1、北京师诚教育孙老师 186002942831 / 5二次根式 知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义：形如 的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时， 才有意义【典型例题】 【例 1】下列各式 1） 2221,2)5,3,4)5(),6,7)13xa，其中是二次根式的是_（填序号） 举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A、 B、 C、 D、a101a212、在 a、 2b、 1x、 2x、 3中是二次根式的个数有_个【例 2】若式子 3x有意义，则 x 的取值范围是 来源:学*科*网 Z*X*X*K举一反三：1、使代数式 4x有意义的 x 的取值
2、范围是（ ）A、x3 B、x3 C、 x4 D 、x3 且 x42、使代数式 有意义的 x 的取值范围是 213、如果代数式 有意义，那么，直角坐标系中点 P（m，n）的位置在（ ）mnA、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限【例 3】若 y= 5x+ x+2009，则 x+y= 解题思路：式 子 a（a0） ， 50, x，y=2009，则 x+y=2014举一反三： 1、若 1x2()y，则 x y 的值为（ ）A1 B1 C2 D32、若 x、y 都是实数，且 y= 4x3，求 xy 的值3、当 a取什么值时，代数式 21a取值最小，并求出这个最小值。已知 a 是 整数部分
3、，b 是 的小数部分，求 的值。5512ab若 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 。3 3若 的整数部分为 x，小数部分为 y，求 的值.17x12知识点二：二次根式的性质【知识要点】 1. 非负性： 是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到a()02. 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数()2式写成完全平方的形式： a()203. 注意：（1）字母不一定是正数aa20|()（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外4. 公式
4、与 的区别与联系aa20|()()()a20（1） 表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数（2） 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数()2（3） 和 的运算结果都是非负的【典型例题】 【例 4】若 22340abc，则 cba 举一反三：北京师诚教育孙老师 186002942832 / 51、若 ，则 的值为 。0)1(32nmmn2、已知 为实数，且 ，则 的值为（ ）yx, 023yxyxA3 B 3 C1 D 13、已知直角三角形两边 x、y 的长满足x 24 0，则第三边长为.6524、若 1ab与 24b互为相反数，则 0_ab。（公式 的运用）)()(2【例
5、 5】 化简： 2(3)a的结果为（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4举一反三：1 在实数范围内分解因式: = ； = 23x42m429_,_xx2 化简： 313 已知直角三角形的两直角边分别为 和 ，则斜边长为 25（公式 的应用）)0a(a【例 6】已知 ,则化简 的结果是2x24xA、 B、 C、 D、 2x2x举一反三：1、根式 的值是( )23)A-3 B3 或-3 C3 D92、已知 a0）4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 a= （a0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同
6、时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式【典型例题】 【例 16】化简(1) (2) (3) (4) ( ) (5) 916168152 29xy0,1263【例 17】计算（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）【例 18】化简：(1) 364 (2)2649ba(3) 2964xy (4) 25169xy )0,()0,()0,(【例 19】计算：(1) 123 (2) 318 (3) 146 （4） 68【例 20】能使等式 2x成立的的 x 的取值范围是（ ）A、 2x B、 0x C、 2x D、无解知识点六：二次根式计算二次根式的加减【知识要点】
7、 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】 【例 20】计算（1） ； （2） ；1132750.3712543025537（3） ； （4）1127538213263278417【例 21】 （1） （2）243xyxyab（3） （4）32171083aa1142aabb（5） （6）358154aa 2xyxy知识点七：二次根式计算二次根式的混合计算与求值【知
8、识要点】 1、 确 定 运 算 顺 序 ；北京师诚教育孙老师 186002942835 / 52、 灵 活 运 用 运 算 定 律 ； 3、 正 确 使 用 乘 法 公 式 ；4、 大 多 数 分 母 有 理 化 要 及 时 ；5、 在 有 些 简 便 运 算 中 也 许 可 以 约 分 ， 不 要 盲 目 有 理 化 ；【典型习题】 1、 2、 (2 +4 3 )abab3)2(5 12 483、 （-4 ） 4、12xy2x162y 673)27(5、 ） 6、 23)(623( )54()523(7、 8、110)562()( )0(12510(93mm【例 21】 1已知： ，求 的值
9、2已知 ，求 的值。3已知： ，求 的值4求 的值5已知 、 是实数，且 ，求 的值知识点八：根式比较大小【知识要点】 1、根式变形法 当 时，如果 ，则 ；如果 ，则 。0,ababbabb2、平方法 当 时，如果 ，则 ；如果 ，则 。2 23、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质： 0abb； 0ab8、求商比较法它运用如下性质：当 a0，b0 时，则：1ab； 1ab【典型例题】 【例 22】 比较 与 的大小。35【例 23】比较 与 的大小。21【例 24】比较 54与 13的大小。【例 25】比较 76与 5的大小。【例 26】比较 3与 8的大小。
