1、弹性学制数学讲义不等式（4 课时）知识梳理1、不等式的基本性质（对称性） ab（传递性） ,ca（可加性） （同向可加性） dbd（异向可减性） b（可积性） caca0,cb0,（同向正数可乘性） ,dbd（异向正数可除性） bc（平方法则） 0(,1)naNn且（开方法则） 且（倒数法则） baba0;102、几个重要不等式 2abR，,（当且仅当 时取 “号）. 变形公式：.（基本不等式） 2ababR，,（当且仅当 ab时取到等号）.变形公式： ab 2.用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） ，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.（三个正数的算术几何平均不等式）3abc
2、()abcR、 、（当且仅当abc时取到等号）. 22abcbR，（当且仅当 时取到等号）.33(0,)acc（当且仅当 b时取到等号）.0,2aa若 则（当仅当 a=b 时取等号）,b若 则（当仅当 a=b 时取等号） banma1， （其中 00)bmn， ，规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小.20;xx当 时 ， 或 2.aa绝对值三角不等式 .bab3、几个著名不等式平均不等式：212abab， ,abR（，当且仅当 ab时取“号）.（即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均）.变形公式： 22;ab22().ab幂平均不等式： 222112.(.).nnaaa二维形式的
3、三角不等式： 22221 11()()xyxyxy12(,).xyR二维形式的柯西不等式： 222()()(,).abcdacbcdR当且仅当 adbc时，等号成立.三维形式的柯西不等式： 222 21313123()()().ab一般形式的柯西不等式： 222211(.)(.)nnaab212(.).nab向量形式的柯西不等式：设 ,是两个向量，则 ,当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使k时，等号成立.排序不等式（排序原理）：设 1212.,.nnab为两组实数. 12,.nc是 12,.nb的任一排列，则2.n nbacaa（反序和 乱序和 顺序和） ，当且仅当 1.或 12.nb时，反
4、序和等于顺序和.琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数 ()fx,对于定义域中任意两点 12,(),x有12121212()()( .xf ff或则称 f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法） 、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如22131()();4aa将分子或分母放大（缩小） ，如21,()k21,()k212,1kk*,1N等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20()axbc或2(0,4)a解集的步骤：一化：化二次项前
5、的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切） ，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()0()0()()fxfxggf（ “或 ”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0()0)fxfxaa2()()fxfx2(0()0()ffxfgxgf或2()0()fxfxgfg()()(
6、)0xfxf规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当 1a时,()()()fxgxafgx当 0时, ()()f规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法当 1a时, ()0log()l()aafxfxgfg当 0时, ()l()lo()0.aaxfxf规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：定义法：(0).a平方法：22()().fxgfxg同解变形法，其同解定理有： (0);aa xx或 ()()()0)fgfgx (fxfxgf或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解
7、法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如 20axbc且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论 与 0 的大小；讨论 与 0 的大小；讨论两根的大小.14、恒成立问题不等式 2axbc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当 0时 ,0;当 a时 .不等式 20xbc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当 0时 ,;当 a时 . ()fx恒成立 max();f恒成立 ()fxa恒成立 min();fx恒成立 i.a15、线性规划问题常见的目标函数的类型：“截距”型： ;zAxBy“斜率”型： 或;ba“距离”型：2zxy或2;zxy2()()zxab或2()().ab在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.
