1、12016-2017 学年高中数学 第 4 章 导数应用 2.2 最大值、最小值问题课后演练提升 北师大版选修 1-1一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1函数 f(x) x24 x1 在1,5上的最大值和最小值分别是( )A f(1) f(2) B f(2) f(5)C f(1) f(5) D f(5) f(2)解析： f( x)2 x4，令 f( x)2 x40， x2.f(1)2， f(2)3， f(5)6，最大值 f(5)，最小值 f(2)答案： D2已知正四棱锥 S ABCD 中， SA2 ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( )3A1 B 3C2 D3解析： 设底面中心为
2、O，令高为 h，则 AO .12 h2AB AO .2 2 12 h2体积 V 2h(12 h2) h38 h.13 23V2 h28，令 V0 得 0 h2，V0 得 h2，当 0 h2 时，函数递增， h2 时，函数递减当 h2 时， V 取极大值，也是最大值答案： C3函数 y 的最大值为( )ln xxAe 1 BeCe 2 D103解析： 令 y 0，得 xe.当 xe 时， ln x x ln xxx2 1 ln xx2y0， y 极大值 f(e) ，在定义域内只有一个极值，所以 ymax .1e 1e答案： A24已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)
3、的函数关系式为y x381 x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )13A13 万件 B11 万件C9 万件 D7 万件解析： 因 y x281，令 y0 得 x9，当 09 时， y1 时， y0. ymin f(1) .1e答案： 1e6已知 f(x) x2 mx1 在区间2，1上的最大值就是函数 f(x)的极大值，则 m 的取值范围是_解析： f( x) m2 x，令 f( x)0，则 x ，m2由题设得 2，1，m2故 m4，2答案： 4，2三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7已知函数 f(x) x34 x4.13(1)求函数的极值；(2)求函数在区间3,4上的
4、最大值和最小值解析： (1) f( x) x24，解方程 x240，得 x12， x22.3当 x 变化时， f( x)， f(x)变化情况如下表：x (，2) 2 (2,2) 2 (2，)f( x) 0 0 f(x) 283 43从上表看出，当 x2 时，函数有极大值，且极大值为 ，283而当 x2 时，函数有极小值，且极小值为 .43(2)f(3) (3) 34(3)47，13f(4) 43444 ，13 283与极值点的函数比较，得函数在区间3,4上的最大值是 ，最小值是 .283 438已知 f(x) x3 x22 x5，当 x1,2时， f(x) m 恒成立，求实数 m 的取值12范
5、围解析： f(x) x3 x22 x5，12 f( x)3 x2 x2.令 f( x)0，即 3x2 x20， x1 或 x .23当 x 时， f( x)0， f(x)为增函数；( 1， 23)当 x 时， f( x)0， f(x)为减函数；(23， 1)当 x(1,2)时， f( x)0， f(x)为增函数，当 x 时， f(x)取得极大值 f 5 ；23 ( 23) 2227当 x1 时， f(x)取得极小值 f(1) .72又 f(1) ， f(2)7，112 f(x)在 x1,2上的最大值为 f(2)7.要使 f(x) m 恒成立，需 f(x)max m，即 m7.4所求实数 m 的
6、取值范围是(7，) 尖 子 生 题 库9(10 分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x 万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他x因素，记余下工程的费用为 y 万元(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 m640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 值最小？解析： (1)设需新建 n 个桥墩，则( n1) x m，即 n 1.mx所以 y f(x)256 n( n1)(2 )xx256 (2 )x(mx 1) mx x m 2 m256.256mx x(2)由(1)知，f( x) mx (x 512)256mx2 12 12 m2x2 32 令 f( x)0，得 x 512，32所以 x64.当 0 x64 时，f( x)0， f(x)在区间(0,64)内为减函数；当 64 x640 时，f( x)0， f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x64 处取得最小值此时 n 1 19.mx 64064故需新建 9 个桥墩才能使 y 值最小
