1、1一元二次方程一、一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程.一般形式为： ，其中 为二次项系数， 是一次项系数， 是常数02cbxa)(aabc项.一元二次方程的根是使得方程两边等号成立的未知数 x 的值.二、一元二次方程的解法一元二次方程的求解的最根本的思路是“降次”.（1）直接开方法： mxmx,02（2）配方法： 2cba224acb（3）因式分解法： 021x（4）求根公式法：条件 4,acba且 acbx24三、一元二次方程根的判别式根的判别式:02cbxa)( c2当 0 时, 方程有两个不相等的实数根;4当 =0 时, 方程有两个相
2、等的实数根;2当 0)2)(16)3(xx bax2)(配方法：例 2. 把关于 x 的方程 用配方法解应变形为 .02a)(m例 3. 用配方法解方程：(1) (2) 062y 032yx(3) (4) （ ）132xcbx202b例 4.试说明：无论 取何值，代数式 的值总大于 0，再求出当 取何值时，x542xx代数式 的值最小？最小值是多少？542变式题：试说明：无论 取何值，代数式 的值总小于 0，再求出当 取12何值时，代数式 的值最大？最大值是多少？2x公式法：例 5. 对方程 利用配方法推导求根公式：02cbxa)(a例 6.解方程：(1) (2) 1432x x312(3)
3、023)1(2xx4(4) mnxmnx22 )0(（5） 12342ax因式分解法：（利用平方差，十字相乘法）例 7. 解方程：（1） （2） )3(5)(4xx 22)3(4xx（3） （4 ）022bax 0622bx（5） （6）3)()(2x832x(7) （8 ） 0)(22abxabx)(xx26325例 8. 如果 ，求 的值.06)1()(22ba2ba例 9. 当 为何值时，最简二次根式 与 是同类二次根式？ xx324例 10. 已知： 求 的值.,012x132x类型 3. 一元二次方程根的判别式例 1. 方程 根的判别式的值是 8，则 .0)12(axx a例 2.求
4、证不论 m 取何值方程 都没有实根.0)4(2)1(22mx例 3.已知 a 是实数，且方程 有两个不相等的实根，试判别方程012ax有无实根？ )(212 xx例 4. 已知关于 的一元二次方程 的两个实数根之差的平方为 .x02cax m(1) 试分别判断当 时, 是否成立,3,1ca与 4m说明理由.(2) 若对于任意一个非零的实数 , 总成立, 求实数 c 及 m 的值.a4例 5.解关于 x 的方程 0)2(2xkx6例 6. 若 都是实数，且 证明：关于 x 的方程dcba, ),(2dcab ,02cax中至少有一个方程有实数根.02x类型 4. 实际问题与一元二次方程例 1.
5、某化肥厂一月份生产化肥 ，从二月份起，由于改进操作技术，使第一季度t50共生产化肥 ，若设二、三月份平均每月的增长率为 ，则可得方程（）17t xA B)(502x 1750)(50)1(2C D50xx例 2.一个三位数、十位数字比百位数字大 3，个位数字等于百位数字与十位数字的和.已知这个三位数比个位数字的平方的 5 倍大 12，求这个三位数 .例 3. 在 中C ，AC+BC=7,AB 边上的中线长为 2.5，求这个直角三角ABCRt90形的三边长.例 4.学校要把校园内一块长 50 米，宽 40 米的长方形空地进行绿化. 计划中间种花，四周留出宽度相同的地种草坪，且花坛面积占整个绿化地
6、面积的 ，求草坪的宽度.1037例 5. 某工厂有一油罐，通过两个控制阀门分别向甲、乙两台锅炉供应燃油，单独烧甲锅炉用完一罐油的时间比单独烧乙锅炉用完一罐油的时间多 4 小时.如果单独烧甲锅炉 14 小时，再单独烧乙锅炉 12 小时，就正好用完一罐油，问一罐油可单独供甲、乙两锅炉各烧多少小时.例 6.某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购用 100 元，按该书定价 2.8 元出售，并很快售完。由于该书畅销，第二交购书时，每本的批发价已比第一次高 0.5元，用去了 150 元，所购书数量比第一次多 10 本。当这批书售出 时，出现滞销，54便以定价的 5 折售完剩余的图书，试问该老板第二次售
7、书是赔钱了，还赚钱了（不考虑其它因素？）若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？例 7. 某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠，绿化家乡是全县人民的共同愿望到 1998年底，全县沙漠的绿化率已达 30此后，政府计划在近几年内，每年将当年年初末被绿化的沙漠面积的 m栽上树进行绿化，到 2000 年底，全县沙漠的绿化率已达 43.3，求 m 的值注：沙漠的绿化率 被 绿 化 的 部 分 ）原 有 沙 漠 总 面 积 （ 含 已已 被 绿 化 的 沙 漠 总 面 积例 8. 某旅行社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元时，空床可全部租出；若每床每晚提高 2 元，则减少 10 张床位租出；若每晚收费再提高 2
8、 元，则再减少 10 张床位租出；以每次提高 2 元的这种方法变化下去，为了获得 1120 元的利润，每床每晚应提高多少元？例 9.据报道，今年第一季度宁波完成国内生产总值（GDP）354 亿元，比杭州少 45亿元，宁波和杭州构成了全省经济的第一集群，绍兴（230 亿元）和温州（227.5亿元）两城市组成了第二集群，第三集群有台州（19.4 亿元）、嘉兴（167.6 亿元）、金华（161.7 亿元）.(1) 求杭州、宁波、绍兴、温州、台州、嘉兴、金华七市今年第一季度 GDP 的平均值(精确到 1 亿元)；（2）经预测，宁波市今年第三季度GDP 可达到 407 亿元，那么平均每季度增长的百分率是
9、多少（精确到 0.1）？8例 10.如图，菱形 ABCD 中，AC、BD 交于 O，AC=8 米，BD6 米，动点 M 从 A出发以 2 米/秒匀速直线运动到 C，动点 N 从 B 出发以 1 米/秒匀速直线运动到D，若 M、N 同时出发，问出发后几秒钟， 的面积是 米 2.M4一、 作业：填空题：（每题 3 分，共 30 分）；1、方程 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ；x122、 ； 2_)(_6x 2_)(_xx3、方程 的根是 ; 方程 的根是 ;02 0)2(14、如果二次三项式 是一个完全平方式，那么 的值是6)2xmx（ m_.5、如果一元二方程 有一个根为 0，则
10、m= ;043)22（6、已知方程 的两个相等实根，那么 ；02x7、方程 中，= ，根的情况是 ；)4(38、若方程 的两个根是 和 3，则 的值分别为 2qpx2qp,9、已知方程 的两根是 ；则： ， 0121,x21x21x。10、已知方程 的一个根是 1，则另一个根是 ， 的值是 。22kx k二、 选择题：（每题 3 分，共 24 分）1、下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ）；A、 B、 C、 D、 02cbax212x122x)1(2)(3x2、方程 的根为（ ）；243xDABCO9（A） （B） （C） （D）3x125x123,5x123,5x3、解下面方程：（1
11、） （2） （3 ） ，较适当的方0260法分别为（ ）（A）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3 ）配方法（B）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法（C ）（ 1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法（D）（1）直接开平方法（2 ）公式法（3 ）因式分解法4、方程 的解是 （ ）； 5)(xA. B. C. D. ,12x2,41x3,12x2,41x5、方程 的两根的情况是（ ）； 03A、没有实数根； B、有两个不相等的实数根 C、有两个相同的实数根 D、不能确定6、一元二次方程 有两个相等的实数根，则 等于 （ 0624)2(mx m）A. B. 1 C. 或 1 D.
12、 27、以 3 和 为两根的一元二次方程是 （ ）；（A） （B） （C） （D）02x032x032x2x8、某厂一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量达到为 720 吨。若平均每月增率是 ，则可以列方程（ ）；（A） （B） （C） （D）720)1(50x720)1(5x720)1(5x722三、解方程（每题 6 分，共 48 分）； （直接开平方法） （用配方法） （用9)1(2x 0432x 082x因式分解法）. . )4(5)(2)1(2 4)(1x. .x2 ）（x 5 ）=2 310x10四、已知等腰三角形底边长为 8，腰长是方程 的一个根，求这个等腰0292x三角形的
13、腰长。（9 分）五、已知方程 ；则当 取什么值时，方程有两个不相等的实数根？0142xaa当 取什么值时，方程有两个相等的实数根？当 取什么值时，方程没有实a数根？（9 分）六、试证明：不论 为何值，方程 总有两个不相等的实m0)14(22mxx数根。（9 分）七、已知关于 的方程x0)(4122 若方程有两个相等的实数根,求 的值,并求出此时方程的根（6 分） 是否存在正数 ,使方程的两个实数根的平方和等于 224 ？若存在, 求出满足条件的m的值； 若不存在，请说明理由。（6 分）八、一商店 1 月份的利润是 2500 元，3 月份的利润达到 3025 元，这两个月的利润平均月增长的百分率是多少？（9 分）
