1、14.2.3 直线与圆的方程的应用教材分析本节内容是必修 2 第四章第 2 节的第 3 课时，主要是运用本章前面所学过的知识和理论原理来研究和解决直线与圆的方程的实际应用问题以及利用坐标法解决平面几何的证明问题因此本节课在教材中的地位很重要，是整章知识的整合，不可或缺此外本节课在教材中还起着深化知识，提升知识的作用，使学生的基本技能上升到一个新的台阶，同时为以后解析几何的深化学习奠定了良好的基础课时分配本节内容用 1 课时的时间完成，主要讲解了两道例题，分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用，以及用坐标法研究几何问题的基本思路及其解题过程教学目标重点：直线和圆的应用性问题以及用坐标法证明平面
2、几何问题难点：如何用坐标法解决实际问题知识点：用坐标法解决简单的实际应用问题和平面几何问题能力点：在探究直线与圆的方程应用的活动中，培养学生运用数形结合与方程的思想解决问题的意识，提升学生分析、解决问题的能力和反思、归纳的能力教育点：通过引入实际应用问题，使学生感受数学就在我们身边，激发学生的学习兴趣自主探究点：通过交流、探讨，自主归纳出用坐标法解题的一般步骤考试点：与直线、圆有关的实际应用及其利用坐标法处理平面几何问题易错易混点：利用坐标法解题时，相关点直线圆的代数表示拓展点：如何建立“适当”的平面直角坐标系?教具准备 多媒体课件、圆规、直尺课堂模式 学案导学一、 复习引入(1)知识回顾：1
3、.直线与圆的位置关系：相离、相切、相交2.圆与圆的位置关系：相离、外切、相交、内切、内含3.解决直线与圆以及圆与圆的位置关系的方法直线与圆的位置关系的判断，通常有两种方法：方法 1：从几何的角度来说明，依据圆心到直线的距离 与半径长 的关系，当 时，直线与圆drdr相离；当 时，直线与圆相切；当 时，直线与圆相交drr方法 2：通过直线与圆的方程组成的方程组有无实数解来判断如果有解，直线与圆有公共点有两组实数解时，直线与圆相交；有一组实数解时，直线与圆相切；无实数解时，直线与圆相离和判断直线与圆的位置关系一样，判断圆与圆的位置关系也有两种方法：一种是利用两圆圆心连心线长与 和 的大小关系判断，
4、另一种是根据两个圆的方程组成方程组的实数解的个数判断12r12r【设计意图】复习巩固前面所学知识，为这节内容的学习作好充分准备(2)新课引入：2引导学生阅读课本 P124“坐标法与机器证明”体会法国数学家笛卡儿与中国数学家吴文俊在几何代数化以及几何定理机器证明方面的贡献【设计意图】引出本节课要探究学习的主题坐标法的应用二、探究新知探究一：直线与圆的方程在实际生活中的应用 例 4图 4.2-5 是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图这个圆的圆拱跨度 ，拱高 ，20ABm4OP建造时每间隔 需要用一根支柱支撑，求支柱的高度( 精确到 )2AP.1思考 1：如图 4.2-6 所示建立直角坐标系，那么求支柱 的
5、高度，化归为什么问题？2学生：支柱 的高度即为点 的纵坐标22P思考 2：取 为长度单位，如何求圆拱所在圆1m的方程？学生：由圆心在 轴上，可设圆的方程为y，然后根据点 ， 在圆上，构22()xybrAB造方程组即可求解 ， ，得到圆的方程思考 3：利用这个圆的方程如何求点 的纵坐标？2P学生：将点 的横坐标 代入圆的方程可得结果2Px最后教师归纳概括，给出规范的解题过程如下：解：取 为长度单位，建立图 42-6 所示的直角坐标系，使圆心在在 轴上，设圆心坐标是 ，1m y(0,)b圆的半径是 ，那么圆的方程是 ，因为 都在圆上，所以它们的坐标 ，r22()xybr,PB,4都满足方程 于是，
6、得到方程组(0,)2()xyr22(4),1.br解得 ， 0.5214r所以，圆的方程是 2(0.5)14.xy将点 的横坐标 代入圆的方程，得 ，解得 ( 的纵坐2P22()10.5)4.y3.86)ym2P标 )0y答：支柱 的高度约为 2A3.86m图 4.2-5图 4.2-6 3思考 4：如果不建立坐标系，你能用几何法解决这个问题吗？教师：如图 4.2-7，过 作 ，由已知 ，2PHO4P在 中，有 设圆拱所在10OARtC22A圆的半径长是 ，则有 ，解得 r2(4)10r1.5r在 中，有 ，2tPH222+HP因为 ，AO于是有 ，2214.5206.5Cr又 ，于是有 ，14
7、.50. 206.51.386HCO所以支柱 的高度约为 2AP38m【设计意图】这是一个我们学生身边的例子，通过这个例子体会我们的生活中无处不在“用”数学通过这一问题的解决，进一步巩固用坐标法解决实际问题的步骤，了解建立适当的坐标系的必要性同时，通过思考 4 进一步体会坐标法在解决一些问题上的优越性探究二：坐标法在研究几何问题中的应用例 5已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半思考 1：许多平面几何问题常利用“坐标法”来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？教师指出在建立直角坐标系时应该注意选择图形中互相垂直的两条直
8、线作为 轴与 轴，并尽可能使得所涉及的点位于坐标轴上，因为这样可以使xy得它们的坐标比较简单（有一个是 0） 学生：以四边形中互相垂直的两条对角线所在直线分别为 轴、 轴，xy建立平面直角坐标系思考 2：如图 4.2-8 所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点 ， ， ， ，那么 边的长为多少？(,0)Aa(,)Bb(,0)Cc(,)DdBC学生：根据两点间距离公式可得， 2bc思考 3：四边形 的外接圆圆心 的坐标如何？AO学生合作探究可得：把找出圆心 坐标的任务分解为找出它的横坐标和纵坐标两件事，因此应该由点 向 轴作垂线，找出垂足x的横坐标，也就是点 的横坐标类似地，点 的纵坐标
9、就是点M 的纵坐标N思考 4：如何计算圆心 到直线 的距离 ？ADE学生：由 ，可知点 为线段 的中点，根据中点坐OE标公式求出点 坐标为 ，再由两点间距离公式可得 ,2adO 图 4.2-8图 4.2-9图 4.2-74最后教师归纳概括，给出规范的解题过程如下：证明：如图 4.2-9，以四边形 互直垂直的对角线 ， B 所在直线分别为 轴， 轴，建ABCDACDxy立直角坐标系设 ， ， ， ，(,0)a(,)b(,0)c(,)d过四边形 外接圆的圆心 分别作 ， ， 的垂线，垂足分别为 ， ， ，则ABCOBMNE， ， 分别是线段 ， ，的中点由线段的中点坐标公式，得MNE， ， ， 2
10、Ocx2NdyEax2Ey所以 21+abbc又 ，所以 2BCbcOBC思考 5：由上述计算可证明结论成立你能用平面几何知识证明这个命题吗？教师提示：如图 4.2-10，连接 并延长交圆于点 ，连接AF，这样就找出 ，即 ，然后证明 FD2EFD【设计意图】通过本例进一步延伸了坐标法的应用范围几何证明对于思考 5，在教学中我们仅仅是指出思路，突破难点并没有花费过多的时间去证明解答，我们的目的是通过几何法和坐标法的比较，让学生体会几何证法的奇巧性和坐标法应用的一般性三、理解新知用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数运算结果
11、“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论这就是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论四、运用新知1( 课本 P132 练习 3)某圆拱桥的水面跨度 20m，拱高 4m现有一船，宽 10m，水面以上高 3m，这条船能否从桥下通过？ 【设计意图】本题是例 4 的一个延续，设置目的是进一步强化学生从直观认识过渡到数学思想方法的能力，巩固直线和圆的方程在实际生活中的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力 解：建立如图所示的坐标系依
12、题意，有， ， ， ， (10,)A(,)B(0,)P(5,0)D(,)E设所求圆的方程是 于是有22xaybr图 4.2-1052222(10),4.abr解此方程组，得 ， ， 10.54.r所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 22()1.5(04)xyy把点 的横坐标 代入上式，得 Dx3.由于船在水面以上高 ， ，所以该船可以从桥下穿过3m.12 (课本 P132 练习 4)等边 中，点 、 分别在边 ，ABCDEBC上，且 ， ， ， 相交于点 求AC1BEP证： P【设计意图】使学生进一步熟悉和掌握平面几何问题与代数问题的转化，加深坐标法的解题步骤，巩固所学知识解：以 为原点， 边所在直
13、线为 轴，线段 长的 为单位CxBC16长，建立如图所示的坐标系则 ， ， (3,)A(0,)(,)由已知，得 ， (2,0)D5E直线 的方程为 A(2)yx直线 的方程为 B35解以上两方程联立成的方程组，得 ， 17x3y所以，点 P 的坐标是 直线 PC 的斜率 153,79PCk因为 ，所以， 9ADPCkA五、课堂小结1知识方面：（1）直线和圆的方程在实际问题中的应用；（2）坐标法在平面几何中的应用；（3）利用坐标法解题的“三步曲” 2思想方法方面：体会数形结合的数学思想在解题中的应用【设计意图】通过对本节知识的归纳概括，体会坐标法在解决实际问题中的作用6六、布置作业 必做题：教材
14、 P132 习题 4.2 A 组 8 ；P133B 组 1选做题：教材 P133 习题 4.2 B 组 2【设计意图】通过 A 组 8 和 B 组 1 进一步强化学生对直线和圆的方程在实际问题中的应用以及坐标法在平面几何中的应用的认识 B 组 2 属于考查坐标法的应用的问题，不过难度较大，故而作为选做题存在七、教后反思1本教案的亮点：本教案系统地研究了直线和圆的方程在实际问题和平面几何等问题中的应用严格遵循了新课程标准的要求，控制了例题和练习的难度，在例题和练习的选择上避免了繁难的证明，突出了坐标法的应用，这对全体学生而言是适当的在新知探究中突出了学生的主体地位，通过一问一答启发了学生的思维，使得教学内容和教学重点落到实处2本节课的弱项：对于探究“直线与圆的方程在实际问题中的应用”中的思考 4 以及探究“坐标法在研究几何问题中的应用”中的思考 5，讲授尺度把握不准，当放手给学生自主探究时，本节的教学内容则完不成( 在实际教学中尝试过 )，若仅仅是讲思路，则学生又体会不到坐标法在一些问题上的优越性对于这个问题有待于进一步解决八、板书设计423 直线与圆的方程的应用一、复习回顾引入新课二、探究新知例 4例 5三、运用新知练习 1练习 2四、归纳小结五、布置作业
