1、第 0 页第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线 l 与 x 轴相交时，我们把 x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0. 则直线 l 的倾斜角 的范围是 .02. 倾斜角不是 90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即 . 如果知道直线上两点tank，则有斜率公式 . 特别地是，当 ， 时，直线与 x 轴垂直，斜率 k 不存在；12(,)(,)Pxy 21ykx12x12y当 ， 时，直线与 y 轴垂直，斜率 k=0.1注意：直线的倾斜角 =90时，斜率不存在，即直线与 y 轴平行或者重合
2、. 当 =0时，斜率 k=0；当时，斜率 ，随着 的增大，斜率 k 也增大；当 时，斜率 ，随着 的增大，斜090k 9080k率 k 也增大. 这样，可以求解倾斜角 的范围与斜率 k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线 、 ，其斜率分别为 、 ，有：1l212（1） ；（2） .2/l1kl12k2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于 x 轴；.直线的点斜式方程1. 点斜式：直线 过点 ,且斜率为 k，其方程为 .l0()Pxy00()ykx2. 斜截式：直线 的斜率为 k，在 y 轴上截距为 b，其方程为
3、.b3. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线. 若直线 过点 且与 x 轴垂直,此时它的倾斜角为 90，斜率不l0,P存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为 ，或 . x04. 注意： 与 是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点 ，后者才是整条直线.0ykx00()yk 0(,)Pxy直线的两点式方程1. 两点式：直线 经过两点 ，其方程为 ， l12(,)(,)Pxy1122yx2. 截距式：直线 在 x、 y 轴上的截距分别为 a、 b，其方程为 .ab3. 两点式不能表示垂直 x、 y 轴直线；截距式不能表示垂直 x、 y 轴及过原点的直线.4. 线段 中点坐标公式 .12
4、P1212(,)y直线的一般式方程1. 一般式： ，注意 A、 B 不同时为 0. 直线一般式方程 化为斜截式方程0AxByC 0()AxByC，表示斜率为 ， y 轴上截距为 的直线 .yBC2. 与直线 平行的直线，可设所求方程为 ；与直线 垂直的直线，可:l 10AxByC设所求方程为 . 10xy3. 已知直线 的方程分别是： （ 不同时为 0） ， （ 不同时为12,l 11:0lAxBy1,22:0lAxByC2,AB0） ，则两条直线的位置关系可以如下判别：（1） ； （2） ；12AB2211/ ,l（3） 与 重合 ； （4） 与 相交 .l2 110,C1l22如果 时，则
5、 ； 与 重合 ； 与 相交 . 0C122/lABl2ABC1l212AB两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组 . 若方程组有惟一解，则11220xy两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程 为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1122()()AxByCAxByC第 1 页与 的交点.110AxByC220AxByC两点间的距离1. 平面内两点 ， ，则两点间的距离为： .1(,)Pxy2(,)xy 221211|()()Pxy特别
6、地，当 所在直线与 x 轴平行时， ；当 所在直线与 y 轴平行时，2 12|x,；122|Py点到直线的距离及两平行线距离1. 点 到直线 的距离公式为 .0(,)x:0lAxByC02|AByCd2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线 ， 之间的11:0lx22:0lAxByC距离公式 ，推导过程为：在直线 上任取一点 ，则 ，即12|CdAB2l0(,)Pyy. 这时点 到直线 的距离为02AxBy0(,)Pxy11:lAxByC0122|xdAB常用知识点：一斜率存在时两直线的平行： = 且 .21/l1k221b： ， ： ， 的充要条件是 1l01CyBxA2l0Cy
7、BxAl 2121CBA二斜率存在时两直线的垂直： 21l21k： ， ： ， 1l01yx2l0yx1l2021巧妙假设直线方程：（1）与 平行的直线可以假设成： （C 1和 C2不相等）1ABC 2AxBy（2）与 垂直的直线可以假设成：Bx-Ay+m=00xy第 2 页直线与方程练习题一.选择题1直线 x=3 的倾斜角是（ ）A.0 B. C.180 D.不存在902直线 x+6y+2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是（ ）A. B. C. D.2，33,213,2,3直线 3x+y+1=0 和直线 6x+2y+1=0 的位置关系是（ ）A.重合 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂
8、直4. 过点(1,0)且与直线 x-2y=0 平行的直线方程是（ ）A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=05.过点 (1,3)P且垂直于直线 032yx 的直线方程为（ ）A. 02yx B. 5 C. 5yx D. 072yx 6.已知过点 (,)m和 (,4)的直线与直线 01平行，则 m的值为（ ）A. B. 8 C. 2 D. 7. 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行，则系数 a= A、 -3 B、-6 C、 D、3328.已知直线 1 2:(3)(4)10,:()0,lkxkylkxy与 平行，则 k 得
9、值是（ ） A. 1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 9.点 P（-1，2）到直线 8x-6y+15=0 的距离为（ ）A 2 B C 1 D 2710直线过点 (3,2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（ ）（A）2x3y0; （B）x y50;（C）2x3y 0 或 xy 50 （D ）x y5 或 xy5011. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点，则该点的坐标是 A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）12直线 当 变动时，所有直线都通过定点（ ）,3kykx（A） （0，0） （B） （0，1） （C） （3，1） （D） （2，1）第 3 页三.解答题1.已知两条直线 . 为何值时, 1 2:,:416lxmylxym12:l与（1）相交 （2）平行 （3）垂直2. 求经过直线 032:,0532:1 yxlyxl 的交点且平行于直线 032yx的直线方程. 3.求平行于直线 且与它的距离为 的直线方程。20,xy2
