1、利用直线参数方程 t 的几何意义1、 直线参数方程的标准式(1)过点 P0( )，倾斜角为 的直线 的参数方程是,yxl（t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段 的数量，P( ) sincoty P0yx,P0P=t P 0P =t 为直线上任意一点.(2)若 P1、P 2 是直线上两点，所对应的参数分别为 t1、t 2，则 P1P2=t2t 1 P 1P2= t 2t 1(3) 若 P1、 P2、P 3 是直线上的点，所对应的参数分别为 t1、t 2、t 3则 P1P2 中点 P3 的参数为 t3 ,P 0P3=(4)若 P0 为 P1P2 的中点，则 t1t 20，t 1t20 时，
2、点 P 在点 P0 的上方； 当 t0 时，点 P 与点 P0 重合； 当 t0 时，点 P 在点 P0 的右侧； 当 t0 时，点 P 与点 P0 重合； 当 t0 时，点 P 在点 P0 的左侧；问题 2：直线 上的点与对应的 参数 t 是不是一l对应关系？我们把直线 看作是实数轴，以直线 向上的方向为正方向，以定点 P0l为原点，以原坐标系的单位长为单位长，这样参数 t 便和这条实数轴上的点 P 建立了一一对应关系.问题 3：P 1、 P2 为直线 上两点所对应的参数分别为 t1、t 2 ，l则 P1P2？，P 1P2=？ P1P2P 1P0P 0P2t 1t 2t 2t 1，P 1P2
3、= t 2t 1问题4：若 P0 为直线 上两点 P1、P 2 的中点，P 1、P 2 所对应的l参数分别为 t1、t 2 ，则 t1、t 2 之间有何关系？根据直线 参数方程 t 的几何意义，P1Pt 1，P 2Pt 2，P 0 为直线 l上两点 P1、P 2 的中点， |P 1P|P 2P|P1PP 2P，即 t1t 2, t1t20一般地，若 P1、P 2、P 3 是直线 上的点，l所对应的参数分别为 t1、t 2、t 3，P 3 为 P1、P 2 的中点则 t3 （P 1P3P 2P3, 根据直线 参数方程 t 的几何意义，tlP 1P3= t3t 1, P2P3= t3t 2, t
4、3t 1=(t 3t 2,) ）性质一：A、B 两点之间的距离为 ，特别地，A、B 两点到 的距离|2t0M分别为 .|,|21t性质二：A、B 两点的中点所对应的参数为 ，若 是线段 AB 的中点，则21t0，反之亦然。021t在解题时若能运用参数 t 的上述性质，则可起到事半功倍的效果。应用一：求距离例 1、直线 过点 ，倾斜角为 ，且与圆 相交于 A、B 两点。l)0,4(P672yx（1）求弦长 AB.（2）求 和 的长。A0Bxyh0hP0hP( ),xyh0hPP0hlxyh0hP1P0hlP2解：因为直线 过点 ，倾斜角为 ，所以直线 的参数方程为l)0,4(P6l，即 ， （t
5、 为参数） ，代入圆方程，得6sin0co4tyxtyx213，整理得7)(234(2tt 0934tt（1）设 A、B 所对应的参数分别为 ，所以 ， ，21,t3421t921t所以 |21t.4)(21t（2）解方程 得， ，0934,321t所以 ，AP0|1tBP.|2t应用二：求点的坐标例 2、直线 过点 ，倾斜角为 ，求出直线 上与点 相距为 4 的点的l)4,(06l),2(0P坐标。解：因为直线 过点 ，倾斜角为 ，所以直线 的参数方程为l),2(0Pl，即 ， （t 为参数） ， （1）6sin4co2tyxyx2143设直线 上与已知点 相距为 4 的点为 M 点，且 M
6、 点对应的参数为 t，则l),(0P，所以 ，将 t 的值代入（1）式，|0MP4tt当 t4 时，M 点的坐标为 ；)6,32(当 t4 时，M 点的坐标为 ，综上，所求 M 点的坐标为 或 .),()2,3(点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求 M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数 t 的几何意义求 M 点的坐标较容易。应用三：解决有关弦的中点问题例 3、过点 ，倾斜角为 的直线 和抛物线 相交于 A、B 两点，求线)0,1(P4lxy2段 AB 的中点 M 点的坐标。解：直线 过点 ，倾斜角为 ，所以直线 的参数方程为l)0,1(P4l， （t 为参数） ，因为直线 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程yx21l中，得： ，整理得 ，x)21()2(tt0212t，设这个二次方程的两个根为 ，064)(2 21,t由韦达定理得 ，由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得21t，易知中点 M 所对应的参数为 ，将此值代入直线的参数方程ttM 2Mt得，M 点的坐标为（2，1）点评：对于上述直线 的参数方程， A、B 两点对应的参数为 ，则它们的中点所对l 21,t应的参数为 .21t
