1、11.微分方程1.设 ， 是一阶线性非齐次微分方程 的两个特解，若常数1y2 ()ypxq， 使 是该方程的解， 是该方程对应的齐次方程的解，则（ u12u）（A） （B）12， 12，（C） （D）3， 3，2.已知 是某二阶常系数非齐次线性微分方32221 3xxxyeyeye， ，程的 3 个解，则该方程的通解 y= 。3.在下列微分方程中，以 （ 为任意的常数）123cosin2xCeCx123,C为通解的是( )(A) . (B) . 40yy40yy(C) . (D) . 4.设奇函数 f(x)在 上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：1,（I）存在 0,()1.f（ ） ， 使
2、 得（）存在 .f（ ） ， 使 得 （ ）5.若函数 满足方程 及 ，则)(xf 0)(2)( xffxf xefxf2)( =_。)(f6.微分方程 满足条件 的解为 xeycos 0)(yy7.求微分方程 的通解32x28.若二阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 ，则0yab12xyCe非齐次方程 满足条件 的解为 。yabx2,y9（本题满分 11 分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数 在 上连续，在 可导，则fx,ab(,)ab存在 ，使得,abfb（）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且fx00,，则 存在，且 。0limxfAfA10.微分方程 满足条件 的解是 .0y(1)
3、yy11.二阶常系数非齐次线性微分方程 的通解为_.243xe12. (本题满分 11 分)设函数 f(x), g(x)在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a )=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在 ，使得(,a().fg13.微分方程 的通解是( )1)yx14.微分方程 满足 的解为( )ln2 91)y15.（本题满分 12 分）已知函数 f(x)在0，1上连续，在 (0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在 使得 ；),10(1)(f（II）存在两个不同的点 ，使得,0,.1)(f16.已知 ，且 f(1)=0, 则
4、 f(x)= ( ) .xxef)(317.欧拉方程 的通解为 ( ).)0(242xydxy18.（本题满分 12 分）设函数 y=y(x)在 内具有二阶导数，且 是 y=y(x)的反),( )(,0yxy函数.(1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)(sin(32dydyx满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解.2)0(,)(19. 微分方程 的通解为 y= .104y20.（本题满分 11 分）设 是区间 上具有连续导数的单调增加函数，且 .对任()fx,(0)1f意的 ，直线 ，曲线 以及 轴所围成的曲边梯形绕0,t0xt()yfx轴旋转一
5、周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 的表达式.()fx21.（本题满分 10 分）已知函数 满足方程 及()fx()2()0fxffx()2xfxfe1）求表达式 ;()2）求曲线的拐点 .220)()xyfftd22.(本题满分 10 分)设函数 在 上连续，在 内存在二阶导数，且(fx0,3(0,3)，20()+(fdf（）证明：存在 ，使,2()ff4（）证明：存在 ，使(0,3)“()0f23.（本题满分 11 分）（）证明拉格朗日中值定理，若函数 在 上连续，在 上可导，()fx,ab,ab则 ，得证 .,ab()fafb（）证明：若函数 在 处连
6、续，在 内可导，且x00,()，则 存在，且 .0lim()xfA(0)f()fA24.微分方程 满足条件 的解是 .xy(1)yy25.微分方程 满足 的特解为 _.31()2dx1x26.（本题满分 11 分）设函数 ， 在 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()fxg,ab ， ，证明：()fagb()（）存在 使得 ；,()fg（）存在 使得 。()a27.设非齐次线性微分方程 有两个不同的解 为任意()yPxQ12(),yxC常数，则该方程的通解是（ ）(A) . (B) . 12()Cyx 112()()(C) . (D) yxyx28.微分方程 满足初始条件 的特解为_.0xy1
7、2y529.已知 是某个二阶常系数线性微分方程xxx eyeyey 232231 , 三个解，则满足 方程的解为 1)0()(30.（本题满分 10 分）设奇函数 在 上具有二阶导数，且 ，证明：)(xf,1)(f（1）存在 ，使得 ；101f（2）存在 ，使得 ),()(f31.微分方程 满足条件 的解为 .2d3dyxy1xyy32.微分方程 的特解形式为（ ）)0(2xe（A） （B）)(xea )(xea（C） （D）b 2b33.微分方程 满足条件 的解为 。xeycos0)(yy34.设 是一阶线性非齐次微分方程 的两个特解，若常数21,y )(xqp使 是该方程的解， 是该方程对
8、应的齐次方程的解，则21yA B 2,2C D31335.3 阶常系数线性齐次微分方程 的通解 y=_02yy36.设函数 f(x)在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)= ,证31明：存在 .)(),12(),0(2 ff使 得37.（本题满分 12 分）6设 ()yx是区间 -（ ， ） 内过 -2（ ， ） 的光滑曲线，当 -0x时，曲线上任一点处的法线都过原点，当 0x时，函数 ()yx满足 y。求()yx的表达式38.（本题满分 11 分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数 fx在 ,ab上连续，在 ,ab可导，则存在 ,ab，使得 fba（）证明：
9、若函数 x在 0处连续，在 0,内可导，且0limxfA，则 f存在，且 fA。39.在下列微分方程中，以 （ 为任意常数）123cosin2xyCeCx123,C为通解的是（ ）A40yB40yyCyD40.二阶常系数非齐次微分方程 的通解为 _.243exyy41.（本题满分 10 分）求微分方程 满足初始条件 的2()y (1)特解.42.微分方程 的通解是 (1)yx43.函数 满足的一个微分方程是21eexxC（A） （B）3.xy23e.xy（C ） （D） 2e744.微分方程 满足 的解为 .xyxln2 91)(y45.（本题满分 12 分）用变量代换 化简微分方程 ，并求其
10、)0(costx 0)1(2yx满足 的特解.2,10xxy46.（本题满分 12 分）已知函数 f(x)在0 ，1上连续，在 (0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在 使得 ；（II）存在两个不同的点 ，),10(1)(f )1,0(,使得 .)(f47.微分方程 的特解形式可设为 ( )21sinyx（A） .(sicosabcxABx（B） .2( )yx（C） .sincx（D） 2oyaxbA48.已知 xyln是微分方程 )(yx的解，则 )(yx的表达式为( )（A） .2 (B) .2x(C) .2yx (D) .2y 49.（本题满分 12 分）设
11、位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 )21,(，其上任一点 P(x,y)处的法线与y 轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；8(2) 已知曲线 y=sinx 在 ,0上的弧长为 l，试用 l表示曲线 y=f(x)的弧长 s.50.（本题满分 10 分）设曲线 ，其中 是可导函数，且 .已知曲线 与()yfx()fx()0fx()yfx直线 及 所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所得的立体体积0,1t值是该曲边梯形面积值的 倍，求该曲线的方程.51.（本题满分 8 分）在 坐标平面上，连续曲线 过点 ，其上任意点xOyL1,0M处的切线斜率与直线 的斜率
12、之差等于 （常数 ） 。,0POPax0（）求 的方程；L（）当 与直线 所围成平面图形的面积为 时，确定 的值。yax8352.（本题满分 10 分）设非负函数 yx0满足微分方程 20xy，当曲线yx过原点时，其与直线 1及 围成平面区域 D的面积为 2，求 D绕轴旋转所得旋转体体积。92.二元微分1.（本题满分 10 分）求函数 .的 极 值yxeyxf)3(),2.如果 在 处连续，那么下列命题正确的是（ ）(,)fxy0,（A）若极限 存在，则 在 处可微0()limxyf(,)fxy0,（B）若极限 存在，则 在 处可微20(,)lixyf(,)f,（C）若 在 处可微，则极限 存
13、在(,)f, 0(,)limxyf（D）若 在 处可微，则极限 存在(,)fxy0, 20(,)lixyf3.（本题满分 10 分）求 的极值。2,xyfxye4.（本题满分 9 分）设 ，其中函数 具有二阶连续偏导数，函数(,)zfxygf可导，且在 处取得极值 ，求()gx1x121,zxy5.设函数 ，由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 ，(,)zxy(,)0yzFx20F10则 （ ）zxyuA、 B、 C、 Dzxz6.设函数 具有二阶连续偏导数， ，则 。,fuv,fxy2zx7.（本题满分 9 分）求二元函数 的极值。2(,)lnfxy8.函数 在点(0,1)处的梯度等于(
14、).(,)arctnxfxy(A) (B) . (C) . (D) . iijj9.设 f(u,v)为二元可微函数， ，则 = _.(,)yxzfz10. (本题满分 11 分)求函数 在区域 上的最大22(,fxyxy2(,)4,0Dxyy值和最小值。11.设 均为可微函数，且 ，已知 是 在(,)(,)fxy与 (,)0yx0(,)xy(,)fx约束条件 下的一个极值点，下列选项正确的是( ).0(A) 若 ，则 . ,)xfy 0(,)yfx(B) 若 ，则 . 0( (C) 若 ，则 . ,)xfy0(,)yfx(D) 若 ，则 . 0(12.（本题满分 12 分）设函数 在 内具有二
15、阶导数，且 满足等式()fu,)2zfxy.20zxy11（I）验证 ；()0fuf（II）若 ，求函数 的表达式. (1),1()fu13.设函数 , 其中函数 具有二阶导数，yxdtyxu)()()(),( 具有一阶导数，则必有( ).(A) . （B） .22yux22yux(C) . (D) . 2214.（本题满分 12 分）设 z=z(x,y)是由 确定的函数，求01821062 zyxy的极值点和极值.),(yxz15.已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且 ，则( ).1)(,lim20, yxfyx(A) 点(0,0)不是 f(x,y)的极值点. (B) 点
16、 (0,0)是 f(x,y)的极大值点. (C) 点 (0,0)是 f(x,y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0,0) 是否为 f(x,y)的极值点. 16. 设函数 ，则 _.(1)xyz(1,)|dz17.(本题满分 10 分)已知函数 具有连续的二阶偏导数， 是 的极值，(,fuv(1,)2f(,)fuv。求 .(),zfxyf2(1,)|zxy18.(本题满分 10 分)12求函数 在约束条件 下的最大值和最小值2uxyz2210xyz19.设 ，则 .()yxze(1,0)z20.（本题满分 9 分）求二元函数 的极值.2(,)lnfxyy21.（本题满分 10 分）
17、设 是由方程 所确定的函数，其中 具有 2(,)zxy2xyzxyz阶导数且 时.1（）求 dz（）记 ，求 .,zuxyxyux22.设函数 可微，且 ，则 在点(1,2)处的全微分()f102f24zfy1,2d_.z23.设 均为可微函数，且 ，已知 是 在(,)(,)fxy与 (,)0yx0(,)xy(,)fx约束条件 下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）0(A) 若 ，则 . (,)xfy 0(,)yfx(B) 若 ，则 . 0 (C) 若 ，则 . (,)xfy0(,)yfx(D) 若 ，则 . 01324.函数 由关系式 确定，其中函数 可微，且,fuv,fxgyxgy gy，
18、则 _.0gy2f25.设函数 ，其中 可微，则 （ ）xyfzf yzx（A） （B） （C） （D ）)(2f )(2yf)(2f )(2xyf26.(本题满分 10 分)求函数 的极值.2,xyfe27.（本题满分 9 分）设函数 ，其中函数 具有二阶连续偏导数，函数 可导)(,xygfzf )(xg且在 处取得极值 ，求 。1x1)(1,2yxz28.设函数 (,)zxy由方程 (,)0zFx确定,其中 F为可微函数,且 20,F则xy=A B z C x D z 29. 0, .05124),( 2 ubyxaba yuxyxfu 下 简 化的 值 ， 使 等 式 在 变 换确 定
19、且 满 足 等 式具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ，设 函 数30.设函数 ,zfxy的全微分为 dz，则点 ,（ ）A不是 的连续点. B不是 ,fxy的极值点. C是 ,fxy的极大值点. D是 的极小值点.1431.（本题满分 10 分）设 ,zfxy，其中 f具有 2 阶连续偏导数，求 dz与2xy32.设 均为可微函数，且 ，已知 是 在(,)(,)f与 (,)0yx0(,)xy(,)fx约束条件 下的一个极值点，下列选项正确的是 0xy(A) 若 ，则 . (,)xf 0(,)yfx(B) 若 ，则 . 0y(C) 若 ，则 . (,)xf0(,)yfx(D) 若 ，则 . 0
20、y33.（本题满分 10 分）已知函数 z=f(x,y) 的全微分 ，并且 f(1,1,)=2. 求 f(x,y)在椭ydxdz2圆域 上的最大值和最小值.14),(2yxD34.设函数 , 其中函数 具有二阶导数，yxdtyu)()()(),( 具有一阶导数，则必有(A) . （B） .22yux22yux(C) . (D) . 2 23.二重积分1.设 则 _。,0,1,zyxzyxdsy2152.（本题满分 11 分）已知函数 具有二阶连续偏导数，且(,)fxy， ，其中 ，(1,)0,(1)fyfx,Dda(,)|01,Dxyy计算二重积分 (,)xyIf3.如图，正方形 被其对角线划
21、分为四个区域 ，,1,1,234kD，则coskDIyxd4maxkI. . . .A1B2IC3D4I4.设 是锥面 的下侧，则(01)zxyzd2(1)dyxzy5.（本题满分 10 分）设区域 ， 计算二重积分2(,)1,0Dxyx21d.Dxy6.（本题满分 11 分）设 ， 表示不超过0,2),(2yxyx 12yx的最大整数. 计算二重积分21yxDd.7.设 Dk 是圆域 D=(x,y)|x2+y21位于第 k 象限的部分，记Ik= （k=1,2,3,4） ，则()yxdA.I10, B. I20, C. I30, B. I408.设函数 连续，则二次积分 =（ ）()ft 20
22、cos()dfrd（A）224220(xdyfxy16（B）22420()xdfyd（C）22201()fxydx（D）22 2014()df9.（本题满分 10 分）计算二重积分 ，其中 D 为由曲线 所围区xDeyd 1yx与域.10. (本题满分 10 分)在 有连续的导数， ，且 ，)fx0,1(0)1f()()t tDDfxydfdxy，求 的表达式。(,|,01tDyxtytxytf11. (本题满分 10 分)计算二重积分 ，其中 由曲线 与直线3()DxydD21xy及 围成。20xy2012.（本题满分 10 分）计算二重积分 ，其中 .()Dxyd 22(,)1(),Dxy
23、yx13.设 ，则 .2(,)1xy2()Dxd14.（本题满分 11 分）17计算 其中 .max(,1),Dyd(,)02,Dxyy15.设函数 连续，则二次积分 等于（）(,)f 1sin2(,)xdfd（A） （B）10arcsin(,)ydfx 10arcsin(,)yfxd（C） （D ）2 216.（本题满分 11 分）设二元函数22. 1.(,)1,2xxyfyy计算二重积分 其中 。(,).Dfxd(,)x17.（本题满分 7 分）计算二重积分 ，其中 是由直线 所围成的2DyD,10yx平面区域。18.设 ，其中22212 3cos,cos,cosDDDIxydIxydIx
24、yd，则,1y（A） （ B） （C） （D）32II123I213I31I19.（本题满分 9 分）计算二重积分 ，其中 .21Dxyd,01,Dxyy20.（本题满分 8 分）18求 ，其中 是由圆 和 所围成2DxydD24xy21xy的平面区域（如图）. 21.设 是圆域 的第 象限的部分，记 ，kD1|),(2yxkkDdxyI)(则（ ）（A） （B ） （C） （D ）01I02I03I04I22.（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 所围成，求 8,3,yxyx Ddxy223.设区域 由曲线 围成，则 ( ) sin,12yxy5(1)Dxy(A) (B) 2 (C
25、) -2 (D) - 24.(本题满分 10 分)计算二重积分 ，其中区域 为曲线 与极轴围成.dDxy 1cos0r25.设平面区域 由直线 ，圆 及 轴所围成，则二重积分yx22。Dxyd26.（本题满分 11 分）已知函数 具有二阶连续偏导数，且 ， ，),(yxf 0),1(yf)1,(xf，其中 ，计算二重积分Dadf),(,0),(xyD。xyI,1927. .40,sec),(D,2cos1sin2 rdrrID 其 中计 算 二 重 积 分28.设函数 ,fxy连续，则 22411, ,yxfyfxd（ ）A241,dfd. B241,xdf. Cyx. D. y29.设函数
26、,f连续，则 22411, ,yxdfdfxd（ ）A241,xdfy. B241,xf. C. D. y30.（本题满分 10 分）求二重积分 Dxd，其中 22,1,Dxyy31.（本题满分 11 分）求二重积分 其中ma(,),Dxyd(,)02,xyy32.(本题满分 11 分) 设二元函数 ，计算二重22,|11(,) 2xfxyyy积分 ，其中 .D(,)dfxy,|D33.设 为连续函数，则 等于(,)f 140d(cos,in)dfrr(A) . (B) .2210d(,)xfy 2210(,xfy(C) . (D) . 2210(,)dyfx 2210d(,)dyf2034.
27、（本题满分 10 分）设区域 ， 计算二重积分2(,)1,0Dxyx21d.Dxy35.（本题满分 9 分）计算二重积分 ，其中 .dyxD12 10,),(yxyD36.设区域 ，f(x)为 D 上的正值连续函数，a,b0,4),(2y为常数，则 dfxfbaD)()(A) . (B) . (C) . (D) . 2)(ba2ba37.设函数 连续, 区域 , 则 等于( )()fu2(,)xyy()Dfxyd（A） .21()xdfd（B） .20y（C） .sin(icos)frr（D） 2i0dd4.级数1.设 ， ，令 ，则1()2fx10()sin(1,2)nbfxd 1()sin
28、Sxbx（ ）94SA . B. C. D. 3144342.(本题 10 分)21设数列a n满足条件： S（x）是幂级数0123,(1)0(2).nnaaa ， 0.nx的 和 函 数（1）证明： ()0;Sx（2）求 .的 表 达 式3.（本题满分 10 分）求幂级数 的收敛域及和函数。202431nnx4.设数列 单调减少， ， 无界，则幂级数na0limnankaS12,的收敛域为（ ） 1nx（A） (-1， 1 （B） -1，1) （C） 0，2) （D ）(0 ，25.（本题满分 10 分）求幂级数 的收敛域及和函数12()nx6.已知幂级数 在 处收敛，在 处发散，则幂级数0
29、(2)nnax04x的收敛域为 .0(2)nax7.(本题满分 11 分)将函数 展开成余弦级数，并求级数 的和2(1(0)fxx 1()n8.(本题满分 10 分)设幂级数 在 内收敛，其和函数 y(x)满足0nax(,)22240,(),(0)1.yxyy(I) 证明： 12;nna(II) 求 y(x)的表达式.9.若级数 收敛，则级数( )1na(A) 收敛 . （B） 收敛.1n 1()na(C) 收敛. (D) 收敛. 1na 112n10.（本题满分 12 分）将函数 展成 的幂级数. 2()xf11.（本题满分 12 分）求幂级数 的收敛区间与和函数 f(x).1 2)1()(
30、n nx12.设 为正项级数，下列结论中正确的是1na(A) 若 =0，则级数 收敛.nlim1na（B） 若存在非零常数 ，使得 ，则级数 发散.nlim1na(C) 若级数 收敛，则 . 1na0li2na(D) 若级数 发散, 则存在非零常数 ，使得 . 1n nali13.（本题满分 11 分）设有方程 ，其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根 ，0xn nx23并证明当 时，级数 收敛.11nx14.设 ，则 = .)(cos02 xaxn 2a15.（本题满分 12 分）将函数 展开成 x 的幂级数，并求级数 的和.xf21arctn)( 012)(n16.设a n为正项数
31、列，下列选项正确的是A. 若 an an+1, 则 收敛1()naB. 若 收敛，则 anan+1 1()nC. 若 收敛，则存在常数 p1，使 npan 存在1na limD. 若存在常数 p1，使 npan 存在,则 收敛li1n17.幂级数 的收敛半径为 .21()nnex18.（本题满分 10 分）将函数 展开成 的幂级数，并指出其收敛区间。21()34fx1x19.若级数 收敛，则级数（ ）1na(A) 收敛 . （B） 收敛.1n 1()na(C) 收敛. (D) 收敛. 1na 112n2420.（本题满分 10 分）求幂级数 的收敛域及和函数 。12nx()sx21.设 若 发
32、散， 收敛，则下列结论正确的是0,12,na 1na1na（A） 收敛， 发散 （B） 收敛， 发散21n21n 21n21na（C） 收敛 （D） 收敛21na21n22.（本题满分 9 分）求幂级数 在区间 内的和函数 .21nnx1,Sx23.（本题满分 9 分）设级数 的和函数为 .求：468224xxx Sx（） 所满足的一阶微分方程；S（） 的表达式.x5.空间解析几何1.曲面 在点 处的切平面方程为（ ）2cos()0xyzx(,1)A. B. C. D. z23xyz0xyz252.(本题满分 10 分)设直线 L 过 A（1,0,0） ，B（0,1,1）两点将 L 绕 z 轴
33、旋转一周得到曲面 ， 与平面 所围成的立体为 。0,2z（1） 求曲面 的方程；（2） 求 的形心坐标。3.（本题满分 11 分）椭球面 是椭圆 绕 轴旋转而成，圆锥面 是1S2143xyx2S过点 且与椭圆 相切的直线绕 轴旋转而成。4,0243xy（）求 及 的方程1S2（）求 与 之间的立体体积。4.（本题满分 11 分）已知曲线 求 上距离 面最远的点220,:35xyzCCxoy和最近的点5.点 到平面 的距离 _ (2,10)3450xyzd6. 曲面 与平面 平行的切平面的方程是_.2yxz04zyx6.三重积分， （曲）线面积分，三大公式1.设 ， ， ， 为四条逆21:Lxy
34、2:Lxy23:Lxy24:Lxy时针方向的平面曲线，记 ，则3()()(1,)6iLIddiA1234max,IA. B. C. D 2I3I4I262.（本题满分 10 分）已知曲线 ，其中函数 具有连续导数，且(),:0cos)2xftLy()ft，若曲线 的切线与 轴和 轴为边界的区域的面积.(0),()ffttLxy3.（本题满分 10 分）已知 是第一象限中从点 沿圆周 到点 ，再沿圆周L(0,)2xy(2,0)到点 的曲线段.计算曲线积分 .24xy(0,2) 3LdxydI4.设 是柱面方程 与平面 的交线，从 轴正向往 轴负向看去L21xyzxyzz为逆时针方向，则曲线积分
35、2LddA5.已知曲线 的方程为 起点是 终点是 则曲线积L1,1yx(,0)(1,0)分 2xyd6.（本题满分 10 分）设 为椭球面 上的动点，若 在点 处的切平面与P22:1SxyzSP面垂直，求点 的轨迹 ，并计算曲面积分 ，其xOyC2(3)4xyzIdS中 是椭球面 位于曲线 上方的部分.S7.已知曲线 ，则 。2:0LyxLxds8.设 ，则 。22,1zz2zy9.（本题满分 10 分）计算曲面积分 ，其中 是曲322xdzxdyIA面 的外侧。224xyz2710.设曲面 是 的上侧， .24zxy2xydzxdy11.(本题满分 9 分)计算曲线积分 ，其中 是曲线 上从
36、 到2sin(1)LxdydLsinyx(0,)的一段(,0)12.设曲面 ，则 =_. :1xyzdSyx|)(13.(本题满分 10 分)计算曲面积分23,Ixzdyzxyd其中 为曲面 的上侧。21(01)4z14.（本题满分 12 分）设在上半平面 内，函数 具有连续偏导数，且对任(,)|0Dxy(,)fxy意的 都有 . 证明：对 内的任意分段光滑的有向简单0t2,fttfD闭曲线 ，都有L.(,)d(,)0LyfxfxyA15.设 是由锥面 与半球面 围成的空间区域，2z22yxRz是 的整个边界的外侧，则 dyxd16.（本题满分 12 分）设函数 具有连续导数，在围绕原点的任意
37、分段光滑简单闭曲线 L 上，)(y曲线积分 的值恒为同一常数.Lxd42（I）证明：对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有；02)(4Cyxd28（II）求函数 的表达式.)(y17.设 为正向圆周 在第一象限中的部分，则曲线积分L22x的值为 ydx18.（本题满分 12 分）计算曲面积分,)1(3223 dxyzdxyzxI其中 是曲面 的上侧.)0(12z19.（本题满分 10 分）已知平面区域 ，L 为 D 的正向边界. 试证：,),(yxyD(1) ;dxedeyxLxL sinsinsinsin (2) .2sisi 20.（本题满分 12 分）设函数 f(x)连续且恒大于零， ，)(2)()tDt dyxfvzFtDdxfytG12)()其中 ，,)(2tzzyt .),()2tyt(1) 讨论 F(t)在区间 内的单调性.),0(2) 证明当 t0 时， .(tGtF
