1、1,第3-4节 T-模与分解定理,2,一、三角模 的概念,本节是对模糊集运算进行拓广, 就是将模糊集的并、交运算拓广到一般的T-模、S-模。1、 T-模或T-范数或三角交1）. 从C. Elkan的西瓜问题谈起考虑一堆西瓜, 定义西瓜为“里红且外绿”的水果, 这里“红”与“绿”是模糊概念, 从而这里的“西瓜”也是一个模糊概念。假设某水果里红的程度是0.5, 外绿的程度是0.8. 它隶属于西瓜的程度如何?,3,如果使用前述模糊集的交运算之定义, 则这个水果属于“西瓜”的程度为0.50.8=0.5. 然而, 就直观的感觉而言, 里红和外绿对于成为一个西瓜来说应该是互相加强的“证据单元”, 因此这个
2、水果隶属于“西瓜”的程度大于0.5才合理。当取两个模糊集的交集时, 可能希望较大的模糊集对结果产生影响, 但如果模糊交集选用min, 则可能较大的模糊集无法产生影响。,4,关于上述“西瓜问题”, 吴望名教授做了如下论述：因为客观世界现象错综复杂，“交”算子的选取也应具体问题具体分析。C.Elkan所举西瓜“证据强度”的例子说明min算子用此例不合适, 但不能说采用别的算子就一定不合适。目前“交”算子除采用min外, 还可以用有界积、乘积、各种T-模算子、一致T-模算子、广义模算子等等。min算子作为“交”算子可用于许多论域, 但当然不是所有论域, 其它的“交”算子在一定条件下适用于一定的实际问
3、题, 数学的高度抽象性和客观世界的复杂多样性从来就是相辅相成的。因此对模糊逻辑算子的否定是站不住脚的.,5,T-模(triangular norm, 又称为三角模或T-范数)首先出现在K.Menger于1942年发表的论文“Statistical metrics”(统计度量)中, 在这里, T-模是作为经典度量空间中三角不等式的自然推广而提出的。上世纪60年代，B.Schweizer和A.Sklar重新严格定义了T-模(即现在通用的定义)和统计度量空间(现称为概率度量空间), 从而导致了这个领域的飞速发展。由于T-模较好地反映了“逻辑与”的性质, 因此T-模作为一般的“模糊与”算子一致受到模糊
4、逻辑学界的青睐。,6,关于T-模及其在模糊逻辑中的应用, 澳大利亚学者E.P.Klement, 捷克学者R.Mesiar, 南斯拉夫学者E.Pap在专著Triangular Norms (Kluwer Academic Publicashers, 2000)中进行了全面总结。事实上, 除了概率度量空间和模糊逻辑外, T-模还应用于决策支持、函数方程、测度理论、博弈理论等许多领域.,7,2）. T-模的定义定义1 T-模是单位区间0, 1上的二元函数T, 它满足交换律、结合律、单调性且带有单位元1. 即函数T: 0,10,10,1满足以下条件 (x, y, z0,1):(1) T(x, y)=T
5、(y, x),(2) T(x, T(y, z)=T(T(x, y), z), (3) 当yz时, 有T(x, y)T(x, z),(4) T(x, 1)=x，T(x, 0)=0, x0,1. 常用表示T, 并将T(x, y)记为xy.,8,以下各式定义的都是T-模:(1) xy=min(x, y). (取小算子或Gdel T-模)(2) xy=xy. (积算子或乘积 T-模)(3) xy=max(x+y1, 0). (Lukasiewicz T-模)(4) 当x, y至少有一个是1时xy取最小者, 否则, xy=0. (5) R0 T-模(王国俊),9,2、 S-模(T-余模)的概念,定义2
6、S-模(三角余模或T-余模)是单位区间0, 1上的二元函数S, 它满足交换律、结合律、单调性且带有单位元0. 即函数S: 0,10,10,1满足以下条件 (x, y, z0,1):(1) S(x, y)=S(y, x),(2) S(x, S(y, z)=S(S(x, y), z), (3) 当yz时, 有S(x, y)S(x, z),(4) S(x, 0)=x，S(x, 1)=1, x0,1. 常用表示S, 并将S(x, y)记为xy.,10,以下各式定义的都是S-模:(1) xy=max(x, y). (2) xy=x+yxy. (概率和)(3) x y=min(x+y, 1). (有界和)
7、(4) 当x, y至少有一个是0时x y取最大者, 否则, x y=1. (突变和)(5) R0 S-模(王国俊),11,3、否定函数（补运算）定义3 设N: 0,10,1,称N是否定函数，如果N满足下列条件(1) N(0)=1, N(1)=0;(2)当xy时, 有N(x) N(y). 称否定函数N是严格的，如果N还满足：(3) N(x)是连续的；(4)当xy时, 有N(x) N(y)称严格否定函数N是对合的，如果N还满足：(5) N(N(x)=x, x0,1.,12,Yager算子是否定函数: c(x)=(1xw)1/w, w(0, )Sugeno算子是否定函数: c(x)=(1x)/(1+
8、x), (-1, )容易验证, F(X)关于上述定义的模并、模交以及补运算构成一个De Morgan代数。,13,二、 分解定理,1. 截集定义 设AF(X), 0,1, 记A=x |A(x) , xX称A为A的截集。又记A+=x |A(x) , xX称A+为A的强截集。 称为置信水平或阈值。,14,定义 设AF(X), 称A1=xX|A(x)=1为A的核, 记为kerA. 称A0+=xX|A(x)0为A的支集, 记为suppA. 称suppAkerA为A的边界.称hgtA=supA(x) , x X为A的高度.称dphA=infA(x) , x X为A的深度.,15,kerAAsuppA X
9、,16,例1设,求A的各截集，kerA， suppA，hgtA，dphA.,17,定理 设A, BF(X), ,0,1. 则截集有如下性质：(1) (AB)=AB, (AB)=A B.(2) (AB)+=A+B+, (AB)+=A+B+.(3) A+A.(4) 若AB, 则AB, A+B+.(5) 若 , 则AA, A+A+.(6) A=A|0, ). A+=A|( , 1.,18,证明 仅证(6)中的A=A|0, ). 设xA, 则A(x).从而对任意0, )有A(x) , 所以xA , 即 xA|0, ).反过来, 设xA|0, ). 则对任意0, )有A(x), 所以A(x)sup0,
10、)=.,19,2. 数积(截积),定义 设AF(X), 0,1, 与A的数积(截积)A定义为：(A)(x)=A(x), xX.即A仍为X上的模糊集。,A,20,注意：,设AP(X), 0,1, 则,A,21,性质,1）设AF(X), 1,2 0,1,且12,2）设,则,22,3. 模糊集合的分解定理定理 对任意的AF(X)有A=0,1 A。,x,23,任取0,1, 将模糊集A切成经典集合A,再用与 A作数积得模糊集A, 将所有的数A(0,1)拼起来, 组成0,1 A, 此模糊集就是A.,24,证明 对任意的AF(X)有A=0,1A只需证明对任意的xX, A(x)=(0,1A)(x), 即A(x)=0,1 (A)(x)=0,1 (A(x).由于A(x)0,1, 而0,1 (A(x)=0, A(x) (A(x)(A(x),1 (A(x)注意到, 当A(x)时A(x)=1, 反之, A(x)=0.所以0,1 (A(x)=0, A(x) (A(x) =0, A(x) =A(x).,25,例2 设,验证分解定理成立。,26,例3 设,求模糊集A。,27,作业,P53 9，11，14,
