1、圆的方程复习1、重点：（1）圆的标准方程与一般方程；（2）直线与圆的位置关系；（3）两个圆的位置关系；（4）有关切线与弦的结论2、难点：（1）因为圆的特殊性，在解决有关直线与圆的问题时，经常运用由圆的几何性质所产生的式子，如弦长、切线等，一般不列出它们的方程组去分析、讨论。在判断直线与圆的位置关系时，充分利用点到直线的距离公式 （ ）是圆心坐标），然后再利用 d 与 R 的大小关系进行判断。在直线与圆相交的问题中，充分利用构造的直角三角形来讨论解决问题，这是其他圆锥曲线所不具备的思想方法。（2）直线被圆截得的弦长代数法：设斜率为 k 的直线与圆相交于 和 两点，则。几何法：设直线 l 被圆 C
2、 截得的弦长为 AB，若圆的半径为 ，圆心到直线 l 的距离为 ，则。（3）在解决有关圆的轨迹及综合问题时，要注意合理运用圆的几何性质。【知识梳理】1、圆心为 A（a，b） ，半径长为 r 的圆的标准方程为2、点 P（ ）与圆 的位置关系：（1）当 时，则点 P（ ）在圆外；（2）当 时，则点 P（ ）在圆上；（3）当 时，则点 P（ ）在圆内。3、当 时，方程 叫做圆的一般方程4、直线与圆的位置关系有三种：相割、相切、相离。5、直线 与圆 （r0）的位置关系的判断方法有：（1）几何方法：圆心（a，b）到直线 的距离dr 直线与圆相交；dr 直线与圆相切；dr 直线与圆相离。（2）代数方法：
3、由 消元，得到的一元二次方程的判别式为，则0 直线与圆相交；0 直线与圆相切；0 直线与圆相离。6、圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含。7、根据圆的方程，判断两圆位置关系的方法有：（1）几何方法：两圆 （r 10）与 （r 20）的圆心距为 d，则dr 1+r2 两圆外离；dr 1r 2 两圆外切；|r1r 2 |dr 1+r2 两圆相交；d| r 1r 2 |（r 1r 2） 两圆内切；0d| r 1r 2 |（r 1r 2） 两圆内含（d0 时为同心圆） （2）代数方法：方程组 有两组不同的实数解 两圆相交；有两组相同的实数解 两圆相切；无实数解 两圆相离或内含。【要点解析】1
4、、圆作为一种较特殊的曲线，它的方程来源于它轨迹的定义，这种根据曲线定义确定曲线方程的方法叫做轨迹法2、用二元二次方程表示的曲线也叫做“二次曲线”或“圆锥曲线” 圆是其中的特例，高中教材，只讨论不含“xy”项的二次曲线同时，在用方程表示曲线时，一定要注意其限制条件3、在讨论含有字母参变量的圆方程的问题时，始终要把“方程表示圆的条件”作为首要条件，也可以理解为“定义域优先原则”的拓展4、在讨论直线与圆的位置关系时，要养成作图的习惯，即在解读完题意之后，通过图形（象）语言将其中的关系再展示出来，在观察和分析时，既可用平面几何知识，又可用代数方法解析，使解决问题的思路更宽5、求两圆公共弦所在的直线方程
5、的方法求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用6、解决直线与圆、圆与圆的位置关系问题时，要注意分类讨论、等价转化及数形结合等数学思想和方法的熟练运用【典型例题】命题角度 1 求圆的方程例 1. 一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 上，且在直线 上截得的弦长为，求此圆的方程。解法 1：所求圆的圆心在直线 上，且与 y 轴相切，设所求圆的圆心为C（3a， a） ，半径为 ，又圆在直线 上截得的弦长为 ，圆心 C（3a，a）到直线 的距离为 ，有即故所求圆的方程为或解法 2：依题设所求圆的方程为解方程组可得则圆在直线 上截得的弦
6、长为 ，即 解得故所求圆的方程为点评：确定一个圆需三个独立条件，题中显然给了三个条件：（1）圆与 y 轴相切；（2）圆心在直线 上；（3）在直线 上截得弦长为 ，因此，可求圆的标准方程。解题时要注意半径是正数，即应设 ，但是依题圆与 y 抽相切可能是圆在 y 轴左边或在 y 轴右边，圆心在直线 上，表明圆心的横纵坐标同号。命题角度 2 与圆有关的轨迹问题例 2. 如图所示，已知 P（4，0）是圆 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足APB90 ，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程。解析：设 AB 的中点为 R（x ，y） ，则 RtARO 中，又有即因此点 R 在一个圆上，而当 R 在
7、此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动。设Q（x，y） ，R（ ） ，由 R 为 PQ 中点，所以有代入方程 ，得整理得 ，即点 Q 的轨迹方程为点评：求轨迹方程时，应注意下面几个问题：（1）求方程前必须建立平面直角坐标系，否则曲线就不能转化为方程，坐标系选取得当，可使运算过程简单，所得方程也较简单（2）一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即删去增加的解或补上失去的解另外，根据情况，也可以省略列式，直接列出曲线方程因此，求轨迹方程的五个步骤可简化为如下三步：建系，设点；列式；化简（3）一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标为（x，y）
8、 。（4）求轨迹方程与求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形（5）在某些较复杂的探求轨述方程的问题中，可先确定一个较易求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程如本题在求 Q 的轨迹方程时，先求 AB 的中点的轨迹方程命题角度 3 与圆有关的最值问题例 3. 已知实数 x、y 满足方程（1）求 的最大值和最小值；（2）求 的最大值和最小值；（3）求 的最大值和最小值。解析：（1）原方程化为 ，表示以点（2，0）为圆心，以 为半径的圆，设 ，即 。当直线 与圆相切时，斜率 k 取最大值和最小值，此时，解之得
9、。故 的最大值为 ，最小值为 。（2）设 ，即 ，当 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值和最小值，此时 ，即 。故 的最大值为 ，最小值为。（3） 表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为 2，故点评：涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解。一般地：形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如 的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题等。命题角度 4 利用圆的方程解决实际问题例 4. 有一种大型商品，A、 B 两地都有出售，且价格相同，某地居民
10、从两地之一购得商品后运回的费用是：A 地每公里的运费是 B 地每公里运费的 3 倍。已知 A、B 两地距离为10 公里，顾客选择 A 地或 B 地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。求 P 地居民选择 A 地或 B 地购货总费用相等时，点 P 所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？解析：如图，以 A、B 所在的直线为 x 轴，线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系。|AB|10，A（5，0） ，B（5，0） 。设 P（x，y） ，P 到 A、B 两地购物的运费分别是 3a、a（元/公里） 。当由 P 地到 A、B两地购物费用相等时，有价格A 地运费
11、价格B 地运费，化简整理，得（1）当 P 点在以 为圆心、 为半径的圆上时，居民到 A 地或 B 地购货总费用相等。（2）当 P 点在上述圆内时，故此时到 A 地购物合算。（3）当 P 点在上述圆外时，同理可知，此时到 B 地购物合算。点评：在解决有关的实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学模型的基本方法数学实际应用题，在多年来的高考中得到了重视，除了在选择题、填空题中出现外，近几年都有解答题出现，应引起重视，平时多练习，以提高解决实际问题的能力命题角度 5 直线与圆的位置关系例 5. 已知圆（1）求证：不论 m 为何值，圆心在同一直线 l 上；（2）与 l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切
12、、相离？（3）求证：任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得弦长相等。解：用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去 m 就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离 d 与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长。（1）配方得： ，设圆心为（x，y） ，则 消去 m 得则圆心恒在直线 l： 上。（2）设与 l 平行的直线是则圆心到直线 的距离为因为圆的半径为 ，所以当 ，即 时，直线与圆相交；当 ，即 时，直线与圆相切；当 ，即 时，直线与圆相离。（3）对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 ，由于圆心到
13、直线 的距离 ，弦长 且 r 和 d 均为常量。任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。点评：判断直线与圆的位置关系可以看成它们构成的方程组有无实数解，也可以根据圆心到直线的距离与半径长的关系进行判断求圆的弦长有多种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去 y 后所得方程两根为 ，则弦长 ；三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷本题所用方法就是第三种方法命题角度 6 直线与圆相交问题例 6. 已知圆 和
14、直线 交于 P、Q 两点，若OP OQ（O 是原点） ，求 m 的值。设 P、Q 两点的坐标分别为 ，则由 ，可得，再利用一元二次方程根与系数的关系求解。解法 1：设点 P、Q 的坐标分别为 。由 OPOQ 得 ，即 又 是方程组 的实数解，即 是方程的两个根 P、Q 在直线 上，将代入，得 将代入，解得 ，代入方程，检验 成立， 。解法 2：已知圆 的圆心为 ，过点 C 作的垂线为由 解得 PQ 的中点坐标为 M（1，2） 。OPOQ，在 RtPOQ 中，斜边 PQ 上的中线圆 C 的半径r 亦为 ，有 。解法 3：由直线方程可得代入圆的方程有 整理得由于 （若 x0，则上式中 y0，但（0
15、，0）点不在直线 上，） ，故可得 是上述方程的两根。由 ，得 ，解得经检验可知 为所求。点评：此题解法一中将 转化为 是解决此类问题的一般方法一般地，以 为直径两端点的圆过某定点 ，均有另外，在运用根与系数的关系时，一定要结合判别式使用解法二利用了半弦长、弦心距以及半径所构成的直角三角形，使问题得解而解法三的关键在于依据直线方程构造出一个关于 的二元齐次方程，虽有规律可循，但需要一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以酣畅淋漓，一气呵成的感觉。命题角度 7 圆的切线问题例 7. 自点 A（3，3）发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 相切，求光线 l 所
16、在直线的方程。解析：已知圆 关于 x 轴的对称圆 C的方程为，如图所示。可设光线 l 所在直线方程为直线 l 与圆 C相切，圆心 C（2，2）到直线 l 的距离解得 或光线 l 所在直线的方程为点评：圆关于直线的对称圆问题，处理方法如下：首先求出圆心关于直线的对称圆心，半径和原来的圆半径相同，即可写出所求圆的方程，故问题的实质是点关于直线的对称问题命题角度 8 圆与圆的位置关系例 8. 试求与圆 外切，且与直线 相切于点Q（3， ）的圆的方程。解析：如图所示，设所求圆的圆心坐标 C（a ，b） ，半径 r，由于所求圆 C 与直线相切于点 Q（3， ） ，则 CQ 垂直于直线即有圆 C 的半径由
17、于圆 C 与已知圆 外切，则有即有对该式讨论：当 时，可得圆的方程为当 时，可得圆的方程为以上两方程为所求圆的方程。【模拟试题】1、过圆 外一点 P（4，2）作圆的两条切线，切点为 A、B，则ABP 的外接圆方程为（ ）A. B. C. D. 2、若过点（1，2）总可以作两条直线与圆 相切，则实数k 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 以上都不对3、圆 与 y 轴交于 A、B 两点，圆心为 P，若APB90，则C 的值为（ ）A. 8 B. 3 C. D. 34、若过定点 M（1，0）且斜率为 k 的直线与圆 在第一象限内的部分图象有交点，则 k 的取值范围是（ ）A. B. C. D.
18、 5、圆 的切线方程中有一个是（ ）A. B. C. D. 6、过点（1， ）的直线 l 将圆 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 l 的斜率 k_7、 （2006 年，湖北）已知直线 与圆 相切，则 a 的值为_。8、在ABC 中，A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c 且 P 为ABC的内切圆上的动点，则点 P 到顶点 A，B ，C 的距离平方和的最大值与最小值分别为_，_。9、曲线 C： 的普通方程是_，如果曲线 C 与直线有公共点，那么实数 a 的取值范围是_。10、设圆满足：截 y 轴所得弦长为 2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3：1。在满足条件、的所有圆中，求圆
19、心到直线 的距离最小的圆的方程。11、已知定点 A（0，1） ，B（0，1） ，C（1，0） ，动点 P 满足（1）求动点 P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（2）当 时，求 的最大值和最小值。12、已知圆 C： ，直线 l：（1）求证：对 ，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点；（2）设 l 与圆 C 交于 A、B 两点，若 ，求 l 的倾斜角；（3）求弦 AB 中点 M 的轨迹方程；（4）若定点 P（1，1）分弦 AB 为 ，求此时直线 l 的方程。【试题答案】1、D 2、C 3、D 4、A 5、C 6、 7、18 或 8 8、88，72 9、10、 或11、（1）k = 1 时，方程为 x = 1，表示过点（1，0）且平行于 y 轴的直线。k1 时，方程为 ，表示以 为圆心，以 为半径的圆。（2）12、（1）提示：直线过定点（1，1），而该点在圆内，故直线必与圆交于不同两点。（2） （3） （4） 或
