1、苏州市“2017 届高考数学第二轮复习研讨会”教学案 园区二中 安金龙第 1 页 共 13 页oxPByyA斜率乘积为定值的问题探究【教学目标】 会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质，体会“设而不求” 、 “整体代换”在简化运算中作用【教学难、重点】解题思路的优化【教学过程】 一基础知识、基本方法梳理问题 1已知 AB 是圆 O 的直径，点 P 是圆 O 上异于 A， B 的两点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k 2，则 k1.k2= .问题 2 （类比迁移 1）点 P 是椭圆上 上异于长轴端点以外的任一点，A、B 是2143xy该椭圆
2、长轴的两个端点，直线 PA,PB 的斜率分别为 k1， k2，则 k1k2= .问题 3.（引申拓展 1）求证：椭圆 )0(2ba长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为 2ba问题 4.（引申拓展 2）设 A、B 是椭圆 上关于原点对称的两点，点 P21(0)xyab是该椭圆上不同于 A，B 的任一点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k 2，则 k1k2 是否为定值？并给予证明问题 5.（类比迁移 2）设 A、B 是双曲线上关于原点对称的两点，点 P 是该双曲线上21(0)xyab不同于 A，B 的任一点，直线 PA,PB 的斜率是 k1,k2，猜想 k1k2 是否为
3、定值？并给予证明PyxBAOPyxBAO苏州市“2017 届高考数学第二轮复习研讨会”教学案 园区二中 安金龙第 2 页 共 13 页知识梳理：结论 1.设 A、B 是椭圆 上关于原点对称的两点，点 P 是该椭圆上不21(0)xyab同于 A， B 的任一点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k 2，则 21ba结论 2.设 A、B 是双曲线 上关于原点对称的两点，点 P 是该双曲2(0,)xyab线上不同于 A，B 的任一点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k 2，则 21ba友情提醒：以上两结论在解决填空题的时候，在你确保结论没记错的前提下，你可任性地使用；但：在解决解答题的时候
4、，若要用到该结论，不可任性，需要进行简单的证明，否则，受伤的只是你。二基础训练1.(2012 天津理 19 改编)设椭圆21(0)xyab的左、右顶点分别为 ，点 P 在椭圆上且异于 两点，若直线 AP,AB,AB与 BP 的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为 .12解析：利用 kAPkBP ，很快可以得到椭圆的离心率为2ba.222.如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，F 1,F2 分别为椭圆1(0)xyab的左、右焦点，B、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线 BF2 与椭圆的另一交点为 D.若 cosF 1BF2 ，则直线725CD 的斜率为 解析：由已知可得 ，所以 ，所122coscos
5、OB24cos5bOBFa以 ，又因为 ，且 ，所以 ，所以35caBDbkBDCkba2CDbkayxBAPO苏州市“2017 届高考数学第二轮复习研讨会”教学案 园区二中 安金龙第 3 页 共 13 页43125CDbcka3.（2016 如东月考）已知椭圆 ，点2:1xCy为其长轴 的 6 等分点，分别过这五点作斜率125,M AB为 的一组平行线，交椭圆 于点 ,则这 10(0)k1210,P条直线 , 的斜率的乘积为 1AP210, 3变式.（吓吓你）已知椭圆 ，点 为其长轴 的 2018 个等分2:1xCy12017,M AB点，分别过这 2017 个点作斜率为 的一组平行线，交椭
6、圆 于点 ,则这(0)kC12403,P4034 条直线 , 的斜率的乘积为 1AP234403,AP4.（2011 江苏 18 改编）如图 3，已知椭圆方程为 ，124yx过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k，对任意 ，0求证： PA PB分析：可以转化为证明 KPAKPB=-1，注意到 KABKPB= = 12ba法一：由题意设 ， A、C、B 三点共线，0010(,)(,)(,)(,)PxyAyBx则 又因为点 P、B 在椭圆上， ，两式相减0110,2yx 221,
7、4yxy得： ， ，01()PBxky01101()2()PAByxkyxyA法二：设 , A、C、B 三点共12011(,)(,),N(,)P(-,)(-xy中 点 则 线， 又因为点 A、B 在椭圆上, ,211,AByk221,4xyxy图 3CyxABPOP10P9P8P7P6P5P4P3P2P1yxBA O苏州市“2017 届高考数学第二轮复习研讨会”教学案 园区二中 安金龙第 4 页 共 13 页两式相减得：, , 012AByxk0121ONPAABykx/,ONPBA法三：设 ，则 ， ， ，即 ,(,)st(,)Cs,)tPts02ABCtks2APBk设 ，因为 ， ,所以
8、 ，又因为 ，0(,)xy0ABytkxs0BPykx20Pytx (,)st在椭圆 上，所以 ， ，所以 ，0(,)B124214st201422004xty所以 ,所以 ,即 ABPkAPBkAPBk方法梳理：一.解决直线和圆锥曲线问题的一般方法：Step 1 设（点的坐标、直线方程、曲线方程） ；Step 2 代（点的坐标代入方程，方程联立方程组代入消元） ；Step 1 化（化简方程，解方程）.二.常用的化简策略“设而不求” ，整体代换三.解决此类问题的基本要求1、 “思路清晰” ， “出路通达” ； 2、书写规范，推算严谨。三.典型例题例 1.（南京市、盐城市 2017 一模改编）已
9、知椭圆 的方程 ,直线C214xy， （ ）交椭圆 于 两点， 为弦 的中点， ，记直:lykxm0C,PQTP(0)(,MN线 的斜率分别为 ，当 时，求,TMN12,k21mk的值. 12解：（1）方法一：设 ，1(,)xy， ，联立 ，消去 ，得2(,)Qxy0(,)2kmy，因为 ， ，21440kmx21k0 T QP NM y xBO苏州市“2017 届高考数学第二轮复习研讨会”教学案 园区二中 安金龙第 5 页 共 13 页所以 恒成立，22(4)(1)4)0kmk， ，又 ，所以 ，所以 ，1,2xx21mk12xkm0kx，则 .012ky12 2214()1kkk方法二：设
10、 ， ， ， 则 ，两式作差，得1(,)Pxy2(,)Qxy0(,)Txy124xy，又 ， ，121212124x120x120y， ，又 ， 在直线0012y012yx(,)P2(,)Qxy上， ， ，ykxm12kx0k又 在直线 上， ，0(,)Tym0yxm由可得 ， ，所以 ，021kx021k201 21ymkk，所以202 21ymkkxk221222414(1)mkmk .2()例 2.（2013 苏北四市模考题改编）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 ，若点 ，xOy2:143xyEA分别是椭圆 的左、右顶点，直线 经过点 且BlB垂直于 轴，点 是椭圆上异于 ， 的任意一点
11、，P直线 交 于点 .AlM（1）设直线 的斜率为 直线 的斜率为O,1kPBMPOlxym苏州市“2017 届高考数学第二轮复习研讨会”教学案 园区二中 安金龙第 6 页 共 13 页，求证： 为定值；2k21k（2）设过点 垂直于 的直线为 .求证：直线 过定点，并求出定点的坐标.MPBm解 （1）法一、设 ， ，则 ， ，因为 三1(,)0xy0(2,)My012yk12yx,APM点共线，所以 ， 所以， ，因为 在椭圆上，所以1042yx0111224()()kx1(,)y，故 为定值22113()4y21123(4)yk法二、设 ，因为 ,所以 所以1(,)0Pxy(,0)(2AB
12、11,2PAPByykkxx，又因为 在椭圆上，所以 ，所以214PABkx1(,)xy2113(4)y，213PABy设直线 的方程为 ，则直线 的斜率为 ， ，直线 的斜率(2)kxBP234k(2,)MkO为 ，所以 为定值2k1234（2）法一、直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ,则直线 的方程为BP12ykxm12mxky，10(2)xy11110()4() 2xyyx= = ，221112(4)xyy22111(4)3xxy11y1()x所以直线 过定点 m(,0)法二、由（1）知 ，又因为 ，所以 ，所以 ，若32OMBPk1mBPk32OMmk32OMmk苏州市“2017 届高
13、考数学第二轮复习研讨会”教学案 园区二中 安金龙第 7 页 共 13 页记直线 与 轴的交点为 ，则 ，即 ，所以 ，mxE3tantan2MOBE32MBOE32BO又 ，所以 ，所以 点的坐标为 ，故直线 过定点 2OB3(1,0)m(1,0)例 3：已知椭圆方程 C 的方程为 ， 为椭24xy,A圆的左、右顶点，点 S 为椭圆 C 上位于 轴上方的动点，直线 AS,BS 与直线 分别交于 M，N 两点. 103x（1）试求线段 MN 的长度的最小值； （2）试问：以线段 MN 为直径的圆是否过定点，并证明你的结论. 解：（1）方法一.由已知可得 , ,设 的方程为 ， ，则(20)A()
14、BAS(2)ykx0，联立方程组 ，整理可得 ，所以04(,)3Mk24ykx222(14)614kx， ，所以 ，设 ,又因为281Sx228()11Sykk228(,)S0()3Ny三点共线，所以 ,且 ， ,所以,BN/BN2264(,)1k 16BN，即 ，所以 ，226641431kyk43yk 4,3Myk0所以 ，当且仅当 ，即 时取等号.823MN1所以线段 MN 的长度的最小值为 .83方法二. 由已知可得 , ,设 的方程为 ， ，则(20)A()BAS(2)ykx0，由于 ,所以 ，所以可设 的方程为 ，则104(,)3k14SBk14Sk14，所以 ，且仅当 ，即 时取
15、(,)N 82333MNk3kk等号.所以线段 MN 的长度的最小值为 .83x=- 103yxBANSM O苏州市“2017 届高考数学第二轮复习研讨会”教学案 园区二中 安金龙第 8 页 共 13 页（2）法一.由（1）知 ， ，所以以线段 MN 为直径的圆的方程为104(,)3Mk104(,)3Nk，即 (*)，04()()3xyk21609xy当 时，对于任意大于 0 的实数 (*)式恒成立，所以 ，或216()09 k 1430xy即以线段 MN 为直径的圆是恒过定点 和 .0xy 14(,)3(2,0)法二.假设以线段 MN 为直径的圆是恒过定点 ，由（1）可得 ，(,)Qmn10
16、4(,)3Mk，所以 ,又 ， ，14(,)3Nk0MQN04(,3k 6,Nn所以 对于任意大于 0 的实数 都成立，204()3mnk即 (*)，当 时(*)式恒成立，所以2116()()039216()039nm，或 即以线段 MN 为直径的圆是恒过定点 和 .40n0n 4(,)(,)引申：若直线方程变为 时，以上问题的结果又如何呢？,(,2)(,)xt由已知可得 , ,设 的方程为 ， ，则 ，由于(20)A)BAS2ykx0(,2)Mtk,所以 ，所以可设 的方程为 ，则 ，所以14SBk14Sk1()41,4Ntt，21(2)()224tMNttkttkt当且仅当 ，即 时取等号
17、.14kttt所以线段 MN 的长度的最小值为 .24t（2）假设以线段 MN 为直径的圆是恒过定点 ，由（1）知 ，(,)Qmn(,2)Mtk苏州市“2017 届高考数学第二轮复习研讨会”教学案 园区二中 安金龙第 9 页 共 13 页，所以 ,又 ， ，1(,2)4Nttk0MQN(,(2)mtnkt 1,(2)4NQmtntk所以 对于任意大于 0 的实数 都成立，1(2)2)04mtnkttkk即 (*)，当 时(*)式恒成立，22()()ttttk24()0ntm所以 ，或 即以线段 MN 为直径的圆是恒过定点 和240tmn240tmn 24(,)t.24(,)t当 时，以上的结论
18、又如何？3xt（1）MN 的长度的最小值为 ；2243()t（2）当 时，以线段 MN 为直径的圆是恒过定点 和 ；43xt (,0)53(,)当 时，以线段 MN 为直径的圆是恒过定点 和 . 3,四.课堂小结五.巩固练习1.（2015 全国卷 2 理 20）已知椭圆 ,直线 不过原点 且不平行于22:9(0)CxymlO坐标轴， 与 有两个交点 , ，线段 的中点为 lCABM() 证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；OMl（）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边l(,)3mP形 能否为平行四边形？若能，求此时 的斜率，若不能，OAPBl说明理由试题分析：()题中涉及弦的中点坐标
19、问题，故可以采取 “点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦 的中点和直线 的斜率；设直,ABABl P M AB y xO苏州市“2017 届高考数学第二轮复习研讨会”教学案 园区二中 安金龙第 10 页 共 13 页线 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦 的中点，并寻找两条直线斜率关系；l AB（）根据()中结论，设直线 方程并与椭圆方程联立，求得 坐标，利用 以及OMM2PMx直线 过点 列方程求 的值l(,)3mk试题解析：()设直线 ，:lyxb(0,)k， ， 将 代入 得1,Axy2,)By(,)M229xym，故 ， 于是直线2 2
20、(9)0kkbxm12xkb29Mbk的斜率 ，即 所以直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值OM9MOyk9OMkOl（）四边形 能为平行四边形APB因为直线 过点 ，所以 不过原点且与 有两个交点的充要条件是 ， l(,)3mlC0k3由()得 的方程为 设点 的横坐标为 由 得 ，OM9yxkPPx229,yxkm2981Pk即 将点 的坐标代入直线 的方程得 ，因239Pkmx(,)3l(3)b此 四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线段 互相平分，即2()MkOAPBABOP于是 解得 ， 因为 ，Px239m2(3)9k147k247k0,3iik，2，所以当 的斜率为 或 时，四边形
21、 为平行四边形1il47OAPB2.（2015 上海理）.已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别于椭圆交于21xy1l2和 ，记得到 的平行四边形 的面积为 .,AB,CDABCDS（1）设 ， ，用 的坐标表示点 到1(,)xy2(,)y,C DC AByxO苏州市“2017 届高考数学第二轮复习研讨会”教学案 园区二中 安金龙第 11 页 共 13 页直线 的距离，并证明 ；1l 121Sxy（2）若 和 的斜率之积为 ，试求 的值.1l2 S解析：依题意，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式得点 到 的距离为1l1yxC1l，因为 ，所以12121221()yxyxd 21ABOxy1
22、21SABdxy（2）方法一：设直线 1l的斜率为 k，则直线 2l的斜率为 k，设直线 1l的的方程为 xy，联立方程组 12yx，消去 y解得 21kx，根据对称性，设 21kx，则 21k，同理可得 ，则 ，22xk22y所以 .121Sy方法二：设直线 1l、 2的斜率分别为 、 ，则 ，所以 ，所以1yx212yx1212xy，因为 ， 在椭圆 上，2211124xyxy1(,)A2(,)C2y所以 ，222222211 1111()()4)xyxy即 4212112yx，所以 (2121，即 2|121yx，所以 |121S.3 (2016 山东文 21)已知椭圆 的长轴长为 4，
23、焦距为 .2:1(0)xyCab2（I）求椭圆 C 的方程；()过动点 M(0，m)( m0)的直线交 x 轴与点 N，交 C 于点yxBANQPMO苏州市“2017 届高考数学第二轮复习研讨会”教学案 园区二中 安金龙第 12 页 共 13 页A，P( P 在第一象限)，且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长线QM 交 C 于点 B.(i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k ，证明 为定值.k(ii)求直线 AB 的斜率的最小值.解：()设椭圆的半 焦距为 c，由题意知 24,2ac，所以2,abc，所以椭圆 C 的方程为 1xy.()(i)
24、设 00,Pxy，由 M(0,m)，可得 00,2,.PxmQ 所以，直线 PM 的斜率 02mk，直线 QM 的斜率 003k.此时 3，所以 为定值-3.(ii)设 ， ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，1(,)Axy2(,)ByPAykxmQB3ykxm联立 ，整理得 .24km22(1)440kxk由 可得 ，所以 ，2014xk210()mxkx210()1kmyxx同理 ， .220()8x2206(8)y所以 2221200 03181kxkkxx，22221200 06 68mmyxk ，所以22161.4ABykk由 ，可知 ，所以0,xk苏州市“2017 届高考数学第二
25、轮复习研讨会”教学案 园区二中 安金龙第 13 页 共 13 页，当且仅当 时取得，此时 ，即 ，符合题意.此时162k6k2648m147直线 的斜率的最小值为 .AB2（2015 陕西卷）20如图，椭圆2:1(0)xyEab经过点 (,1)A，且离心率为 2.(I)求椭圆 E的方程；(II)经过点 (1,)，且斜率为 k的直线与椭圆 交于不同两点,PQ（均异于点 A） ，证明：直线 AP与 Q的斜率之和为 2.解：(I)由题意知 2,1cba，综合 22abc，解得 2a，所以，椭圆的方程为21xy.(II)由题设知，直线 PQ的方程为 (1)(2)ykx，代入21xy，得2(1)4(1)2()0kxx，由已知 0，设 12,PQ， 120x则 222,k，从而直线 A与 的斜率之和1122 1APQyxxkkx2121()()kkxx4()2()k.
