1、（第 1 页，共 11 页）实变函数一、单项选择题1、下列各式正确的是（ C D ）（A） ; （B）1limnknA1limnknA（C） ; （D） ;k k2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（ D ）（A） c (B) (C) (D) 0PP P3、下列说法不正确的是（ B ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测4、设 是 上的 有限的可测函数列,则下面不成立的是( A )()nfxE.ae（A）若 , 则 (B) 是可测函数)fx(nffxsup()nfx（C） 是可测函数;（D）若 ,则
2、 可测if(n )n5. 下列说法不正确的是( C )(A) 的任一领域内都有 中无穷多个点，则 是 的聚点 0PE0PE(B) 的任一领域内至少有一个 中异于 的点，则 是 的聚点 (C) 存在 中点列 ，使 ，则 是 的聚点 EnP0n0(D) 内点必是聚点6.设 在 上 可积,则下面不成立的是( C )(xfL(A) 在 上可测 (B) 在 上 a.e.有限 E)(xfE(C) 在 上有界 (D) 在 上 可积)(xf L7. 设 是一列可测集， ，则有（B ） 。n12n （A） (B) 1limnnE limnnE（第 2 页，共 11 页）（C） ;（D）以上都不对1limnnE9
3、、设 ，则（ B ）,2(),12,nA(A) （B） li0nnAli(0,1(C) （D）(,3n3)n10、设 是 上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ）E0,1（A） (B) (C) =0，1 (D) ,oE1mE11、下列说法不正确的是（ C ）(A) 若 ，则 （B） 有限个或可数个零测度集之和集仍BmA*为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D）凡开集、闭集皆可测12、设 是一列可测集， ，且 ，则有（ A nE n21 1）（A） (B) nnEmli1 nnmEli1（C） ;（D）以上都不对nnli113、设 f(x)是 上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B
4、 ）,ba(A) 在 上的一致连续函数 (B) 在 上处处可导)(xf )(xf,ba（C） 在 上 L 可积 (D) 是有界变差函数,14设 是两集合，则 =（ C ）,MN()MN(A) (B) (C) (D) 16. 下列断言( B )是正确的。（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；17. 下列断言中( C )是错误的。（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集；（第 3 页，共 11 页）（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 18. 若 ，则下列断言（ A ）是正确的()fx
5、是 可 测 函 数(A) 在 可积 在 可积； ,abL|()|fx,abL(B) ()|fxRR在 可 积 在 可 积(C) ;,|()|,fx在 可 积 在 可 积(D) ()fxaL在 广 义 可 积 在 +可 积19、设 是闭区间 中的无理点集，则（A ）E0,1.Am.B0mE是不可测集 是闭集CD二、填空题1、 ()()ssBA2、设 是 上有理点全体，则 = , = , = .E0,1E01oE0,13、设 是 中点集，如果对任一点集 都有 ，nRT*()()cmTmE则称 是 可测的.L4、 可测的(充要)条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. xf5、设 ，则 （0，2）1
6、,2,nAn nAli6、设 ,若 则 是闭集；若 ，则 是开集；若 ，则ER,EEE是完备集.7、设 是一列可测集，则iS11iiimS8、设集合 ，则NM()N9、设 为 Cantor 集，则 ， 0， = 。PPcoP10、果洛夫定理：设 是 上一列 收敛于一个 有限的函数,)(nfEm.ea.ea（第 4 页，共 11 页）的可测函数，则对任意 存在子集 ，使 在 上一致f ,0Enf收敛且 。)(Em11、 在 上可测，则 在 上可积的充要条件是| |在 上可积.)xf )(xfE)(xf12、设 为 Cantor 集，则 c， 0， = 。PPmoP13、设 是一列可测集，则iS1
7、1iiiS14、鲁津定理：设 是 上 有限的可测函数，则对任意 ，存在闭()fxE.ae 0子集 ，使得 在 上是连续函数，且 。 E ()mE15、设 为 上的有限函数，如果对任意 ，使对 中互()Fx,ab0,ab不相交的任意有限个开区间 只要 ，就有,1,2,iabn 1niib则称 为 上的绝对连续函数。1|()|niiiFba()Fx,16、 ,因为存在两个集合之间的一一映射为,:.()tan,2xxaxabb17、设 是 中函数 的图形上的点所组成的 集合，E2R1cos,00,xy则 ， .1(,)cos,(0,)1xyxyE（第 5 页，共 11 页）18、设 是闭区间 中的全
8、体无理数集, 则 .EabmEba19、设 , ,若nR 0nxR,则称 是 的聚0x的 任 一 邻 域 内 都 含 有 无 穷 多 个 属 于 的 点 E点.20 设 是 上几乎处处有限的可测函数列, 是 上 几乎处()nfxE()fx处有限的可测函数, 若 , 有 , 0lim0nnE则称 在 上依测度收敛于 .()nfx()fx三、判断1、设 ，若 E是稠密集，则 是无处稠密集。F1RcE2、若 ，则 一定是可数集.F0m3、若 是可测函数，则 必是可测函数。F |()|fx()fx4设 在可测集 上可积分，若 ，则 F ,()0fx()0Efx5、A 为可数集，B 为至多可数集，则 A
9、 B 是可数集.T 6、若 ，则 F 0mE7、若 是可测函数，则 必是可测函数 F|()|fx()fx8设 在可测集 上可积分，若 ，则 F,()0Efx()0Efx9、任意多个开集之交集仍为开集 F 10、若 ，则 一定是可数集.F 0mE11、 收敛的函数列必依测度收敛。F.ae12、由于 ，故不存在使 之间 对应的映射。F,1,10,1和 ， 113、可数个零测度集之和集仍为零测度集。T14、 若 可测, 且 ,则 .FABABmB15、设 为点集, , 则 是 的外点. FEPE（第 6 页，共 11 页）16、点集 为闭集.F1,2,En 17、任意多个闭集的并集是闭集.F四、解答
10、题1、设 ，则 在 上是否 可积，是否 可积，2,()xfa为 无 理 数为 有 理 数 ()fx0,1RL若可积，求出积分值。解： 在 上不是 可积的，因为 仅在 处连续，即不连续点()fx0,1R()fxa为正测度集，因为 是有界可测函数， 在 上是 可积的()fx0,1L因为 与 相等，进一步，()f2.ae20,10()3fxdx2、求 0ln)imcosxd解：设 ，则易知当 时，(nfen()0nfx又因 ，( )，所以当 时，2l1l0tt3t3,0xlnln()ln(1)xxx从而使得 但是不等式右边的函数，在 上是 可积的，|()|(1)3xnfe 0,L故有 ，00liml
11、i0nxdfd00lim()li()nnfxdfxd3、求极限 1230lisinx解：记123()innfx则 在0,1上连续,因而在0,1上（R）可积和（L）可积. 又 1,0)(limxfn考 生 答 题 不 得 超 过 此 线（第 7 页，共 11 页）111223 2|()|sin|nxxf ,21,0nx且 在 上非负可积,故由 Lebesgue 控制收敛定理得21x0121 13000lim()lisinnnnxRfddx4、设 ，则 在 上是否 可积，是否 可积，,xf为 无 理 数为 有 理 数 ()f,RL若可积，求出积分值。解： 在 上不是 可积的，因为 仅在 处连续，(
12、)fx0,1R()fx1即不连续点为正测度集因为 是有界可测函数，所以 在 上是 可积的()f ()f0,L因为 与 相等, 进一步，x.ae10,102xd5、求极限 .1320limsinnxd解：设 ，则易知当 时，3()fxn()0nfx又 ，但是不等式右边的函数，在 上是 可积的2|1n0,L故有 00li()li()nnfxdfxd6、设 求出集列 的上限集和下限集212,1,2nA nA证明： lim()设 ，则存在 N，使 ，因此 时， ，即 ，所以(0,)xxN0x2nA属于下标比 N 大的一切偶指标集，从而 属于无限多 ，得 ，xnlim又显然 li(,)li(0,)nnA
13、A所 以（第 8 页，共 11 页）limnA若有 ，则存在 N，使任意 ，有 ，因此若 时，linxnnxA21N，此不可能，所以21,0,0n x即 令 得 limn五、证明题1、证明 上的全体无理数作成的集其势为 ., c证明：设 0,1E,().AQBE。 BM是 无 限 集 ， 可 数 子 集 .AM:是 可 数 集 ，(), (),( (),A且 ,.EBc2. 设 使 ，则 E 是可测集。 0,GE开 集 *m证明：对任何正整数 ，由条件存在开集 使n,nG*1()nm令 ，则 是可测集 1n又因 对一切正整数 成立，因而 ，*()mGE*1()nn*()0GE即 是一零测度集，
14、所以也可测.M由 知， 可测。 ()3.试用 Fatou 引理证明 Levi 定理.证明：设 为可测集 上的一列非负可测函数，且在 上有nfqREE，令 ,21),()(1xfn )(lim)(xfxfn由 为单调可测函数列知， 可测，且 )(xf于是 EEndxfxf)()(从而 （*） lim得 分阅卷人得 分阅卷人复查人得 分阅卷人复查人（第 9 页，共 11 页）另一方面，因 为可测集 上的一列非负可测函数，由 Fatou 引理nfqRE知（*） dxfdxfdxf EnEnE )(lim)(li)(由（*） 、 （*）两式即证 Ef)(4、试证 (0,1),证明：记 中有理数全体 ,
15、令12,Qr()x12),0nrx为 中 无 理 数 ，显然 1是 （ ， ） 到 ， 上 的 一 一 映 射所以 (0,),5、设 是可测集 的非负可积函数， 是 的可测函数，且fxE()gxE，则 也是 上的可积函数。|()|g()gx证明： ，|f(),()xfxf()nnEEExdfd是可测集 的非负可积函数f是 上的可积函数. limn()()nEEgxfx()gx同理， 也是 上的可积函数. 是 上的可积函数。 E7.设 在 上可积，则对任何 ，必存在 上的连续函数 ，()fx,ab0()x使 .|bad证明：设 由于 在 上 有限，故|,neEf()fxE.ae0,()nme得
16、分阅卷人复查人得 分阅卷人复查人考 生 答 题 不 得 超 过 此 线（第 10 页，共 11 页）由积分的绝对连续性，对任何 ，使0,N|()|4Nemfxd令 ，在 上利用鲁津定理，存在闭集 和在 上的连续函数NBEeNBFB1R使（1） （2） 时， ，且()x();4mFNx()fx1sup|s|NxxRf所以 |()|()|()| |()|2442NNN Nbae Be BFfdfxdfxdfm8、 设 , 且 为可测集, .根据题意, 若有nERii 1,2i, 证明 是可测集 .*0iBE证明：令 , 则 且 为可测集, 于是对于 , 都有1iiiEBi, 故iE,*0imE令
17、, 得到 , 故 可测. 从而i0BEB可测 .EB9. 证明: ACAC证明：（第 11 页，共 11 页）SSABCABCABAC:1、设 是 上的实值连续函数，则对于任意常数()fx,是闭集。P51,|aEa2、设 在 上可积， ，则 .P132,()mfxE(|)neEflim0ne3、设 是 上 有限的函数，若对任意 ，存在闭子集 ，使f.e0FE在 上连续，且 ，证明： 是 上的可测函数。(鲁津定()xF()F)fxE理的逆定理) P944. 设 为 E 上可积函数列， .于 E，且 ，)(fn eaffn)(limnkdxf|)(|k 为常数，则 在 E 上可积. P133 )(xf5.设函数列 在有界集 上“基本上”一致收敛于 ，证明：n1,2 ()fx收敛于 . P94().nfxae()fx6、设 f(x)是 上的实值连续函数，则对任意常数 c， , )(|cxfE是一开集. P51 7、设 在 上积分确定，且 于 ，则 在 上()fxE().fxgae()gx也积分确定，且 P108()EEd8、设在 上 ,而 成立, ,则有)(xffn.)(exfnn 21nP95 )(xgn得 分阅卷人复查人得 分阅卷人复查人得 分阅卷人复查人
