1、1高中数学 4.4 生活中的优化问题举例自我小测 湘教版选修 2-21甲工厂八年来某产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示，现有四种说法：前三年该产品产量增长速度越来越快；前三年该产品产量增长速度越来越慢；第三年后该产品停止生产；第三年后该产品产量保持不变其中说法正确的有( )A B C D2要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20，要使其体积最大，则其高为( )A B100 C20 D2033 2033设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为( )A B C D23V 32V 34V 3V4某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成
2、本增加 100元，已知总收益 R 与年产量 x 的关系是 R(x)Error!则总利润最大时，每年生产的产量是( )A100 B150 C200 D3005用总长 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长 0.5 m，那么高为_ 时容器的容积最大，最大容积为_6某厂生产某种商品 x 单位的利润是 L(x)500 x0.001 x2，生产_单位这种商品时利润最大，最大利润是_7做一个无盖的圆柱形水桶，若需容积是 27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_8一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比已知速度为每小时 10 海里时，燃料费是每小时 6 元，而其
3、他与速度无关的费用是每小时 96 元，要使航行 1 海里所需的费用最少轮船的速度为_，航行 1 海里所需的费用总和最少为_2参考答案1B2A 如图，设底面半径为 r，高为 h，则有sin ， cos ，r20 h20 V( ) r2h8 000sin 2 cos . V( )16 000sin cos2 8 000sin 3 .令 V( )0，解得 tan ，得唯一极值点2cos . h .33 20333C 设底面边长为 x，则表面积 S x2 (x0)， S (x34 V)，32 43Vx 3x2令 S0，得唯一极值点 x .34V4D 设总利润为 y 元，则 yError!当 x(400
4、，)时， y1000，此时 y 无最值当 x0,400时， y x300.令 y0，得 x300.由 y在 x300 处由正变负，故 y 在 x300 处有唯一极值点又 f(0)0， f(400)0， f(300)为最大值51.2 m 1.8 m3 设容器底面短边长为 x m，则另一边长为( x0.5) m，高为3.22 x.14.8 4x 4(x 0.5)4由 3.22 x0 和 x0，得 0 x1.6.设容器的容积为 y m3，则有 y x(0.5 x)(3.22 x)2 x32.2 x21.6 x(0 x1.6) y6 x24.4 x1.6.令 y0，有6 x24.4 x1.60，解得
5、x11， x2 (不合题意，舍去)415当 x1 时， y 取最大值， y 最大 22.21.61.8(m 3)，这时高为33.2211.2(m)当高为 1.2 m 时，容器的容积最大为 1.8 m3.6500 750 L( x)10.002 x.令 L( x)0，得 x500，此时 L(500)750.由已知， L(x)在其定义域0，)上只有一个极值点，所以生产 500 单位这种商品时利润最大，最大利润为 750.73 设底面半径为 R，母线长为 l，则 V R2l27. l .要使用料最省，只需使圆柱的表面积最小27R2 S 表 R22 Rl R22 ，27RS 表 2 R 0， R3.
6、S 表 有唯一极值点，故当 R3 时， S 表 最小54R2820 海里/时 7.2 元 设速度为每小时 v 海里时燃料费是每小时 p 元，那么由题设的比例关系，得 p kv3，其中 k 为比例常数，它可以由 v10， p6 求得，即k 0.006.于是有 p0.006 v3.6103又设当船的速度为每小时 v 海里时，航行 1 海里所需的总费用为 q 元，那么因每小时所需的总费用是 0.006v396(元)，而航行 1 海里所需时间为 小时所以，航行 1 海里的1v总费用为q (0.006v396)0.006 v2 .1v 96vq0.012 v (v38 000)96v2 0.012v2令 q0，解得 v20.又当 v20 时， q0；当 v20 时， q0，所以当 v20 时， q 取得最小值，即当速度为 20 海里/时，航行 1 海里所需费用的总和最少为q0.006 v2 0.00620 2 7.2(元)96v 9620
