1、 1 27.2.3 相似三角形的性质一、课前预习 (5 分钟训练)1.若 ,则 =_.21fedcbafdbeca2.如图 27-2-3-1,D,E 分别是ABC 中 AB,AC 边上的中点,则 SADE S ABC =_图 27-2-3-1 图 27-2-3-2 图 27-2-3-33.如图 27-2-3-2,D,E 分别是ABC 的边 AB,AC 上的点,且 DEBC,BE 交 DC 于 F 点,EFFB=1 3, 则 SADE S ABC 的值为( )A.13 B.19 C.1 D.以上答案都不 对3二、课中强化(10 分钟训练)1.两个相似三角形的一组对应边的长分别是 15 和 23,
2、它们周长的差是 40,则这两个三角形的周长分别为( )A.75,115 B.60,100 C.85,125 D.45,852.如图 27-2-3-3 所示,D,E,F 分别在 ABC 的边上,DEBC,EFAB,如果 ADDB=1 2,则SDEF S ABC 等于( )A.13 B.14 C.19 D.293.如图 27-2-3-4,已知 D,E 分别是ABC 的 AB,AC 边上一点,DEBC,且 S 下标ADES下标四边形 DBCE=13,则 ADAB=_.图 27-2-3-6 三、课后巩固(30 分钟训练)1.如图 27-2-3-6 所示,在正方形网格上有两个三角形 :A 1B1C1 与
3、A 2B2C2,则A 1B1C1 的面积与A 2B2C2 的面积之比等于 ( )A.41 B.31 C.52 D.53 2 图 27-2-3-7 图 27-2-3-82.如图 27-2-3-7,把ABC 沿 AB 平移到AB C的位置,它们的重叠部分的面积是ABC 面积的一半.若 AB= ,则此三角形移动的距离 AA是( )2A. -1 B. C.1 D.2 213.如图 27-2-3-8,D 是ABC 的边 AB 上一点,B=ACD,AC=1, ACD 与BDC 的面积之比为 21,则 AD 的长为_.4.如图 27-2-3-9,在ABC 中, ADDB=1 2,DEBC,若ABC 的面积为
4、 9,则四边形 DBCE的面积为_.图 27-2-3-9 图 27-2-3-105.如图 27-2-3-11,RtABC 中,ACB=90,P 为 AB 上一点,Q 为 BC 上一点,且 PQAB,若BPQ 的面积等于四边形 APQC 面积的 ,AB=5 cm,PB=2 cm,求ABC 的面积.41图 27-2-3-117.如图 27-2-3-12,在 ABCD 中,E 是 BC 的中点,F 是 BE 的 中点,AE 与 DF 相交于点 H,则 SEFH 与 SADH 的比值是多少 ?图 27-2-3-12 3 8.等腰ABC 中,顶角为 A,ADBC 于 D 点,AD=12 cm,BC=10
5、 cm,等腰ABC中,ADBC于 D点,且ABCABC,ABAB=13.(1)求 AB的长 ;(2)求 AD的长 ;(3)求ABC的周长;(4)求ABC的面积.9.寒假里,小亮帮妈妈到集市上去买鱼,鱼摊上有一种鱼,个个长得都非常相似,现有两种不同的价格,鱼长 10 cm 的每条 10 元,鱼长 13 cm 的每条 15 元,小亮不知道买哪种更好,请你帮他出个主意.图 27-2-3-1310.如图 27-2-3-14,有一个半径为 50 米的圆形草坪,现在沿草坪的四周开辟了宽 10 米的环形跑道.小明说:草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆是相似的图形.小颖说:任意两个圆都相似.小刚说:这
6、两个圆的半径的比是 56,周长的比应该也是 56,面积的比也是 56.你认为他们的说法对吗?为什么?图 27-2-3-1411.某生活小区的居民筹集资金 1 600 元,计划在一块上,下底分别为 10 m,20 m 的梯形空地上种植花木,如图 27-2-3-15.(1)他们在AMD 和BMC 地带上种植太阳花,单价 8 元/m 2,当AMD 地带种满花后( 图27-2-3-15 中阴影部分 ),共花了 160 元,请计算种满BMC 地带所需的费用. 4 (2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择, 单价分别为 12 元/m 2 和 10 元/ m2,应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资
7、金?图 27-2-3-15参考答案一、课前预习 (5 分钟训练)1.若 ,则 =_.21fedcbafdbeca解析：由题意,得 b=2a,d=2c,f=2e,代入化简可得答案.答案：2.如图 27-2-3-1,D,E 分别是ABC 中 AB,AC 边上的中点,则 SADE S ABC =_ 5 图 27-2-3-1解析：两三角形的相似比为 ,故面积比为 .2141答案：143.如图 27-2-3-2,D,E 分别是ABC 的边 AB,AC 上的点,且 DEBC,BE 交 DC 于 F 点,EFFB=1 3, 则 SADE S ABC 的值为( )图 27-2-3-2A.13 B.19 C.1
8、 D.以上答案都不 对3解析：由DEFCBF 求得 DE 与 BC 的比,再由ADEABC 求得面积的比.答案：B4.在一张由复印机复印出来的纸上,一个多边形的一条边的长由原来的 1 cm 变成 4 cm,那么它的周长由原来的 3 cm 变成( )A.6 cm B.12 cm C.24 cm D.48 cm解析：复印图形相似,相似比等于周长比,故变成 12 cm.答案：B二、课中强化(10 分钟训练)1.将一个五边形 改成与它相似的五边形 ,如果面积扩大为原来的 9 倍,那么周长扩大为原来的( )A.9 倍 B.3 倍 C.81 倍 D.18 倍解析：根据相似三角形的周长与面积的关系求解.答案
9、：B2.两个相似三角形的一组对应边的长分别是 15 和 23,它们周长的差是 40,则这两个三角形的周长分别为( ) 6 A.75,115 B.60,100 C.85,125 D.45,85解析：设较小的周长为 x,则较大的为(x+40), 由题意,得 ,解之,得 x=75.231540x答案：A3.如图 27-2-3-3 所示,D,E,F 分别在 ABC 的边上,DEBC,EFAB,如果 ADDB=1 2,则SDEF S ABC 等于( )图 27-2-3-3A.13 B.14 C.19 D.29解析：易得ADEABC,所以 .DE 到 BC 的距离与31DBABCDEABC 的高的比等于
10、23,所以 .9231AFS答案：D4.两个相似多边形对应边的比为 32,小多边形的面积为 32 cm2,那么大多边形的面积为_解析：两个相似三角形面积的比等于相似比的平方.答案：72 cm 25.如图 27-2-3-4,已知 D,E 分别是ABC 的 AB,AC 边上一点,DEBC,且 S 下标ADES下标四边形 DBCE=13,则 ADAB=_.图 27-2-3-4解析：两三角形的面积比为 ,故两三角形的相似比为 .4121答案：126.某块地的平面如图 27-2-3-5,A=90, 其比例尺为 12 000,根据图中标注的尺寸( 单位:cm),求这块地的实际周长和面积. 7 图 27-2
11、-3-5解：根据平面图所示各线段的长度,算出四边形的周长为 32 cm,根据比例尺转化为 640 m.图上四边形的面积可分为ABD 和BCD 的面积的和.因为ABD 为直角三角形,所以BD=5.又 CD=12,BC=13,所以BCD 为直角三角形,四边形的面积为 34+ 125=36.21利用比例尺折合为 14 400 m2.三、课后巩固(30 分钟训练)1.如图 27-2-3-6 所示,在正方形网格上有两个三角形 :A 1B1C1 与A 2B2C2,则A 1B1C1 的面积与A 2B2C2 的面积之比等于 ( )A.41 B.31 C.52 D.53图 27-2-3-6解析：设正方形网格上
12、的每个小正方形的边长为 a,则 = ,1CBAS25a= ,故 = =52.2CBAS2a1CBAS2B:52a答案：C2.如图 27-2-3-7,把ABC 沿 AB 平移到AB C的位置,它们的重叠部分的面积是ABC 面积的一半.若 AB= ,则此三角形移动的距离 AA是( )2图 27-2-3-7A. -1 B. C.1 D.22 21 8 解:AC AC,ADBACB. .2)(ABSCDAB= ,SADB = SACB ,121)(BAAB=1.AA=AB-AB= -1.2答案：A3.如图 27-2-3-8,D 是ABC 的边 AB 上一点,B=ACD,AC=1, ACD 与BDC 的
13、面积之比为 21,则 AD 的长为_.图 27-2-3-8 图 27-2-3-9解析：找准对应边,然后运用相似三角形的性质.答案： 364.如图 27-2-3-9,在ABC 中, ADDB=1 2,DEBC,若ABC 的面积为 9,则四边形 DBCE的面积为_.解析：S ADE S ABC =19,S ADE =1.四边形的面积为 8.答案：85.如图 27-2-3-10,在直线 m 上摆放着三个正三角形:ABC,HFG,DCE,已知BC= CE,F,G 分别是 BC,CE 的中点,F MAC,GNDC.设图中三个平行四边形的面积依21次是 S1,S2,S3,若 S1+S3=10,则 S2=_
14、. 9 图 27-2-3-10解析：ABCHFG DCE,S ABC S DCE=14.S 1S 3=14.S 1=2.S 2=2S1=4.答案：46.如图 27-2-3-11,RtABC 中,ACB=90,P 为 AB 上一点,Q 为 BC 上一点,且 PQAB,若BPQ 的面积等于四边形 APQC 面积的 ,AB=5 cm,PB=2 cm,求ABC 的面积.4图 27-2-3-11解：C=QPB, B=B,BPQ BCA.又S BPQ S BCA =15, .51ABQQB= .QP=1.5S BPQ =1.S BCA =5.7.如图 27-2-3-12,在 ABCD 中,E 是 BC 的
15、中点,F 是 BE 的 中点,AE 与 DF 相交于点 H,则 SEFH 与 SADH 的比值是多少 ?图 27-2-3-12解：四边形 ABCD 是平行四边形,AD=BC.E 是 BC 的中点 ,BE= BC= AD.21F 是 BE 的中点,EF= BE= AD.4又 ABCD 中,ADBC,即 ADFE,EFHADH.S EFH S ADH =EF2AD 2=116. 10 8.等腰ABC 中,顶角为 A,ADBC 于 D 点,AD=12 cm,BC=10 cm,等腰ABC中,ADBC于 D点,且ABCABC,ABAB=13.(1)求 AB的长 ;(2)求 AD的长 ;(3)求ABC的周
16、长;(4)求ABC的面积.解：(1)因为 BD=CD(等腰三角形三线合一),所以 BD=5 cm.所以 AB=13 cm,AD=12 cm,BC=10 cm.所以ABC 周长为 36 cm,面积为 60 cm.因为ABCABC, 相似比为13,所以周长比为 13,面积比为 19,所以 AB=39 cm.(2)AD=36 cm.(3)ABC周长为 108 cm.(4)SABC =540 cm2.9.寒假里,小亮帮妈妈到集市上去买鱼,鱼摊上有一种鱼,个个长得都非常相似,现有两种不同的价格,鱼长 10 cm 的每条 10 元,鱼长 13 cm 的每条 15 元,小亮不知道买哪种更好,请你帮他出个主意
17、.图 27-2-3-13解：10 313 31015,买 13 cm 的鱼合算.10.如图 27-2-3-14,有一个半径为 50 米的圆形草坪,现在沿草坪的四周开辟了宽 10 米的环形跑道.小明说:草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆是相似的图形.小颖说:任意两个圆都相似.小刚说:这两个圆的半径的比是 56,周长的比应该也是 56,面积的比也是 56.你认为他们的说法对吗?为什么?图 27-2-3-14解：小明,小颖的说法正确,小刚的说法不对.圆是相似图形,面积的比等于相似比的平方,周长的比为相似比(半径的比). 来源: 学科网 11 11.某生活小区的居民筹集资金 1 600 元,计
18、划在一块上,下底分别为 10 m,20 m 的梯形空地上种植花木,如图 27-2-3-15.(1)他们在AMD 和BMC 地带上种植太阳花,单价 8 元/m 2,当AMD 地带种满花后( 图27-2-3-15 中阴影部分 ),共花了 160 元,请计算种满BMC 地带所需的费用.(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择, 单价分别为 12 元/m 2 和 10 元/ m2,应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金?图 27-2-3-15解：(1)四边形 ABCD 是梯形 ,ADBC.AMDBMC. .41)(2BCADSM种植AMD 地带花费 160 元,S AMD = =20(m2).860从而 SBMC =80 m2.种BMC 地带的花费为 808=640(元).(2)设AMD, BMC 的高分别为 h1,h2,梯形 ABCD 的高为 h.S AMD = 10h1=20,2h 1=4.又 = ,h 2=8.BCAD2h=h 1+h2=4+8=12.S 梯形 ABCD= (AD+BC)h= 3012=180.21S AMB +SDMC =180-20-80=80(m2).若种玫瑰,则共花费 160+640+8012=1 760(元).若种茉莉花,则共花费 160+640+8010=1 600(元).故种茉莉花刚好用完所筹集的资金. 12
