1、数形结合谈数轴一、阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：1、利用数轴能形象地表示有理数；2、利用数轴能直观地解释相反数；3、利用数轴比较有理数的大小；4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。二、知识点反馈1、利用数轴能形象地表示有理数；例 1：已知有理数 在数轴上原点的右方，有理数 在原点的左方，那么（ ）abA B C D
2、bab0a0a拓广训练：1、如图 为数轴上的两点表示的有理数，在 中，负数的个数有（ ）, ab,2,（“祖冲之杯”邀请赛试题）A1 B2 C3 D43、把满足 中的整数 表示在数轴上，并用不等号连接。5aa2、利用数轴能直观地解释相反数；例 2：如果数轴上点 A 到原点的距离为 3，点 B 到原点的距离为 5，那么 A、B 两点的距离为 。拓广训练：1、在数轴上表示数 的点到原点的距离为 3，则a ._a2、已知数轴上有 A、B 两点，A、B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O 的距离为 3，那么所有满足条件的点 B与原点 O 的距离之和等于 。 （北京市“迎春杯”竞赛题）3、利用数轴比较
3、有理数的大小；例 3：已知 且 ，那么有理数 的大小关系是 。 （用“0,baaba,”号连接） （北京市 “迎春杯 ”竞赛题）拓广训练：1、已知 ，试讨论 与 3 的大小 2、已知两数 ，如果 比 大，试判断 与 的大小3aaba, abOa b14、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例 5： 有理数 在数轴上的位置如图所示，式子 化简结果为（ ）cba, cbaA B C D32cbb拓广训练：1、有理数 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为 cba, caa1。2、已知 ，在数轴上给出关于 的四种情况如图所示，则成立的是 。2b, 3、已知有理数 在数轴上的对应的位置如下图：则 化简后
4、的结果是（ ）cba, bac1（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）A B C D112cba2三、培优训练1、已知是有理数，且 ，那以 的值是（ ）02yxyxA B C 或 D 或2331232、 （07 乐山）如图，数轴上一动点 向左移动 2 个单位长度到达点 ，再向右移动 5 个单位长度到达点AB若点 表示的数为 1，则点 表示的数为（ ）C 73、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1 个单位，点 A、B、C、D 对应的数分别是整数且 ，那么数轴的原点应是（ ）dcba,102aAA 点 BB 点 CC 点 DD 点4、数 所对应的点 A，B，C，D 在数轴上的位置如图所示，那么
5、与 的大小关系是（ , cadb）A B C D不确定的dbcadbcadbca5、不相等的有理数 在数轴上对应点分别为 A，B，C，若 ，那么点 B（ , caba）A在 A、C 点右边 B在 A、C 点左边 C在 A、C 点之间 D以上均有可能Oab 1c 0ab 0ab 0ab 0ab Oa b-1 1c Oab-1c10A2B5C DCBAC0D26、设 ，则下面四个结论中正确的是（ ） （全国初中数学联赛题）1xyA 没有最小值 B只一个 使 取最小值xyC有限个 （不止一个）使 取最小值 D有无穷多个 使 取最小值y7、在数轴上，点 A，B 分别表示 和 ，则线段 AB 的中点所表
6、示的数是 。3518、若 ，则使 成立的 的取值范围是 。0,babaxx9、 是有理数，则 的最小值是 。x2191x绝对值一、阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。去绝对值符号法则： 0aa2、恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看 表示数 的点到原点的距离；
7、 表示数 、数 的两点间的距离。bab3、灵活运用绝对值的基本性质 0a22a0aba b二、知识点反馈1、去绝对值符号法则例 1：已知 且 那么 。3,5aabb拓广训练：1、已知 且 ，那么 。 （北京市“迎春杯”竞赛题）,2,cbc2c2、若 ，且 ，那么 的值5,8a0aba是（ ）3A3 或 13 B13 或-13 C3 或-3 D-3 或-132、恰当地运用绝对值的几何意义例 2： 的最小值是（ ）1xA2 B0 C1 D-1解法 1、分类讨论当 时， ；x21xx当 时， ；1x当 时 。1xx比较可知， 的最小值是 2，故选 A。x解法 2、由绝对值的几何意义知 表示数 所对应
8、的点与数 1 所对应的点之间的距离； 表示数1x 1x所对应的点与数 -1 所对应的点之间的距离； 的最小值是指 点到 1 与-1 两点距离和的最x x小值。如图易知当 时， 的值最小，最小值是 2 故选 A。11x拓广训练：1、 已知 的最小值是 ， 的最大值为 ，求 的值。23xa3xba三、培优训练1、如图，有理数 在数轴上的位置如图所示：ba,则在 中，负数共有（ ） （湖北省荆州市竞赛题）4,22, baA3 个 B1 个 C4 个 D2 个2、若 是有理数，则 一定是（ ）mmA零 B非负数 C正数 D负数3、如果 ，那么 的取值范围是（ ）02xxA B C Dx24、 是有理数
9、，如果 ，那么对于结论（1） 一定不是负数；（2） 可能是负数，其中ba, baab（ ） （第 15 届江苏省竞赛题）A只有（1）正确 B只有（2）正确 C （1） （2）都正确 D （1） （2）都不正确5、已知 ，则化简 所得的结果为（ ）-1x-10a-2 b14A B C D132aa26、已知 ，那么 的最大值等于（ ）40A1 B5 C8 D97、已知 都不等于零，且 ，根据 的不同取值， 有（ ）cba, abcaxc,xA唯一确定的值 B3 种不同的值 C4 种不同的值 D8 种不同的值8、满足 成立的条件是（ ） （湖北省黄冈市竞赛题）A B C D0ab1ab01ab9、
10、若 ，则代数式 的值为 。52xxx2510、若 ，则 的值等于 。0abab11、已知 是非零有理数，且 ，求 的值。c, 0,abcabc12、已知 是有理数， ，且 ，求 的值。dcba, 16,9dcba 25dcbacdab13、阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式0xx时，可令 和 ，分别求得 （称 分别为 与21102x2,1x,11x的零点值） 。在有理数范围内，零点值 和 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下x3 种情况：（1）当 时，原式= ;121xx5（2）当 时，原式= ；21x321x（3）当 时，
11、原式= 。综上讨论，原式= 2123xx通过以上阅读，请你解决以下问题：（1） 分别求出 和 的零点值；（2）化简代数式4 42x14、 （1）当 取何值时， 有最小值？这个最小值是多少？（ 2）当 取何值时， 有最大值？x3x x25x这个最大值是多少？（3）求 的最小值。 （4）求 的最小值。54 98715、某公共汽车运营线路 AB 段上有 A、D、C、B 四个汽车站，如图，现在要在 AB 段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求 A，B，C，D 四个汽车站到加油站 M 的路程总和最小，试分析加油站 M在何处选址最好？有理数一、阅读与思考在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和
12、分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数” ，所以有理数的计算很多是字母运算，CB6也就是通常说的 符号演算 。数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。二、知识点反馈1、利用运算律：加法运算律 乘法运算律cba加 法 结 合 律加
13、 法 交 换 律 acb乘 法 分 配 律乘 法 结 合 律乘 法 交 换 律例 1：计算： 3275.23452解：原式= 15.7.645.647.6. 拓广训练：1、计算（1） （2）129.015208. 476413594例 2：计算： 50249解：原式= 498250211 拓广训练：1、 计算： 543254322、裂项相消（1） ；（2） ；（3）ba11nnmnn1（4） 2n例 3、计算 019431217解：原式= 201941321= 20= 20191拓广训练：1、计算： 20971533、以符代数例 4：计算： 39852713971271解：分析： 60,46,
14、346令 = ，则A9852713 A2397610427139721 原式= 拓广训练：1、计算： 20513206312053120634、分解相约例 5：计算：293186293144 n解：原式= =2 21934n= 7296431三、培优训练1、 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数，则 = 。ab20897ba82、计算：（1） = ；197971531（2） = 。2434 3628.03、若 与 互为相反数，则 = 。abab1974、计算： = 。987386534125、计算： = 。10973 226、 这四个数由小到大的排列顺序是 。98,1,7987、 （2007
15、“五羊杯” ）计算： =（ ）86.6.84.31. A3140 B628 C1000 D12008、 （2005“希望杯” ） 等于（ ）02625A B C D4119、 （2006“五羊杯” ）计算： =（ ）45.18935A B C D253024010、 （2009 鄂州中考）为了求 的值，可令 S ，则 2S20832 208321，因此 2S-S ，所以 仿照以上推理2094 90832 19计算出 的值是（ ）32551A、B、C、D、091204152094520111、 都是正数，如果 ，204321,a 2043220321 aaaM，那么 的大小关系是（ ）0332aN N,A B C D不确定MN12、设三个互不相等的有理数，既可表示为 的形式，又可表示为 的形式，求ab,1ba,0的值（“希望杯”邀请赛试题）2019ba13、计算（1） （2009 年第二十届“五羊杯”竞赛题）0164.5706.19036.759（2） （北京市“迎春杯”竞赛题） 24234 31625.613485.014、已知 互为相反数， 互为负倒数， 的绝对值等于 ，nm,ba,x3求 的值203201231abnxx 15、已知 ，求 的值02ab2061211 bababa（2006，香港竞赛）
