1、第一讲三角函数的图象与性质,【知识回顾】1.三角函数的图象及性质,(kZ),(kZ),2k-,2k(kZ),2k,2k+,(kZ),(kZ),(k,0),kZ,x=k,kZ,2.三角函数图象的两种变换方法,横坐标,|,横坐标,纵坐标,纵坐标,【易错提醒】1.忽视定义域:求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时,要注意函数的定义域.,2.忽视图象变换顺序:在图象变换过程中,注意分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.,3.忽视A,的符号:在求y=Asin(x+)的单调区间时,要特别注意A
2、和的符号,若0,需先通过诱导公式将x的系数化为正的.,【考题回访】1.(2016全国卷)若将函数y=2sin2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的对称轴为(),【解析】选B.平移后图象的解析式为y=2sin2 ,令得对称轴方程:x= (kZ).,2.(2014全国卷)在函数y=cos|2x|,y=|cosx|,y=cos ,y=tan 中,最小正周期为的所有函数为()A. B.C. D.,【解析】选A.由y=cosx是偶函数可知y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为,即正确;y=|cosx|的最小正周期也是,即也正确;y=cos 最小正周期为,即正确;y=tan 的最小正周期为
3、,即不正确.即正确答案为.,3.(2016全国卷)函数y=sinx- cosx的图象可由函数y=sinx+ cosx的图象至少向右平移_个单位长度得到.,【解析】函数y=sinx- cosx=2sin ,根据左加右减原则可得只需将y=sinx+ cosx的图象向右平移 个单位即可.答案:,4.(2014全国卷)函数f(x)=sin(x+)-2sincosx的最大值为_.,【解析】f(x)=sin(x+)-2sincosx=sinxcos+cosxsin-2sincosx=sinxcos-cosxsin=sin(x-)1,故最大值为1.答案:1,热点考向一三角函数的定义域、值域、最值命题解读:主
4、要考查三角函数的定义域、值域、最值的求法,以及根据函数的值域和最值求参数的值.以选择题、填空题为主.,【典例1】(1)(2016茂名一模)函数y=lg(sinx)+ 的定义域为_.(2)(2016葫芦岛一模)已知函数f(x)=cosxsin - cos2x+ ,xR,则f(x)在闭区间 上的值域为_.,【解题导引】(1)构建不等式组,利用三角函数的图象求解.(2)利用三角函数的恒等变换及三角函数的单调性求解.,【规范解答】(1)要使函数有意义必须有 即 解得 (kZ),所以2kx +2k,kZ,所以函数的定义域为答案:,答案:,【规律方法】1.三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构建
5、并解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.,2.三角函数值域(最值)的三种求法(1)直接法:利用sinx,cosx的值域.(2)化一法:化为y=Asin(x+)+k的形式,限制x+的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值).,(3)换元法:把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题.,【题组过关】1.(2016济宁一模)函数f(x)=sinx+ cosx(x )的值域是_.,【解析】因为f(x)=sinx+ cosx=2sin ,又x ,所以所以2sin -1,2.答案:-1,2,2.(2016大庆一模)若f(x)=2sinx(00时,
6、由- x 得- x ,由题意知,- - ,所以 ,当0时,由- x 得 x- ,由题意知, - ,所以-2,综上知(-,-2,2.(2016长沙一模)已知函数f(x)=sin ,其中x ,若f(x)的值域是 ,则a的取值范围是_.,【解析】若- xa,则- 2x2a,- 2x+ 2a+ .因为当2x+ =- 或2x+ = 时,所以要使f(x)的值域是 ,则有 2a+ ,即 2a,所以 a ,即a的取值范围是 .答案:,3.当x 时,函数y=3-sinx-2cos2x的最大值是_.,【解析】因为 0)满足: 且在区间 内有最大值但没有最小值.给出下列四个命题:p1:f(x)在区间0,2上单调递减
7、;p2:f(x)的最小正周期是4;,p3:f(x)的图象关于直线x= 对称;p4:f(x)的图象关于点 对称.其中的真命题是()A.p1,p2B.p1,p3C.p2,p4D.p3,p4,(3)(2016全国卷)已知函数f(x)=sin(x+) x=- 为f(x)的零点,x= 为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在 上单调,则的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5,【解题导引】(1)由周期求得,利用特殊点求得,进而求出函数的单调区间.(2)利用 确定函数的对称轴,然后根据给出的命题,利用三角函数的性质逐一判断.,(3)根据x=- 为f(x)的零点,x= 为y=f(x)图象的对称轴能得到
8、w的取值范围,再根据f(x)的单调性结合选项从大到小验证得答案.,【规范解答】(1)选D.由五点作图知,解得=,= ,所以f(x)=cos(x+ ),令2kx+ 2k+,kZ,解得2k- x2k+ ,kZ,故f(x)的单调递减区间为(2k ,2k+ )(kZ).,(2)选C.由题意得,当 时,f(x)取得最大值,则cos =1,又易知T= =2,00)的单调区间时,令x+=z,则y=Asinz(或y=Acosz),然后由复合函数的单调性求得.,图象法:画出三角函数的图象,结合图象求其单调区间.(2)判断对称中心与对称轴:利用函数y=Asin(x+)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心
9、一定是函数的零点这一性质,通过检验f(x0)的值进行判断.,(3)三角函数的周期的求法:定义法;公式法:y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期为 ,y=tan(x+)的最小正周期为 .利用图象.,【题组过关】1.下列函数中,最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()A.y=cos B.y=sin C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx,【解析】选A.采用验证法.由y=cos =-sin2x,可知该函数的最小正周期为且为奇函数.,2.(2016洛阳一模)若函数y=cos (N*)图象的一个对称中心是 ,则的最小值为()A.1 B.2 C.4 D.8,【解析】选
10、B. (kZ)得=6k+2(kZ),又N*,所以min=2,故选B.,3.(2016日照一模)已知函数f(x)=sin(x+) 的最小正周期是,若将其图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象(),A.关于直线x= 对称B.关于直线x= 对称C.关于点 对称D.关于点 对称,【解析】选B.因为f(x)的最小正周期为,所以 =,=2,所以f(x)的图象向右平移 个单位后得到 的图象,又g(x)的图象关于原点对称,所以- +=k,kZ,= +k,kZ,又所以k=-1,=- ,所以f(x)=sin ,当x= 时,2x- =- ,所以A,C错误,当x= 时,2x- = ,所以B
11、正确,D错误.,【加固训练】1.已知函数f(x)=Acos(x+)(A0,0,R),则“f(x)是奇函数”是“= ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,【解析】选B.若f(x)是奇函数,则f(0)=0,所以cos=0,所以= +k(kZ),故= 不成立;若= ,则f(x)=Acos =-Asinx,f(x)是奇函数.所以f(x)是奇函数是= 的必要不充分条件.,2.(2016大庆一模)已知函数y=sinx+cosx,y=2 sinxcosx,则下列结论正确的是()A.两个函数的图象均关于点 成中心对称图形B.两个函数的图象均关于直线x=- 成轴对
12、称图形C.两个函数在区间 上都是单调递增函数D.两个函数的最小正周期相同,【解析】选C.令f(x)=sinx+cosx= sin ,g(x)=2 sinxcosx= sin2x.对于A,B,f =0,g =- 0,所以A,B都不正确.对于C,由- +2kx+ +2k(kZ),得f(x)的单调递增区间为 (kZ),又由- +2k2x +2k(kZ),得g(x)的单调递增区间为 (kZ),易知C正确.对于D,f(x)的最小正周期为2,g(x)的最小正周期为,D不正确.,3.(2016石家庄二模)已知函数f(x)=sinx+cosx(0),xR.若函数f(x)在区间(-,)内单调递增,且函数y=f(
13、x)的图象关于直线x=对称,则的值为_.,【解析】f(x)=sinx+cosx= sin ,因为f(x)在区间(-,)内单调递增,且函数图象关于直线x=对称,所以f()必为一个周期上的最大值,所以有+ =2k+ ,kZ,所以2= +2k,kZ.,又-(-) ,即2 ,所以2= ,所以= .答案:,热点考向三三角函数的图象及应用 命题解读:主要考查三角函数的图象变换,或根据图象求解析式或参数,三种题型都有可能出现,如果是解答题,一般考查综合应用.,命题角度一三角函数的图象及其变换【典例3】(1)(2016临沂一模)函数f(x)=sin(x+) 的图象如图所示,为了得到g(x)=sinx的图象,只
14、需把y=f(x)的图象上所有点(),A.向右平移 个单位长度B.向右平移 个单位长度C.向左平移 个单位长度D.向左平移 个单位长度,(2)(2016安康二模)已知函数f(x)=Asin(x+)(A,是常数,A0,0,0)的部分图象如图所示,其中M,N两点之间的距离为5,则f(6)=_.,【解题导引】(1)先求出f(x),g(x)的解析式,再判断平移情况.(2)设M(x1,2),N(x2,-2),利用两点间的距离求出|x1-x2|,确定函数的周期,利用周期性求解.,【规范解答】(1)选A.由图象知: 所以T=.又= ,所以=2.由f =0得:2 +=k(kZ),即=k- (kZ).,因为|0)
15、的最小正周期为.,(1)求函数f(x)的单调增区间.(2)将函数f(x)的图象向左平移 个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在0,b(b0)上至少含有10个零点,求b的最小值.,【题目拆解】解答本题第(2)问,可拆解成三个小题:求g(x)的解析式;求方程g(x)=0的解;求b的最小值.,【规范解答】(1)由题意得f(x)=2sinxcosx+2 sin2x- =sin2x- cos2x=2sin ,由最小正周期为,得=1,所以f(x)=2sin ,由2k- 2x- 2k+ ,kZ,整理得k- xk+ ,kZ,所以函数f(x)的单调增区间是 ,kZ.(2)将函数
16、f(x)的图象向左平移 个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin2x+1的图象,所以g(x)=2sin2x+1.,令g(x)=0,得x=k+ 或x=k+ (kZ),所以在0,上恰好有两个零点,若y=g(x)在0,b上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可,即b的最小值为,【规律方法】1.函数表达式y=Asin(x+)+B的确定方法,2.三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求:首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数,这是判断移动方向的关键点.(2)看移动方向:移动的方向一般记为“正向左,负向右”,看y=Asin(x+)中的正负和它的平移要求.,(3)看移动单位:在函数y=
17、Asin(x+)中,周期变换和相位变换都是沿x轴方向的,所以和之间有一定的关系,是初相,再经过的压缩,最后移动的单位是 .,【题组过关】1.(2016保定一模)为得到函数y=sin 的图象,可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度,或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),则|m-n|的最小值是(),【解析】选B.由题意可知,m= +2k1,k1为非负整数,n=- +2k2,k2为正整数,所以|m-n|= ,所以当k1=k2时,|m-n|min= .,2.(2016九江一模)将函数f(x)=sin(2x+)(|)的图象向左平移 个单位后得到函数g(x)=cos 的图象,则的值为(),【解
18、析】选C.由题意得g(x)=又g(x)=cos =sin ,所以 +=2k+ ,kZ,即=2k+ ,kZ,因为|,所以= .,3.(2016南昌二模)函数f(x)=Asin(x+) 的部分图象如图所示,若x1,x2 ,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=(),【解析】选D.观察图象可知,A=1,T=,所以=2,f(x)=sin(2x+).将 代入上式得sin =0,由| ,得= ,则f(x)=sin .函数图象的对称轴为x=,又x1,x2且f(x1)=f(x2),所以 所以x1+x2= ,所以f(x1+x2)=,【加固训练】1.(2016武汉一模)已知函数f(x)=sin(2x+ )
19、(xR),把函数f(x)的图象向右平移 个单位长度得函数g(x)的图象,则下列结论错误的是(),A.函数g(x)在区间 上为增函数B.函数g(x)为偶函数C.函数g(x)的最小正周期为D.函数g(x)的图象关于直线x= 对称,【解析】选D.因为f(x)=sin (xR),所以g(x)=sin =-cos2x,故函数g(x)的最小正周期T= =,函数g(x)为偶函数,且 ,故函数g(x)的图象不关于直线x= 对称,当0x 时,02x,则函数g(x)在区间 上为增函数,故选D.,2.(2016秦皇岛一模)已知函数f(x)=cos(x+- ) 的部分图象如图所示,则 取得最小值时x的取值集合为(),【解析】选B.因为f(x)=cos =sin(x+),由题图可知又由题图得sin 即2 +=2k+ ,kZ,所以=2k- ,kZ,又|0,0,| )的部分图象如图所示,则f(x)的递增区间为(),【解析】选B.由图象可知A=所以T=,故=2.由五点法作图可得2 +=0,求得=- ,所以,f(x)=2sin ,由2x- (kZ),得x (kZ),所以f(x)的单调递增区间是 (kZ).,
