1、第一讲 工程问题工程问题是应用题中的一种类型在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）这三个量之间有下述一些关系式：工作效率工作时间工作总量，工作总量工作时间工作效率，工作总量工作效率工作时间为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效例 1 一项工程，甲乙两队合作需 12 天完成，乙丙两队合作需15 天完成，甲丙两队合作需 20 天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？分析 设这项工程为 1 个单位，则甲、乙合作的工效为 ，乙、12丙合作的工效为 ，甲、丙合作的工效为 。因此甲、乙、丙三队5120合作的工效的 2 倍为 ，所
2、以甲、乙、丙三队合作的工效120为（ ）2= 。因此三队合作完成这项工程的时间为101 =10（天）0解：1（ ）2=10（天）1250答：甲、乙、丙三队合作需 10 天完成说明：我们通常把工量“一项工程”看成一个单位，这样，工效就用工时的倒数来表示。如例 1 中甲、乙两队合作的工时为 12 天，那么工效就为 ，它表示甲、乙两队一天完成全部工程的 。12 12例 2 师徒二人合作生产一批零件，6 天可以完成任务师傅先做 5 天后，因事外出，由徒弟接着做 3 天，共完成任务的 批零件710各需几天？分析 设一批零件为单位“”，其中天完成任务，用 表6示师徒的工效和要求每人单独做各需几天，首先要求
3、出各自的工效，关键在于把师傅先做 5 天，接着徒弟做 3 天转化为师徒二人合作 3 天，师傅再做 2 天解：师傅工效：（ ） ；710610徒弟工效： ；5师傅单独做需几天： 10（天）10徒弟单独做需几天：1 15（天）。5答：如果单独做，师傅需 10 天，徒弟需 15 天例 3 一项工程，甲单独完成需 12 天，乙单独完成需 9 天若甲先做若干天后乙接着做，共用 10 天完成，问甲做了几天？分析 解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据题目的条件，找到等量关系，列方程解题。解：设甲做了 x 天那么，甲完成工作量的 ，乙做的天数 10 ，12x乙完成工作量（10 ） ，x9因此
4、 （10 ） =1，12x1两边同乘 36，得到：3x404x36x4答：甲做了 4 天例 4 一件工作甲先做 6 小时，乙接着做 12 小时可以完成；甲先做 8 小时，乙接着做 6 小时也可以完成如果甲做 3 小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？分析 设一件工作为单位“1”甲做 6 小时，乙再做 12小时完成或者甲先做 8 小时，乙再做 6 小时都可完成，用图表示它们的关系如下：由图不难看出甲 2 小时工作量乙 6 小时工作量，甲 1 小时工作量乙 3 小时工作量可用代换方法求解问题解：若由乙单独做共需几小时：631230（小时）若由甲单独做需几小时：86310（小时）甲先做 3 小时后乙
5、接着做还需几小时：（103） 321（小时）答：乙还需 21 小时完成例 5 筑路队预计 30 天修一条公路先由 18 人修 12 天只完成全部工程的 。如果想提前 6 天完工，还需增加多少人？13分析 由 18 人修 12 天完成了全部工程的 ，可通过 1812 求13出用一天完成 工作量共需要的总人数，也可通过 1812 求出用一13人完成 工作量共需要的总天数。所以由 （1812）求出 1 人 113 13天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）。解：1 人 1 天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）：（182）=3648剩余工作量若要提前 6 天完成共需多少人：（1 ） （ 3012
6、6）3148= 26=36（人）需增加几人：361818（人）答：还要增加 18 人例 6 蓄水池有一条进水管和一条排水管要灌满一池水，单开进水管需 5 小时排光一池水，单开排水管需 3 小时现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水的顺序轮流各开 1 小时问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）分析与解答 在解答“水管注水”问题时，会出现一个进水管，一个出水管的情况若进水管、出水管同时开放，则积满水的时间1（进水管工效出水管工效）。排空水的时间1（出水管工效进水管工效）这道应用题是分析推理与计算相结合的题目根据已知条件推出水池中的水每小时减少 = 。水池中有半池水即 ，经过1352
7、126 小时后还剩 （62）= 。如果按进水、排水的顺序进行，1250则又应进水 1 小时，这时水池内共有水 = 。如果按每小时1530的流速排出需要 = （小时） ，共用的时间为13309161 =7.9（小时） =7 小时 54 分刚好排完。90例 7 一件工作，甲 5 小时先完成了 ，乙 6 小时又完成了剩下14任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？分析 这道题是工程问题与分数应用题的复合题解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单位“1”（总工作量）的几分之几？解：甲工作效率： 5= ；1420乙工作效率：（1 ） 6= ；16余下部分甲、乙
8、合作需要几小时：（1 ）（1 ）（ ）= （小时）4210613答：还需要 小时才能完成任务。3例 8 甲、乙二人植树，单独植完这批树甲比乙所需要的时间多 ，如果二人一起干，完成任务时乙比甲多植树 36 棵，这批树一13共多少棵？分析 求这批树一共多少棵，必须找出与 36 棵所对应的甲、乙工效差。乙知甲比乙所用的时间多 ，可以求出甲与乙所用的时间13比为 4：3。当工作总量一定的情况下，工效与工时成反比例，甲与乙的工时比为 ：1=4：3，所以甲与乙的工效比是 3：4。这个间接条件一旦揭示出来，问题就得到解决了。解：设乙所用时间为“1” ，甲的时间是乙的 1 = （倍） ，3则甲与乙的时间比是
9、4：3。工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比是时间比的反比，为 34。共植树多少棵：36（ ）=252（棵）473答：这批树一共 252 棵例 9 加工一批零件，甲、乙合作 24 天可以完成。现在由甲先做 16 天，然后乙再做 12 天，还剩下这批零件的 没有完成。乙知25甲每天比乙多加工 3 个零件，求这批零件共多少个？分析 欲求这批零件共多少个，由题中条件只需知道甲、乙二人每天共做多少个即可，然后这就转化为求甲、乙两人单独做各需多少天，有了这个结论后，只需算出 3 个零件相当于总数的几分之几即可由条件知甲做 16 天，乙做 12 天共完成工程的 ，也即相当35于甲、
10、乙二人合做 12 天，另外加上甲又做 4 天共完成这批零件的 ；35又知道甲、乙二人合做 24 天可以完成，因此甲单独做所用天数可求出，那么乙单独做所用天数也就迎刃而解。解：甲、乙合作 12 天，完成了总工程的几分之几？12=124甲 1 天能完成全工程的几分之几？（ ）（1612）=352140乙 1 天可完成全工程的几分之几？ =2406这批零件共多少个？3（ ）=360（个）1406答：这批零件共 360 个例 10 一项工程，甲单独做要 12 小时完成，乙单独做要 18 小时完成若甲先做 1 小时，然后乙接替甲做 1 小时，再由甲接替乙做 1 小时，两人如此交替工作，问完成任务时，共用
11、了多少小时？分析 要求共用多少小时？可以设想把这些小时重新分配：甲做1 小时，乙做 1 小时，它们相当于合作 1 小时，也即是每 2 小时，相当于合做 1 小时这样先大致算一下一共进行了多少个这样的 2小时，余下部分问题就好解决了解：若甲、乙两人合作共需多少小时？1（ ）= （小时）128175甲、乙两人各单独做 7 小时后，还剩多少？17（ ）=21836余下的 由甲单独做需要多少小时？36 = （小时）12共用了多少小时？72 = （小时）134答：共用了 小时。143习题一1，一项工程，甲单独做 12 天可以完成如果甲单独做 3 天，余下工作由乙去做，乙再用 6 天可以做完问若甲单独做
12、6 天，余下工作乙要做几天？2，一条水渠，甲乙两队合挖 30 天完工现在合挖 12 天后，剩下的由乙队挖，又用 24 天挖完这条水渠由乙单独挖，需要多少天3，客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，经 2 小时 24 分钟相遇，相遇时客车比货车多行 9.6 千米已知客车从甲站到乙站行4 小时 30 分钟，求客车与货车的速度各是多少？4，水箱上装有甲、乙两个注水管单开甲管 20 分钟可以注满全箱。现在两管同时注水 2.5 分钟，注满水箱的 。如果单开乙管524需要多少分钟注满水箱？5，一项工程，甲、乙单独做分别需要 18 天和 27 天如果甲做若干天后，乙接着做，共用 20 天完成求甲乙完成工作量之比6，一项工程，甲、乙两队合作 6 天能完成 。已知单独做，甲56完成 与乙完成 所需时间相等。问单独做甲、乙各需多少天？13127，做一批儿童玩具甲组单独做 10 天完成，乙组单独做 12 天完成，丙组每天可生产 64 件如果让甲、乙两组合作 4 天，则还有 256 件没完成现在决定三个组合做这批玩具，需要多少天完成？
