1、1学业分层测评(九)(建议用时：45 分钟)学业达标一、填空题1(2014浙江高考改编)设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面下列命题中正确的序号是_(1)若 m n， n ，则 m ；(2)若 m ， ，则 m ；(3)若 m ， n ， n ，则 m ；(4)若 m n， n ， ，则 m .【解析】 (1)中，由 m n， n 可得 m 或 m 与 相交或 m ，错误；(2)中，由 m ， 可得 m 或 m 与 相交或 m ，错误；(3)中，由 m ， n 可得 m n，又 n ，所以 m ，正确；(4)中，由 m n， n ， 可得 m 或 m 与 相交或 m ，错误【
2、答案】 (3)2如图 1298，在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB AD2 ， CC1 ，则二面角3 2C1BDC 的大小为_图 1298【解析】 如图，取 BD 中点 O，连结 OC， OC1， AB AD2 ， CO BD， CO .3 6 CD BC， C1D C1B， C1O BD. C1OC 为二面角 C1BDC 的平面角，tan C1OC ，C1COC 26 33 C1OC30，即二面角 C1BDC 的大小为 30.【答案】 303下列四个命题：过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；2过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得
3、的两条交线平行；如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内其中真命题的序号是_. 【导学号：60420033】【解析】 根据空间点、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故正确；过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故不正确；根据平面与平面平行的性质定理知正确；根据两个平面垂直的性质知正确从而正确的命题有.【答案】 4如图 1299 所示，在三棱锥 PABC 中， PA平面 ABC， BAC90，则二面角BPAC 的大小为_图 1299【解析】 PA平面 ABC， BA， CA平面 ABC， BA PA， CA PA，因此，
4、BAC 即为二面角 BPAC 的平面角又 BAC90，故二面角 BPAC 的大小为 90.【答案】 905已知三棱锥 DABC 的三个侧面与底面全等，且 AB AC ， BC2，则二面角3DBCA 的大小为_【解析】 如图，由题意知 AB AC BD CD ， BC AD2.3取 BC 的中点 E，连结 DE， AE，则 AE BC， DE BC，所以 DEA 为所求二面角的平面角易得 AE DE ，又 AD2， AD2 AE2 DE2，所以 DEA90.2【答案】 906如图 12100 所示，将等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角，此时 B AC60，那么这个
5、二面角大小是_3图 12100【解析】 连结 B C，则 AB C 为等边三角形，设 AD a，则 B C AC a， B D DC a，2所以 B C2 B D2 DC2，所以 B DC90.【答案】 907四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA底面 ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有_对【解析】 因为 AD AB， AD PA 且 PA AB A，可得 AD平面 PAB.同理可得 BC平面 PAB、 AB平面 PAD、 CD平面 PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面 PAD平面PAB，平面 PBC平面 PAB，平面 PCD平面 PAD，平面 PAB平面 ABC
6、D，平面 PAD平面ABCD，共有 5 对【答案】 58已知平面 ， ，且 AB， PC ， PD ， C， D 是垂足若PC PD1， CD ，则平面 与平面 的位置关系是_2【解析】 因为 PC ， AB ，所以 PC AB.同理 PD AB.又 PC PD P，故 AB平面 PCD.设 AB 与平面 PCD 的交点为 H，连结 CH， DH.因为 AB平面 PCD，所以 AB CH， AB DH，所以 CHD 是二面角 CABD 的平面角又 PC PD1， CD ，2所以 CD2 PC2 PD22，即 CPD90.在平面四边形 PCHD 中， PCH PDH CPD90，所以 CHD90
7、，故平面 平面 .【答案】 垂直二、解答题49.如图 12101，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中， AD BC， ABC90，PA平面 ABCD， AC BD E， AD2， AB2 ， BC6.3图 12101求证：平面 PBD平面 PAC.【证明】 PA平面 ABCD， BD平面 ABCD， BD PA.又 tan ABD ，tan BAC ，ADAB 33 BCAB 3 ABD30， BAC60， AEB90，即 BD AC.又 PA AC A， BD平面 PAC.又 BD平面 PBD，平面 PBD平面 PAC.10如图 12102，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E，
8、 F， M， N 分别是 A1B1， BC， C1D1和B1C1的中点图 12102(1)求证：平面 MNF平面 NEF；(2)求二面角 MEFN 的平面角的正切值【解】 (1)证明：连结 MN， N， F 均为所在棱的中点， NF平面 A1B1C1D1.而 MN平面 A1B1C1D1， NF MN.又 M， E 均为所在棱的中点， C1MN 和 B1NE 均为等腰直角三角形， MNC1 B1NE45， MNE90， MN NE.又 NF NE N， MN平面 NEF.而 MN平面 MNF，平面 MNF平面 NEF.(2)在平面 NEF 中，过点 N 作 NG EF 于点 G，连结 MG.由(
9、1)得知 MN平面 NEF.又 EF平面 NEF， MN EF.又 MN NG N， EF平面 MNG， EF MG.5 MGN 为二面角 MEFN 的平面角设该正方体的棱长为 2.在 Rt NEF 中， NG ，NENFEF 226 233在 Rt MNG 中，tan MGN .MNNG 2233 62二面角 MEFN 的平面角的正切值为 .62能力提升1已知 ， 是两个不同的平面， m， n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出下列四个论断： m n； ； n ； m .以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.【解析】 由面面垂直的判定定理可知，由 m
10、n， m ， n 可推出 ；由面面垂直的性质定理可知，由 m ， n ， 可推出 m n.【答案】 (或)2如图 12103，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC.底面是以 ABC 为直角的等腰直角三角形， AC2 a， BB13 a， D 是 A1C1的中点，点 F 在线段 AA1上，当AF_时， CF平面 B1DF. 【导学号：60420034】图 12103【解析】 B1D平面 A1ACC1， CF B1D，为了使 CF平面 B1DF，只要使 CF DF(或 CF B1F)即可，设 AF x，则CD2 DF2 FC2， x23 ax2 a20， x a 或 x2 a.
11、【答案】 a 或 2a3如果一个三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点在底面内的射影是底面三角形的_心【解析】 6三侧面两两垂直， 则三条侧棱也两两垂直， PC平面 PAB， AB PC，作 PO平面 ABC 于点 O，则 AB PO， AB平面 POC， AB OC，同理， OB AC， O 为 ABC 的垂心【答案】 垂4如图 12104，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是 DAB60且边长为 a 的菱形，侧面 PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面 ABCD.图 12104(1)若 G 为 AD 边的中点，求证： BG平面 PAD；(2)求证： AD PB；(3)若 E 为 BC
12、 的中点，能否在棱 PC 上找到一点 F，使平面 DEF平面 ABCD，并证明你的结论【证明】 (1)在菱形 ABCD 中， DAB60， G 为 AD 的中点， BG AD.又平面PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD， BG平面 PAD.(2)如图，连结 PG. PAD 为正三角形， G 为 AD 的中点， PG AD.由(1)知 BG AD，又 PG平面 PGB， BG平面 PGB，且 PG BG G， AD平面 PGB. PB平面 PGB， AD PB.(3)当 F 为 PC 的中点时，平面 DEF平面 ABCD.证明如下：7F 为 PC 的中点时，在 PBC 中， FE PB，又在菱形 ABCD 中， GB DE，而 FE平面 DEF， DE平面 DEF， FE DE E，平面 DEF平面 PGB.易知 PG平面 ABCD，而 PG平面 PGB，平面 PGB平面 ABCD，平面 DEF平面 ABCD.
