1、第一讲函数的图象与性质,【知识回顾】1.函数的性质(1)单调性:对于函数y=f(x)定义域内某一区间D上的任意x1,x2,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0(0(0)或向_(a0)或向_(a0且a1)的单调性时,不讨论底数的取值;忽略ax0的隐含条件;幂函数的性质记忆不准确.,【考题回访】1.(2016全国卷)函数y=2x2-e|x|在-2,2上的图象大致为(),【解析】选D.f(2)=8-e28-2.820,f(2)=8-e20时,f(x)=2x2-ex,f(x)=4x-ex,当x 时,f(x)b1，0c1，则()A.acbcB.abcbacC.alogbcblogac D.logac1
2、acbc，A错误.对B：由于-1b1ac-1bc-1bac1)，则f(x)=lnx+110，f(x)在(1，+)上单调递增，因此f(a)f(b)0alnablnb0 又由0c1得lncalogbc，C正确.对D：要比较logac和logbc，只需比较 而函数y=lnx在(1，+)上单调递增，故ab1lnalnb0 又由0logbc，D错误.,3.(2016全国卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=,【解析】选D.y=10lgx=x,其定义域与值域均为(0,+).函数y=x的定义域和值域都是R;函数y=lgx的
3、定义域为(0,+),值域为R;函数y=2x的定义域为R,值域为(0,+);函数y= 的定义域与值域均为(0,+).,热点考向一函数的概念及其表示命题解读:主要考查函数的定义域、值域的求法,以函数为载体,考查求函数值或已知函数值(大小),求字母的值(或取值范围)等,以选择题、填空题为主.,【典例1】(1)(2015全国卷)设函数f(x)= f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12(2)(2016蚌埠一模)函数f(x)=lg(x-1)+ 的定义域为_.,【解题导引】(1)根据自变量的不同取值,适当选取分段函数的表达式,代入即可求值.(2)根据对数函数以及二次根式的性质求出函数
4、的定义域即可.,【规范解答】(1)选C.由已知得f(-2)=1+log24=3,又log2121,所以f(log212)= 故f(-2)+f(log212)=9.(2)由题意得: 解得:1x0,a1)的定义域和值域都是(0,1,则 =()A.1B.2C.3D.4,【解析】选C.当x=1时,y=0,则函数为减函数,故a1,则当x=0时,y=1,则y= =1,即a-1=1,则a=2,则,2.已知函数f(x)= 则f(f(-4)=_.【解析】函数f(x)= 则f(f(-4)=f(24)= =4.答案:4,【加固训练】1.(2016湖州一模)已知函数f(x)=|x-1|,则下列函数与f(x)相等的函数
5、是(),【解析】选B.函数f(x)=|x-1|的定义域为R,选项A:g(x)= 的定义域为x|x-1,选项B:g(x)= 且定义域也为R,故相等;选项C:g(x)= 与f(x)的对应关系不同;选项D:g(x)=x-1的对应关系与f(x)的对应关系不同.,2.(2016石嘴山一模)已知函数f(x)= 则 的值是_.【解析】 答案:,热点考向二函数的图象及应用命题解读:主要考查利用函数的解析式选择图象,利用函数的图象选择解析式、利用函数的图象来研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题以及解不等式、比较大小等,以选择题、填空题为主.,【典例2】(1)(2016浙江高考)函数y=sin
6、x2的图象是(),(2)(2016合肥一模)函数y=2|x|的定义域为a,b,值域为1,16,当a变动时,函数b=g(a)的图象可以是(),【解题导引】(1)根据函数奇偶性的性质和最值进行判断排除即可.(2)根据a变动时,以及函数的值域可知b为定值4,结合选项即可得到答案.,【规范解答】(1)选D.因为sin(-x)2=sinx2,所以函数y=sinx2是偶函数,即函数的图象关于y轴对称,排除A,C;当x2= ,即x= 时,ymax=1,排除B.(2)选B.根据选项可知a0,a变动时,函数y=2|x|的定义域为a,b,值域为1,16,所以2|b|=16,|b|=4,又b0,所以b=4.,【规律
7、方法】1.作函数图象的方法及注意点(1)常用描点法和图象变换法.(2)图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换.(3)注意y=f(x)与y=f(-x),y=-f(x),y=-f(-x),y=f(|x|),y=|f(x)|及y=af(x)+b的相互关系.,2.由函数解析式识别函数图象的策略,3.函数图象的应用(1)判定函数的性质.(2)判定方程根的个数及不等式的解,【题组过关】1.(2016揭阳二模)函数f(x)=(1+cosx)sinx在-,的图象的大致形状是(),【解析】选A.由f =1可排除C,D,由 可排除B.,2.如图,把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上,顶点A(0,1),一动点
8、M从点A开始逆时针绕圆运动一周,记 =x,直线AM与x轴交于点N(t,0),则函数t=f(x)的图象大致为(),【解析】选D.当x由0 时,t从-0,且单调递增,当x由 1时,t从0+,且单调递增,所以排除A,B,C.,【加固训练】1.(2016赤峰一模)如图可能是下列哪个函数的图象(),【解析】选C.对于选项A,x=1显然是函数的零点,此外f(4)f(5)0且x1,与图象不符.,2.函数f(x)= 的图象可能是(),【解析】选A.若使函数f(x)= 的解析式有意义,则 即函数f(x)= 的定义域为(-2,-1)(-1,+),可排除B,D;当x(-2,-1)时,sinx0,可排除C.,热点考向
9、三函数的性质及其应用 命题解读:主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值,考查函数的取值范围、比较大小等,一般为选择题、填空题.,命题角度一确定函数的单调性(区间)、奇偶性、周期性、最值及对称性【典例3】(2016泉州一模)已知函数f(x)= 则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为-1,+),【解题导引】利用偶函数、增函数、周期函数的定义及求f(x)的值域的方法逐个选项验证.,【规范解答】选D.因为f()=2+1,f(-)=-1,所以f(-)f(),所以函数f(x)不是偶函数,排除A;因为函数f(x)在(-2,-)上单
10、调递减,排除B;函数f(x)在(0,+)上单调递增,所以函数f(x)不是周期函数,排除C;因为x0时,f(x)1,x0时,-1f(x)1,所以函数f(x)的值域为-1,+).,【母题变式】1.若把条件“cosx”变为“-x2+1”,则结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为-1,+),【解析】选B.因为f(x)=x2+1在(0,+)上递增,而f(x)=-x2+1,在(-,0上也递增,故f(x)在R上为增函数.,2.若条件不变,试求该函数的单调递增区间.【解析】当x0时,单调递增区间为(0,+),当x0时,要使函数为递增函数,只需x(2k
11、-,2k(kZ,且k0),所以该函数的单调递增区间为(0,+),(2k-,2k(kZ且k0).,命题角度二函数性质的应用【典例4】(2016全国卷)已知函数f(x)(xR)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则 =()A.0B.mC.2mD.4m,【解题导引】由f(x)=f(2-x)可得出函数y=f(x)的图象关于x=1对称,画出函数y=|x2-2x-3|的图象,可知其图象关于x=1对称,结合图象利用函数对称解题.,【规范解答】选B.因为y=f(x),y=|x2-2x-3|的图象都关于x=1对称,所以
12、它们的交点也关于x=1对称.当m为偶数时,其和为2 =m;当m为奇数时,说明有一个交点为(1,4),其和为2 +1=m,综上 =m.,【规律方法】1.判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(增+增得增、减+减得减及复合函数的同增异减)、定义法和导数法.,2.判断函数是奇(偶)函数的关注点必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x),而不能说存在x0,使f(-x0)=-f(x0)(f(-x0)=f(x0).,3.求函数最值的常用方法数形结合法、单调性法、基本不等式法、导数法和换元法.4.判断函数周期性的方法定义法和结论法.,5.函数三个性质的应用(1)奇偶性:具
13、有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上.尤其注意偶函数f(x)的性质:f(|x|)=f(x).,(2)单调性:可以比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性.(3)周期性:利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.,【题组过关】1.(2015全国卷)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=()A.-1B.1C.2D.4,【解析】选C.因为函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称
14、,所以-x=2-y+a,解得f(x)=-log2(-x)+a,又f(-2)+f(-4)=1,所以-log22-log24+2a=1,解得a=2.,2.(2015全国卷)设函数f(x)=ln(1+|x|)- ,则使得f(x)f(2x-1)成立的x的取值范围是(),【解析】选A.f(x)是偶函数,且在0,+)上是增函数,所以f(x)f(2x-1)f(|x|)f(|2x-1|)|x|2x-1| x1.,3.(2016朔州一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x-1,1时,f(x)= ,则()A.f(-3)f(2)f B.f f(-3)f(2)C.f(2)f(-3)f
15、D.f(2)f f(-3),【解析】选D.因为f(x-1)=f(x+1),所以f(x)=f(x+2),即函数的周期是2,当x-1,1时,f(x)= 则f(-x)= =f(x),则函数f(x)为偶函数,当0x1时,函数y=x为增函数,y=1- 也为增函数,则函数f(x)= 在0x0时,f(x)=2x+1,则f(-2)等于_.【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2)=22+1=5.答案:5,4.(2016安阳一模)定义在R上的奇函数f(x)满足当x0时,f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b为常数),若f(2)=-1,则f(-6)的值为_.,【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+b=0,解得:b=-1,所以当x0时,f(x)=log2(x+2)+(a-1)x-1,因为f(2)=-1,所以f(2)=2+2(a-1)-1=-1,所以a=0,所以f(x)=log2(x+2)-x-1,所以f(-6)=-f(6)=4.答案:4,5.(2016衡阳一模)已知函数f(x)=若关于x的不等式f(x)-2,
