1、 渤海大学毕业论文题目： 行列式的计算系别： 数 学 系专业： 数学与应用数学班级： 03 级五班姓名： 徐元姣指导教师：李 春1目录摘要 2引言 3一、行列式的定义和性质 31、行列式的定义 32、行列式的性质 5二、行列式计算的若干方法 81、化三角形法 82、降阶法（按行（列）展开法） 143、升阶法（加边法） 184、拆分法 195、泰勒公式法 216、利用范德蒙行列式 237、导数法 248、积分求行列式 259、行列式乘积法 2710、递推法 2911、数学归纳法 3212、循环矩阵的行列式的计算方法 3513、利用矩阵行列式公式 3914、利用方阵特征值与行列式的关系 40结束语
2、 42参考文献 432行列式的计算摘要：行列式是高等数学的一个基本的概念。求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法。本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式求值方法。如：化三角形法、降阶法、升阶法、泰勒公式法、范德蒙行列式等十多种方法。并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征。关键词：行列式，定义，计算方法。The Calculation of DeterminantXu Yuanjiao（Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzho
3、u 121000 China）Abstract: The determinant is a basic concept of higher mathematics. The solution of determinant is the basic question, and each kind of complex higher order determinant has its special solution method. This paper mainly introduces the methods for calculation of determinant. For exampl
4、e, the triangle method, rise-lower method, analyzes the law, Taylor formula, Vandermonde determinant, and so on. The paper also analyzes the corresponding examples, and summarizes the characteristic of determinants corresponding to each method.Key words: Determinant, Definition, Calculation.引 言3行列式是
5、高等代数中的重点部分，讲到行列式,我们通常会联想到用克兰姆法则求解线性方程组.但是行列式的作用不仅仅只用于求解线性方程组.在解析几何中,用行列式方法可以判别三点共线和三向量共面、计算平行六面体的体积等等.它不仅是研究线性方程组基本工具，也是讨论向量矩阵和二次型的重要工具之一。而且在科技领域中得到广泛的应用。因此行列式有着重要的作用，当然行列式的解法也有着不可替代的作用。本文将归纳和总结各种行列式的计算方法与技巧，通过进行讨论这些方法和技巧也将深刻理解数学中的相关知识。这些方法与技巧也许不能包含所有解法，随着知识的发展我们相信还会有更好的，更新的方法来解决行列式的计算问题。一、 行列式的定义和性
6、质 1、行列式的定义行列式的定义为：。121212121()12 nnnnjjjjnnaaa 也就是说 级行列式 nnaa.2121等于所有取自不同行不同列的几n个元素的乘积 (*).21njj的代数和。这里 nj.21是 1,2 的一个排列，当 nj.是偶排列时， 式取正号，当 .是奇排列时(*)式取负号。定义法是计算行列式的根本方法，对任何行列式都适4用。例 1：计算 04321分析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有 24!项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少。具体的说，展开式中的项的一般形式是 4321jja。显然，如果 1j，那么01ja，从而这个项就等于零。因此只
7、须考虑 4的项，同理只须考虑 ,2,342j的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 4114a，而 6)3(，所以此项取正号。故解： (4321) 6324102()2344a例 2：计算行列式。132x解：(123) (213)(321)(132)213xxxxx(231)(312)。32 1324xxx5例 3：计算 nnaa.02211分析：展开式中的项的一般形式是 njja21，在行列式第 n行中的元素除去 na的外全为零。因而，只要考虑 的那些项。在第 1n行中，除去 n,1,外。其余的项全为零。因而 1nj只有和 这两种可能，由于 j，所以 1nj只能取 ，这样逐步推上去，不难
8、看出，在展开式中除去 a.2一项外，其余的项全是零，而这一项的列指标所成的排列为偶排列，故解： nnnaaa021221由上面的例子我们看到当行列式中含有很多的零元素时，用定义法可以减少相加的项而使计算变得简单。我们知道 n阶行列式是由 !n项组成的，当行列式中元素只有几个为零或全都不是零，且3时 ，用定义法计算行列式是相当复杂的。所以我们要掌握一些特殊的求高阶行列式的方法。2、行列式的性质性质 1：行列式行列互换，行列式的值不变，即行列式与它的转置行列式的值相等。6设行列式121212nnnaaD若行列式中 ).,(jiaij则称 反对称行列式。D利用反对称行列式的性质及性质 1 也可以解一
9、些特殊的行列式。例 4：计算 03146572960859D分析：这是一个 5 级反对称行列式，将其每一行都乘以（1）则可得到它的转置行列式，故解： 0)(5DDT我们可以证明，对于任何的奇数级反对称行列式均有 0D，但要强调指出，这个性质只适用于奇数级反对称行列式，而对于偶数级反对称行列式一般没有这个结论。行列式性质 4：如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。行列式性质 5：如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。由这两条性质，在行列式的求解过程中，若能判断行列式符合上面的性质，则不论多么复杂的行列式，我们都可以直接判断它为零，而不需要化成别的简单的形式进行计算。7例 5：计算
10、 2222 2222 )3()()1()()()(ddccbbaa分析：这个行列式看起来比较复杂，但稍加分析便会发现，行列式的后三列元素展开后对应的成二阶等差数列，故做两次减法后便会出现相同的项。解：从第四列起，第列减前一列，得新行列式后，后三列再依次做差。 02152312222 dcbaddccbbaaD例 6：计算 阶行列式n11212212nnnnababD解:将第一行的（-1）倍加到第 2，3， 行，得n112122111nnnnababD当 3 时，由于上式右端的行列式中至少有两行成比例，故=0.n当 =1 时， ；11Dab当 =2 时，n22112121()()abab8121
11、()ab例 7：计算行列式 223159xD解：设 ，则 所以 有因子()fx(1)0,(),ff()fx1,x。2x,又由于行列式的定义知 应为 4 次多项式，即()fx。()1)(2)(fxAx令 代入上式两端，可算出 ，故03A3(1)(2)Dxx注： 中的待定常数 可确定如下： 中含有 的项为()fx D4x与 ，所以 的系数为-3，左右两边比较系数得1234a3124a4x。A二、行列式计算的若干方法1、化三角形法由定义法的例子我们看出，如果行列式可以化成上（下）三角形，那么它的值的绝对值就是主（次）对角线上元素的乘积，值的符号由列指标的奇偶性来判断。从而，我们得出求高阶行列式的一种
12、常用的方法化三角形法。能化为三角形的行列式主要有以下几种：（1）比例相加法。行列式对角线以下（上）的元素与行列式中某9一行（列）的对应元素成比例。这样的行列式，只要把行列式的某一行（列）乘的适当倍数加到其它行（列） ，即可化为三角形。例 8：计算 nnbaab.1.212分析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的（1）倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零。解：将 的第一行的（1）倍分别加到第 2,3（ ）行上D 1n去，可得 nnnbba0.2121（2）提公因式法（） 。行列式各行（列）元素的和都相同，这一类行列式的计算方法是把每一行（列）加到第
13、一行（列）上，然后提取公因数，便可转化为（1）的形式或直接化为三角形的形式。例 9：计算71分析：这是一个四级行列式，用定义法我们知道它的值是 4！个项的和，能准确的找出 24 项也是一件麻烦的事情，观察行列式我们会发现它每行（列）的和都是 111710，因此经过变换提10公因数后会出现全为 1 的一行（列） ，在化三角形法中，我们最愿意看到的就是一行（列）1，故解：把所有列都加到第一列，提公因数，得 30111770601062D由此可见，用提公因数的方法计算某些行列式，可以减少计算量，降低出现错误的可能性。我们再来看一个高阶行列式的例子。例 10：计算： xaaxaDnn.3212121分
14、析：观察行列式的特点，行列式每行的和都为 niax1，故可提出公因数使第一列全变为 1，则便形成（1）的形式，同样可以化为三角形。解：把各列都加到第一列，提出公因数，得 xaxaaxDnni .11)(322再将第一列的 )(),(n倍分别加到第 1.3,2n列，得11nni axaaxxD.10.0)( 23121).()(1 nnix（3）提公因式法（） 。有些行列式，虽然各行（列）元素的和不相同，但第 ),.32(ni行（列）乘以适当的倍数加到第一行（列）后，也可以提出公因数或直接化为三角形。例 11：计算2543210576D分析：这是一个三阶行列式用前面介绍的定义法便可求出结果，即
15、524674235(4)325(34)3107D虽然是三阶行列式，但计算量也是相当大的，仔细观察行列式会发现，行列式三行的和都是 1000 的倍数，且后两列的元素分别相差 100，因此可以进行变换，然后提出公因数，使计算简便。解：把第二、三列都加到第一列上，并用第二列减去第三列，则得D= ）（ 62137106204317621437062104327 555 = 5912例 12：计算 n阶行列式nnacba21（空白处全为 0）分析：这个行列式中含有很多的零，但零的个数没有多到可以直接用定义法简化所有的项的和，但观察行列式会发现除第一行和第一列外，其余各行各列都只含有两个元素，且在对角线下
16、方，只有第一列元素不为零，故只要能把第一列中 变为零就可(2,)icn化为三角形。解：当 ).3,2(0niai时 将 nD的第 i列乘以 iac加到第一列，则得 nnniiabacbD0221)(.132iincba当某一个 0i时，比如 0na，则把 nD按第 列展开，可得 nnnnnnn cabcabcacbD 132121121 .)(0.)( （4）逐行（或列）相加（减）法。有的行列式的行（列）乘的13适当的倍数，逐行（列）相加（减）后，可化为前面的几种形式，进而化为三角形或直接化为三角形。例 13：计算 11000321 naa分析：乍看行列式和前面的提公因式法的例题相似，但细看便
17、会发现它们的不同，这个行列式前 行的和虽然都相同，但却是零，n用提公因式法就没有作用了，同时我们也可以看出，对角线上方的元素要全部化为零是比较容易实现的，故此题我们用逐列相加的方法。解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得 nnnn aaaaD 21212321 )()()13210000 例 14：计算 113214 xn分析：观察行列式的特点，主对角线上方的元素按列（行）成等差数列，而主对角线下方的元素按行（列）成常数列，故用逐行14（列）相加法后，可使一部分元素变为零，而一部分全变为相同的，从而更有利于化为三角形。一般的，若行列式对角线两侧的元素有一定的规律，如：成等差
18、数列，成等比数列或相等时，用逐行（列）相加法可使行列式变的简单易算。解：从 的第二行起，每行乘以（1）后加到上一行，则得D 10111)(1100 xxxxn 从第一行开始，每行都减去下一行，又得 211 )(1000)( nn xxxD 以上的四种方法都是利用化三角形的方法来解求行列式，由定义法引申出的化三角形法是求解行列式的常用方法。由于对角线上元素相乘时要注意前面的符号，为了书写结果简单，通常我们愿意利用主对角线元素的乘积来表示结果，但若化为次对角线乘积更简便的方法，只要注意结果的符号，化为次对角线元素的乘积也是完全正确可行的。2、降阶法 （按行（列）展开法） 降阶法与行列式按行（列）展
19、开类似，使高阶行列式用低阶行列式来表示，逐步简化行列式的计算。15设 为 阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有nijDa121,2iiinAaAn 或 ,njjj 其中 为 中的元素 的代数余子式ijDij按行（列）展开法可以将一个 阶行列式化为 个 阶行列式计算。nn1若继续使用按行（列）展开法，可以将 阶行列式降阶直至化为许多个 2 阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开
20、。例 15：计算行列式。00xabcydzfghkulv解：设原行列式为 ，按第五行展开得:5D5 4 25 0(1)(1)0(1)0xabxaby xbDvuvyuvyzuvczczghk 例 16：计算 20 阶行列式16201318920276198321D分析：这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个 2 阶行列式计算，需进行 次加20!(-1)减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是 阶。但若利n用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差 1，因此，可按下述方法计算：解： 1120
21、2018(,(2,0) 9)1113189202273611198321342()0iii crD 182例 17：计算17。01231220345110nnn 解：先将第 行减去第 +1 行（ =1，2，3， -1） ，然后再将iii n第 列分别加到第 1 列，第 2 列，第 -1 列有，n012203345110nnn =1111230nn 010012n 按 第 一 列 展 开 21(1)01n +（ -）。12()nn阶行列式 等于它的任意一行（列）各元素与其对应代数余子D18式乘积的和。既 行列式按1 1(,2.),(,2.)n nij ijDaADaAn 一行（列）展开能将高阶行
22、列式化为阶数比较低的行列式进行计算，此法称为降阶法。这是一种计算数字行列式的常用的方法。值得注意的是在使用时应先利用行列式的性质，将某行（列）元素尽可能的多的消去零。然后再展开计算能更方便，对一些特殊构造的行列式可以利用拉普拉斯定理降阶计算。3、升阶法（加边法）有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为 -1 个元素的n倍数的情况。加边法的一般做法是： 1111
23、1122222211100nn nnnnnnnaabaDa 特殊情况取 或 12 2bb当然加法不是随便加一行一列就可以了。那么加法在何时才能应用呢？关键是观察每行或每列是否有相同的因子。如下题：例 18：计算 阶行列式：n1921121221212n nxxD分析：我们先把主对角线的数都减 1，这样我们就可明显地看出第一行为 x1与 x1,x2, xn相乘，第二行为 x2与 x1,x2, xn相乘，第 n 行为 xn与 x1,x2, xn相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子 x1,x2, xn，从而就可考虑此法。解： 112 12222212 1(,)0 0iin nnnnnnrxxx
24、xD 111 211(,)00i i nincxnxx 注意：在家一定要记住，加边法最在的特点就是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的效果。4、拆分法有些行列式，当把某一行（列）的每一个元素都看成两个元素的和然后把原行列式拆成两个行列式的和时，就可利用前面的方法20来求解。例 19：计算 n阶行列式 accbabD.分析：观察行列式的特点，主对角线上全为 ，两侧一侧全为a另一侧全为 ，似乎可以逐行相加的方法，但只要在草纸稍加计算b便会发现，逐行相加法并不能容易的计算出这个行列式，一般的，当行列式主对角
25、线元素相同，主对角线两侧元素分别全部相同时，我们用拆分法来解。解：按 nD的第一列及第一行分别用拆分法，把 nD拆成两个行列式的和 acbcaacbcn .0.同 理)1()( )(0.0.1 1 nn nDcabccaecab21acbbaacbDn .0.11)()(nnDbab（2）由（1） 、 （2）两式可得 nncbc)()(当 bc时， bcannn)()(当 时 abaDn用提公因数的方法cb1)( .0.1.1)( 11)(nbanbababna通常这类行列式我们分别按一行，一列拆分两次，然后利用二元一次方程组来解出 nD。5、泰勒公式法利用泰勒公式法计算行列式主要思路，根据所
26、求行列式的特点，构造相应的行列式函数，再把行列式函数按泰勒公式在某点展开，22只要求出行列式函数的各阶导数即可。例 20：求 阶行列式的值n . .nabcDa解：把 看作 的函数，记 则nDx .() . nxbcDx()nDa将 在 处展开()nxb () 2()().)!nnnnnnDbDxxbx这里 1,.,2 . 0 . 0() .kn nbbc cbDb 第 列 乘 以 (-)+第 k列 1 . (). . 0 ncbc下面求 的各阶导数()nx1 0 . .01() . . . n xbcbDxcx 0 .1xbcx1()nD 各 行 列 式 分 别 按 只 有一 个 元 素 所
27、 在 行 展 开类似的有： 递推关系还可以推出： ()(1)1(),.nnnDxxx12()nx23211 21 3 412(1)()()()()1)() 2()1)(2).(nnn n nnnnnDxxbbcDbcx DbcDb 因 为 1.().!b代入 在 的泰勒公式有：()nx3 112 2(1)().2)()(). ()2! !n nn nn bcnbxbcbxxb 如果 则110.()()nnnnDb如果 则bc12()()()()().()()! ()nnnnnn nn cxbcxbcxbxbbc 令： 得xa1()()nnnbabcDc当 时当 时结论：只要行列式函数的各阶导数
28、比较容易计算，则应用泰勒公式计算行列式就显得十分简便。6、利用范德蒙行列式范德蒙行列式： 123211123()nijjinnnnxxx24例 21：计算 阶行列式n111222()()()111nnnnaaaD 1222()()()11nnnnaaaD解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第 行依次与第 -1 行， -2 行，,2 行，1 行对换，再nn将得到到的新的行列式的第 行与第 -1 行， -2 行，,2 行对换，n继续仿此作法，直到最后将第 行与第 -1 行对换，这样，共经过次行对换后，得到(-1)21()/2nn
29、 (1)222211111)()()(nnnnnaaaD上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：nmnEABEBA(1) (1)2 2()()()nnjin jinDaij j 7、导数法25在分析讨论函数性质的时候，导数是一个很有力的工具，在其它场合，导数也是非常有效的。现在我们用导数来计算行列式。例 22：证明 1121121221212 . . . . . . .nnnnnnnxaxaa,ijijnxA证明：令 则 f(x)为次数不超过 次122212 .() . . . nnnxaxafn的 的多项式且x1211221212 . . . (0) .nnn nnaa
30、af1 . .n1212121,nnijijnAAAA而易知 从而有(0).(0)nfff（1） 1,|ijijijnfxfax其中（1）式用到了 0 点的泰勒展开式。8、积分求行列式此法适用范围：把行列式某行某列改写为定积分。交换积分计算与行列式计算次序后，所得行列式比所求行列式简单。例 23：求 阶行列式的值（ 为偶数）1nn2621121 . . . . . 32nnnD解：注意到 从而，把行列式 看01(1,.)knkxdn 1nD作是另一个 阶行列式函数的定积分：即2 11 1 . 22. . . . .nnnD2 1nnnn000011 . xdxdxx2 11121 . . 21
31、 !. . . . n nn ndxnx 每 行 提 公 因 子0 0112. . . . nxdx 被积函数可看成一个011. 2()!. . . . . nnnxdx 行 列 互 换阶范德蒙行列式，1n利用 这个公式我们可123212 11123 . (,.) . () .nn jiijnnnaaVa a27以得到 11. 2. . . .(1)2.() . nnxcxnx（这里 是与 无关的整数）c所以 10 0()!(1)2.()(1)!()2.()n nnDxxndcxxnd 利用换元积分法作变换： （这里为 偶数，所以 为整数）t所以 1022222()!(1).() 1(.) (
32、1)!().)0nnnnDcxxndntttdctttt（这里奇函数在对称区间上积分为零）所以：所求行列式21121 . . . .0 . 32nnnD结论：只要把行列式的其中一行（或一列）表为定积分后交换积分与行列式的计算顺序，如果计算简便，则便可利用行列式的积分计算。9、行列式乘积法28两个 n级行列式 nnnaaD.212112和 nnnbbD.2121122的乘积等于一个 n级行列式 ,.21211nncc其中ijC是 1D的第 i行元素分别与 D的第 j列的对应元素乘积之和，即： njijijiij baba.21， )2,1(ni利用行列式乘法的规则，我们可以把某些复杂的行列式化成
33、两个简单的行列式的乘积的形式。例 24：计算 2cos)cos()cs( )()(2分析：观察行列式，它的每个元素都可以分解为可分解为两项乘积的和，故由乘法定义，我们可以把它分解。解： sincosincosicsincosics ciiiii D00iii0sinco 例 25：计算29nnnn1.11.1分析：行列式的每项能化简成两项乘积的和。解： ).1(.)1(. )(.)( 12121 121211 nnnnn nnnD )()( 11 11321 22321221jinijj nnn nnn 10、递推法应用行列式的性质，把一个 阶行列式表示为具有相同结构的n较低阶行列式（比如， -1 阶或 -1 阶与 -2 阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给 阶行列式n的值，这种计算行列式的方法称为递推法。当行列式某一行（列）零元素比较多时，我们习惯按该行（列）展开，有时就能比较容易的求出行列式，比如：
