第二节:函数单调性的判定法与极值,学习目的与要求1 理解极值的概念2 熟练掌握求函数单调区间的方法3 掌握函数在闭区间上的最值的方法4 掌握解决实际应用中的最值问题的方法 重点1 会用定理正确求出函数单调区间和极值2 正确解决实际应用的最
4、值问题 难点1 正确理解函数极值的概念2 正确区分函数极值与最值3 函数最值的实际应用,4.2.1函数单调性的判定法,4.2.2函数的极值及其求法,定理4（极值存在的第二个充分条件）,设函数 在 处具有二阶导数存在且,求极值点的步骤：,求出函数的定义域，并求出驻点及不可微的点（不可微的点要连续） 如果用定理3只需天讨论驻点和不可微的点两边导数的符号（正，负），从而判断增减性及极值点。 用定理4判断驻点处二阶导数的正负号，从而判断极值点，对于不可微的点不能使用定理4。 讨论了函数增减性自然就讨论出极值点。,函数在闭区间上的最大值和最小值,如果函数f(x）在闭区间a，b上连续，则函数在区间a，b上
5、一定有最大值和最小值。 步骤： 求出所有驻点 与不可微的点。例如 。求出f（a），f(b) ， 。然后比较 f（a）， , f(b) 其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值。例 求函数 f(x)= 在区间-2，2上的最大值和最小值。解：= 解得f（0)=5，f(-1)=4，f(1)=4 ，f（2）=13，f（-2）=13 所以函数区间a，b上的最大值为f（2）=f（-2）=13，最小值为 f(-1)=f(1)=4 。,第三节 曲线的凹凸性与拐点,4.3.1曲线的凹凸性,定义1如果曲线位于其每一点切线的上方，那么称曲线弧是凹的；如果,定义2 设函数y=f(x)在所考虑的区间内可导，则曲线
6、y=f(x)的凹凸分界点称为曲线y=f(x)的拐点。 定理2 （拐点的必要条件）若点（x。，f（x。）是曲线y=f(x)的拐点，且x。处的二阶导数存在，则f(x）= 0 . 定理3 若f(x。）= 0且f(x）在x。两侧变号，则点（x。，f（x。）是曲线的拐点 .例1 求曲线 的拐点，并判断曲线的凹凸性。解：函数的定义域为 令 得 列表如下,例讨论曲线 的凹凸性与拐点解：函数的定义域为令 （无解）当 时 曲线是凸的， 时 曲线是凹的。因为 x=0 没有在函数的定义域内，所以曲线没有拐点.,习题课,内容总结 1 微分中值定理包括：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，它们是导数的应用基础。 2 洛必
7、达法则：计算未定型极限 或 的方法。如果死其它类型的未定型极限可以转化为以上两个类型然后再用洛必达法则。 注意：虽然洛必达法则是求未定型极限的一种有效简便的方法，但它不是万能的，并洛必达法则与等价无穷小的代换和其它方法结合起来使用效果更好。 3 用导数的符号判断函数的单调性,4 函数极值及求法驻点极值点的必要条件极值存在的第一个充分条件极值存在的第二个充分条件 5 求函数在闭区间上的最大值和最小值 6 判断曲线的凹凸性和拐点习题训练求下列极限；,求函数 的增减区间及极值 。求函数 的最大值和最小值。内接于半径为R的球内的圆柱体，其高位多少时体积为最大？求曲线 的拐点及凹凸区间。已知曲线 在 处有拐点，试确定常数a，并求曲线的凹凸区间和拐点。,
