1、- 1 -初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的实数根，是由它的系数 a, b, c 的值确定的. 根公式是：x= . (b 24ac0)acb42. 根的判别式 实系数方程 ax2+bx+c=0(a0)有实数根的充分必要条件是：b24ac0. 有理系数方程 ax2+bx+c=0(a0)有有理数根的判定是：b24ac 是完全平方式 方程有有理数根.整系数方程 x2+px+q=0 有两个整数根 p24q 是整数的平方数.3. 设 x1, x 2 是 ax2+bx+c=0 的两个实数根，那么 ax12+bx1+c=0 (a0
2、，b 24ac0) ， ax22+bx2+c=0 (a 0， b24ac0)； x1= ， x 2= (a 0, b 24ac 0)；ac42 acb4 韦达定理：x 1+x2= , x1x2= (a0, b 24ac 0).b4. 方程整数根的其他条件整系数方程 ax2+bx+c=0 (a0)有一个整数根 x1 的必要条件是：x 1 是 c 的因数. 特殊的例子有： C=0 x1=0 ， a+b+c=0 x1=1 ， ab+c=0 x1=1.二、例题例 1. 已知：a, b, c 是实数，且 a=b+c+1.求证：两个方程 x2+x+b=0 与 x2+ax+c=0 中，至少有一个方程有两个不
3、相等的实数根. 证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么 10 和 - 2 -即 1042cba由得 b ，b+1 代入，得5ac=b+1 ， 4c 4a 5 4：a 24a+5 0，即（a2） 2+10，这是不能成立的.既然 10 和 20 不能成立的，那么必有一个是大于 0.方程 x2+x+b=0 与 x2+ax+c=0 中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当 1 20 时，则 1 和 2 中至少有一个是正数.例 2. 已知首项系数不相等的两个方程： （a1）x 2(a 2+2)x+(a2+2a)=0 和 (b1)x 2(b 2+2)x+(b2+
4、2b)=0 (其中 a,b 为正整数)有一个公共根. 求 a, b 的值.解：用因式分解法求得：方程的两个根是 a 和 ； 方程两根是 b 和 .12a12由已知 a1, b1 且 ab.公共根是 a= 或 b= .b两个等式去分母后的结果是一样的.即 aba=b+2, aba b+1=3, (a1)(b 1)=3.a,b 都是正整数， ； 或 .31b 13ba解得 ； 或 .42a 24又解： 设公共根为 x0 那么先消去二次项： （ 0)2()()1(20bbaa（b1）（a1） 得（a 2+2）(b1)+(b 2+2)(a1)x 0+(a2+2a)(b1)(b 2+2b)(a1)=-
5、3 -整理得 （ab）(abab2)(x 01)=0.ab x 01； 或 (abab2)0.当 x01 时，由方程得 a=1, a1=0，方程不是二次方程. x 0 不是公共根.当(ab ab2)0 时， 得(a1)(b 1)=3 解法同上 .例 3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程 x2+mx+n=0 的两根差与方程 y2+ny+m=0 的两根 差相等.求：m+n 的值 . 解：方程两根差是 21x21)x（ 21214)(xnm42同理方程两根差是 21ymn4依题意，得 .2两边平方得：m 24n=n 24m. （mn）(m+n+4)=0mn， m+n+4 0 ， m+n4.例
6、4. 若 a, b, c 都是奇数，则二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根 （m, n 是互质的整数）.m那么 a( )2+b( )+c=0, 即 an2+bmn+cm2=0.n把 m, n 按奇数、偶数分类讨论，m, n 互质，不可能同为偶数 . 当 m, n 同为奇数时，则 an2+bmn+cm2 是奇数奇数奇数奇数 0； 当 m 为奇数, n 为偶数时， an2+bmn+cm2 是偶数偶数奇数奇数0；- 4 - 当 m 为偶数, n 为奇数时， an2+bmn+cm2 是奇数偶数偶数奇数 0.综上所述 不论 m, n 取什么整数，方程 a( )
7、2+b( )+c=0 都不成立.nm即 假设方程有一个有理数根是不成立的.当 a, b, c 都是奇数时，方程 ax2+bx+c=0(a0) 没有有理数根 .例 5. 求证：对于任意一个矩形 A，总存在一个矩形 B，使得矩形 B 与矩形 A 的周长比和面积比都等于 k (k 1). 证明：设矩形 A 的长为 a, 宽为 b，矩形 B 的长为 c, 宽为 d.根据题意，得 .kacdc+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程 z2(a+b)kz+abk=0 的两个根. （a+b）k 24abk（a 2+2ab+b2）k 24abk=k(a 2+2ab+b2)k4
8、ab k1，a 2+b22ab, a 2+2ab+b24ab ，(a 2+2ab+b2)k4ab.0.一定有 c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形 B，使得矩形 B 与矩形 A 的周长比和面积比都等于 k (k1).例 6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？（k 21）x 26(3k 1)x+72=0 ； kx 2+(k22)x(k+2)=0. 解：用因式分解法求得两个根是：x 1= ， x 2= .k16k由 x1 是整数，得 k+1=1, 2, 3, 4, 6, 12.由 x2 是整数，得 k1=1, 2, 3, 6.它们的公共解是：得 k=0, 2, 2, 3, 5.答
9、：当 k=0, 2, 2, 3, 5 时，方程有两个整数解.根据韦达定理- 5 -kkx2212x 1, x 2, k 都是整数，k=1，2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把 k=1,1, 2, 2， 分别代入原方程检验，只有当 k=2 和 k=2 时适合.答：当 k 取 2 和2 时，方程有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解： 5x2 x=0 的一个整数根是.3 3x2+( 3)x =0 的一个整数根是.2 x2+( +1)x+ =0 的一个整数根是.52. 方程（1m）x 2x1=0 有两个不相等的实数根，那么整数 m 的最大值是.3. 已知方程 x2(2m1)x 4m+2=0 的两个实数根的平方和等于 5，则 m=.4. 若 x y ，且满足等式 x2+2x5=0 和 y2+2y5=0.那么 .（提示：x, y 是方程 z2+5z5=0 的两个根.）15. 如果方程 x2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的 2 倍，那么 p, q 应满足的关系是：. 6. 若方程 ax2+bx+c=0 中 a0, b0, c1）15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 23x+2=0 17. C 18. C
