1、第 1 页，共 10 页数列、等差数列基础题以及答案一、选择题1.数列a n满足 a1=a2=1， ，若数列a n的前 n 项和为 Sn，则 S2013 的值为（ ）A. 2013 B. 671 C. -671 D. 2.已知数列a n满足递推关系：a n+1= ，a 1= ，则 a2017=（ ）A. B. C. D. 3.数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2n-1（n N+），则 a2017 的值为（ ）A. 2 B. 3 C. 2017 D. 30334.已知正项数列a n满足 ，若 a1=1，则 a10=（ ）A. 27 B. 28 C. 26 D. 295.若数列a n满足
2、：a 1=2，a n+1= ，则 a7 等于（ ）A. 2 B. C. -1 D. 20186.已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 2a6=a3+6，则 S7=（ ）A. 49 B. 42 C. 35 D. 287.等差数列a n中，若 a1，a 2013 为方程 x2-10x+16=0 两根，则 a2+a1007+a2012=（ ）A. 10 B. 15 C. 20 D. 408.已知数列a n的前 n 项和 ，若它的第 k 项满足 2a k5，则 k=（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 59.在等差数列a n中，首项 a1=0，公差 d0，若 ak=a1+a2+a3+a10
3、，则 k=（ ）A. 45 B. 46 C. 47 D. 4810.已知 a1，a 2，a 3，a 8 为各项都大于零的数列，则“a 1+a8a 4+a5”是“a1，a 2，a 3，a 8 不是等比数列”的（ ）A. 充分且必要条件 B. 充分但非必要条件C. 必要但非充分条件 D. 既不充分也不必要条件11.已知 Sn是等差数列a n的前 n 项和，则 2（a 1+a3+a5）+3（a 8+a10）=36，则 S11=（ ）A. 66 B. 55 C. 44 D. 33二、填空题1.已知数列a n的前 n 项和 Sn=n2+n，则该数列的通项公式 an=_2.正项数列a n中，满足 a1=1
4、，a 2= ， = （nN *），那么 an=_3.若数列a n满足 a1=-2，且对于任意的 m，n N*，都有 am+n=am+an，则 a3=_；数列a n前 10 项的和 S10=_4.数列a n中，已知 a1=1，若 ，则 an=_，若，则 an=_第 2 页，共 10 页5.已知数列a n满足 a1=-1，a n+1=an+ ，n N*，则通项公式 an= _ 6.数列a n满足 a1=5， - =5（n N+），则 an= _ 7.等差数列a n中，a 1+a4+a7=33，a 3+a6+a9=21，则数列a n前 9 项的和 S9 等于_三、解答题1.已知数列a n的前 n 项
5、和为 Sn，且 =1（n N+）（1）求数列a n的通项公式；（2）设 （n N+），求 的值2.数列a n是首项为 23，第 6 项为 3 的等差数列，请回答下列各题：（）求此等差数列的公差 d；（）设此等差数列的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最大值；（）当 Sn是正数时，求 n 的最大值3.已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an-2（n N*）（）求数列a n的通项公式；（） 求数列S n的前 n 项和 Tn4.已知数列a n具有性质：a 1 为整数；对于任意的正整数 n，当 an为偶数时，；当 an为奇数时， （1）若 a1=64，求数列a n的通项公式；（2）若 a1
6、，a 2，a 3 成等差数列，求 a1 的值；（3）设 （m3 且 mN），数列 an的前 n 项和为 Sn，求证：（ ）第 3 页，共 10 页答案和解析【答案】1. D 2. C 3. A 4. B 5. A 6. B 7. B8. C 9. B 10. B 11. D12. 2n 13. 14. -6；-110 15. 2n-1；2 n-1 16. - 17. 18. 81 19. 解：（1）当 n=1，a 1= ，当 n1，S n+ an=1，S n-1+ an-1=1， an- an-1=0，即 an= an-1，数列a n为等比数列，公比为 ，首项为 ，an= （2）S n=1-
7、an=1-（ ） n，bn=n， = = - ， =1- + - + - =1- = 20. 解：（）由 a1=23，a 6=3，所以等差数列的公差 d= ；（） = ，因为 nN*，所以当 n=6 时 Sn有最大值为 78；（）由 ，解得 0n 因为 nN*，所以 n 的最大值为 12 21. 解：（）列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an-2则：S n+1=2an+1-2，-得：a n+1=2an，即： （常数），第 4 页，共 10 页当 n=1 时，a 1=S1=2a1-2，解得：a 1=2，所以数列的通项公式为： ，（）由于： ，则： ，= ，=2n+1-2-2-2-2，=
8、2n+2-4-2n 22. 解：（1）由 ，可得 ， ， ， ，a 9=0，即a n的前 7 项成等比数列，从第 8 起数列的项均为 0 （2 分）故数列a n的通项公式为 （4 分）（2）若 a1=4k（k Z）时， ， ，由 a1，a 2，a 3 成等差数列，可知即 2（2k）=k+4k，解得 k=0，故 a1=0；若 a1=4k+1（kZ ）时， ， ，由 a1，a 2，a 3 成等差数列，可知 2（2k）=（4k+1）+k，解得 k=-1，故 a1=-3；（7 分）若 a1=4k+2（kZ ）时， ， ，由 a1，a 2，a 3 成等差数列，可知 2（2k+1）=（4k+2）+k，解得
9、 k=0，故 a1=2；若 a1=4k+3（kZ ）时， ， ，由 a1，a 2，a 3 成等差数列，可知 2（2k+1）=（4k+3）+k，解得 k=-1，故 a1=-1；a1 的值为 -3，-1，0，2 （10 分）（3）由 （m3），可得 ， ，若 ，则 ak是奇数，从而 ，可得当 3nm+1 时， 成立 （13 分）又 ，a m+2=0，故当 nm 时，a n0；当 nm+1 时，a n=0 （15 分）故对于给定的 m，S n的最大值为 a1+a2+am=（2 m-3）+ （2 m-1-2）+（2 m-2-1）+（2 m-3-第 5 页，共 10 页1）+（2 1-1）=（2 m+2
10、m-1+2m-2+21）-m-3=2 m+1-m-5，故 （18 分） 【解析】1. 解：数列a n满足 a1=a2=1， ，从第一项开始，3 个一组，则第 n 组的第一个数为 a3n-2 a3n-2+a3n-1+a3n =cos =cos（2n- ）=cos（- ）=cos =-cos =- ，20133=671，即 S2013 正好是前 671 组的和，S2013=- 671=- 故选 D由数列a n满足 a1=a2=1， ，知从第一项开始，3个一组，则第 n 组的第一个数为 a3n-2，由 a3n-2+a3n-1+a3n=cos =- ，能求出 S2013本题考查数列的递推公式和数列的前
11、 n 项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用2. 解：a n+1= ，a 1= ， - =1数列 是等差数列，首项为 2，公差为 1 =2+2016=2018则 a2017= 故选：Can+1= ，a 1= ，可得 - =1再利用等差数列的通项公式即可得出本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3. 解：S n=2n-1（nN +），a2017=S2017-S2016=22017-1-22016+1=2 故选：A由 a2017=S2017-S2016，代值计算即可本题考查了数列的递推公式，属于基础题第 6 页，共 10 页4. 解：
12、，a n+12-2anan+1+an2=9，（ an+1-an） 2=9，an+1-an=3，或 an+1-an=-3，an是正项数列，a 1=1，an+1-an=3，即a n是以 1 为首项，以 3 为公差的等差数列，a10=1+93=28故选 B由递推式化简即可得出a n是公差为 3 的等差数列，从而得出 a10本题考查了等差数列的判断，属于中档题5. 解：数列a n满足：a 1=2，a n+1= ，则 a2= = ，a3= =-1 a4= =2 a5= = ，a6= =-1a7= =2故选：A利用数列的递推关系式，逐步求解即可本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力6. 解：等差数列
13、a n的前 n 项和为 Sn，2a 6=a3+6，2（ a1+5d）= a1+7d+6，a1+3d=6，a 4=6， =42故选：B由已知条件利用等差数列的通项公式能求出 a4，由此利用等差数列的前 n 项和公式能求出 S7本题考查等差数列的前 7 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前 n 项和公式的合理运用7. 解：a 1，a 2013 为方程 x2-10x+16=0 的两根a1+a2013=10 由等差数列的性质知：a 1+a2013=a2+a2012=2a1007 a2+a1007+a2012=15 故选：B由方程的韦达定理求得 a1+a2013，再由等差数
14、列的性质求解本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定 a1+a2013=10 是关键8. 解：已知数列a n的前 n 项和 ，n=1 可得 S1=a1=1-3=-2，an=Sn-Sn-1=n2-3n-（n-1） 2-3（n-1）=2n-4 ，n=1 满足 an，第 7 页，共 10 页an=2n-4，它的第 k 项满足 2a k5，即 22k-45，解得 3k4.5，因为 nN，k=4，故选 C；先利用公式 an=求出 an= ，再由第 k 项满足 4a k7，建立不等式，求出 k 的值本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式 an= 的合理运用，属于基础题9. 解：a k=a1+a2
15、+a3+a10，a1+（k -1）d=10 a1+45d a1=0，公差 d0，（ k-1） d=45d k=46 故选 B由已知 ak=a1+a2+a3+a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题10. 解：若八个正数，成等比数列公比 q0，（a 1+a8）- （a 4+a5）=a1（1+q 7）-（q 3+q4） =a1（q 3-1）（q 4-1） 当 0q1，时（q 3-1）0，（q 4-1）0 a1（q 3-1）（q 4-1）0 当 q1，时（q 3-1）0，（q 4-1）0 a1（q 3-1）（q 4-1）0 所
16、以 a1+a8a 4+a5，故若 a1+a8a 4+a5，则 a1，a 2，a 3，a 8 不是等比数列，若 a1，a 2，a 3，a 8 不是等比数列，a 1+a8a 4+a5，不一定成立，故“a 1+a8a 4+a5”是“a 1，a 2，a 3，a 8 不是等比数列”的充分非必要条件故选 B先假设八个整数成等比数列且 q1，利用等比数列的通项公式表示出（a 1+a8）-（a 4+a5），分别对 q1 和 q1 分类讨论，可推断出 a1+a8a 4+a5 一定成立，反之若a1+a8a 4+a5，则 a1，a 2，a 3，a 8 不是等比数列，推断出条件的充分性；若a1，a 2，a 3，a 8
17、 不是等比数列，a 1+a8a 4+a5，不一定成立，综合答案可得本题主要考查了等比关系的确定以及充分条件，必要条件充分必要条件的判定考查了学生分析问题和基本的推理能力11. 解：由等差数列的性质可得：2（a 1+a3+a5）+3 （a 8+a10）=36，6a 3+6a9=36，即a1+a11=6则 S11= =113=33故选：D利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第 8 页，共 10 页12. 解：由 Sn=n2+n，得a1=S1=2，当 n2 时，an=Sn-Sn-1=（n 2+n）- （n-1
18、） 2+（n-1 ）=2n当 n=1 时上式成立，an=2n故答案为：2n由数列的前 n 项和求得首项，再由 an=Sn-Sn-1（n2）求得 an，验证首项后得答案本题考查了由数列的前 n 项和求数列的通项公式，是基础题13. 解：由 = （nN *），可得 a2n+1=anan+2，数列 an为等比数列，a1=1，a 2= ，q= ，an= ，故答案为：由 = （nN *），可得 a2n+1=anan+2，即可得到数列 an为等比数列，求出公比，即可得到通项公式本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题14. 解：对于任意的 m，nN *，都有 am+n=am+an，取 m=1，则
19、an+1-an=a1=-2，数列 an是等差数列，首项为-2，公差为-2 ，an=-2-2（n-1）=-2na3=-6，数列 an前 10 项的和 S10= =-110故答案分别为：-6；-110对于任意的 m，nN *，都有 am+n=am+an，取 m=1，则 an+1-an=a1=-2，可得数列 an是等差数列，首项为-2，公差为-2，利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15. 解：在数列a n中，由 ，可知数列是公差为 2 的等差数列，又 a1=1，an=1+2（n-1）=
20、2n-1；由 ，可知数列是公比为 2 的等比数列，又 a1=1， 故答案为：2n-1；2 n-1由已知递推式 an-an-1=2，可得数列是公差为 2 的等差数列，由 ，可知数列是公第 9 页，共 10 页比为 2 的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题16. 解：由题意，a n+1-an= - ，利用叠加法可得 an-a1=1- = ，a1=-1，an=- ，故答案为- 由题意，a n+1-an= - ，利用叠加法可得结论本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题17. 解：数列a n满足 a1=5， -
21、 =5（n N+），可知数列 是等差数列，首项为 ，公差为：5可得 = +5（n-1），解得 an 故答案为： 判断数列 是等差数列，然后求解即可本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力18. 解：等差数列a n中，a 1+a4+a7=33，a 3+a6+a9=21，3a4=33，3a 6=21；a4=11，a 6=7；数列a n前 9 项的和：故答案为：81根据等差数列项的性质与前 n 项和公式，进行解答即可本题考查了等差数列项的性质与前 n 项和公式的应用问题，是基础题目19. （1）根据数列的递推公式可得数列a n为等比数列，公比为 ，首项为 ，即可求出通项公式，（2
22、）根据对数的运算性质可得 bn=n，再根据裂项求和即可求出答案本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题20. （1）直接利用等差数列的通项公式求公差；（2）写出等差数列的前 n 项和，利用二次函数的知识求最值；（3）由 Sn0，且 nN*列不等式求解 n 的值本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运算题第 10 页，共 10 页21. （）直接利用递推关系式求出数列的通项公式（）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前 n 项和公式求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前 n 项和的公式的应用22. （
23、1）由 ，可得 an的前 7 项成等比数列，从第 8 起数列的项均为 0，从而利用分段函数的形式写出数列a n的通项公式即可；（2）对 a1 进行分类讨论：若 a1=4k（kZ）时；若 a1=4k+1（kZ ）时；若a1=4k+2（kZ）时；若 a1=4k+3（k Z）时，结合等差数列的性质即可求出 a1 的值；（3）由 （m3），可得 a2，a 3，a 4若 ，则 ak是奇数，可得当 3nm+1 时， 成立，又当 nm 时，a n0；当 nm+1 时，an=0故对于给定的 m，S n的最大值为 2m+1-m-5，即可证出结论本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力
