1、1圆的方程1.圆的定义 :在平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。2.圆的方程标准式： ，其中 为圆的半径， 为圆心22()()xaybr(,)ab一般式： （ ）.0DEF240EF其中圆心为 ，半径为,21D参数方程: ， 是参数） . 消去 可得普通方程cosinxrycos(inxaryb3. 点与圆的位置关系判断点 与圆 的位置关系代入方程看符号.(,)Px2()2()r4.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.判断方法： （1）代数法：（判别式法） 时分别相离、相交、相切. 0,（2）几何法：圆心到直线的距离 时相离、相交、相切. ,drr5弦
2、长求法（1）几何法：弦心距 d，圆半径 r，弦长 l，则 2lr（2）解析法：弦长公式= x1-x2(k2+1)=y1-y2(1/k2)+16圆与圆的位置关系:相交、相离、相切直线与圆的经典例题解析1.已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P，Q 两点，且 OPOQ （O 为坐标原点） ，求该圆的圆心坐标及半径.解： 将 x=3-2y 代入方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得 5y2-20y+12+m=0.设 P（ x1,y1）,Q(x2,y2),则 y1、y2 满足条件：y1+y2=4, y1y2= .512mOP OQ, x1x2+y1y2=0. 而 x
3、1=3-2y1,x2=3-2y2.x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2. m=3, 2此时 0,圆心坐标为 321，, 半径 r= 25.圆的方程1.方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆，则 a 的取值范围是 （ D ） A.a-2 或 a 32B.- 32a0 C.-2 a0 D.-2a 322. 已知实数 x,y 满足 y=x2-2x+2 (-1x1).试求： 2的最大值与最小值.解 由 3xy的几何意义可知，它表示经过定点 P（-2，-3）与曲线段 AB 上任一点（x,y)的直线的斜率 k, 如图可知：k PAkk PB,由已知可得：A（1，1） ，B（-1，
4、5） ， 34k8，故 23xy的最大值为 8，最小值为 34.直线斜率2 （08安徽卷）若过点 的直线 与曲线 有公共点，则直线 的斜率的取值范(4,0)Al2()1xyl围为 （ ） A B C D3,(3,)3,3,解析：记圆心为 ,记上、下两切点分别记为 ，则(20)D、， 的斜率3BACl00tan15,t,k即 .,k直线的方程3 （07浙江）直线 关于直线 对称的直线方程是 （ ）210xy1x 210xy 33xy解析：(利用相关点法) 设所求直线上任一点(x,y), 则它关于 对称点为(2-x, y)在直线1x上, 即 ，化简得答案 D.210xy012直线与直线的位置关系4
5、 （06福建）已知两条直线 和 互相垂直，则 等于 2yax()1yaxa( ) A2 B1 C0 D 1解析：两条直线 和 互相垂直，则 ， a=1，选 D.2yax()(2)3点与直线的位置关系5 （06湖南）圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差24xy10014yx是 ( )A36 B. 18 C. D. 2625解析：圆 的圆心为(2，2)，半径为 3 ，圆心到直线 的距离为0142yx 014yx3 ，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2R =6 ，选 C.|214|5 2圆的方程6. (06重庆)以点（2，1）为圆心且与直线 相切的圆的方程为 3450xy（ ）A B
6、2()(3xy22()(1)xyC D2)9解析 3，故选 C.2|3415|r （ ） 7.（08福建)若直线 3x+4y+m=0 与圆 （ 为参数）没有公共点，则实数 m 的取sin2co1yx值范围是 .解析：将圆化成标准方程得，圆心 ，半径 . 直线与圆相离，1)2()1(2yx)2,(1r ， ， .432m50m或直线与圆的位置关系7.（09辽宁）已知圆 C 与直线 xy0 及 xy40 都相切，圆心在直线 xy0 上，则圆C 的方程为 （ B ）A. 22(1)()xy B. 22(1)()C. D. 1xy解析：圆心在 xy0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中
7、圆心到两直线的距离等于半径 即可.2一选择题1 （09湖南重点中学联考）过定点 作直线 分别交 轴、 轴正向于 A、B 两点，若使2,1PlxyABC（O 为坐标原点）的面积最小，则 的方程是 （ ） lA. B. C. D.30xy350xy250240xy42 （09湖北重点中学联考）若 P（2，1）为圆（ x1） 2+y2=25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是 （ ） A.xy3=0 B.2x+y3=0 C.x+y 1=0 D.2xy5=03.（09陕西）过原点且倾斜角为 60的直线被圆 学 240xy所截得的弦长为（ ）A. 3 B.2 C. D.2 3 4.（09宁夏海南
8、）已知圆 1： 2()x+ 2(1)y=1，圆 2C与圆 1关于直线 10xy对称，则圆2C的方程为 ( )A. 2()x+ 2y=1 B. 2()x+ 2()y=1 C. + ()=1 D. + =15.（09重庆）直线 1yx与圆 21y的位置关系为 （ ）A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心 D相离6.（09重庆）圆心在 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的方程为 （ ）A 22()1xy B 22()1xy C 3 D 37 （08湖北）过点 作圆 的弦，其中弦长为整数的共有 (,2)A2460xy（ ）A.16 条 B. 17 条 C. 32 条 D. 34 条8 （08北
9、京）过直线 上的一点作圆 的两条切线 ，当直线 关于y22(5)(1)y12l， 12l，对称时，它们之间的夹角为 （ ） A B C Dyx 3045609二填空题9 （07上海）已知 与 ，若两直线平行，则 的值为1:2lxmy2:1lyxm_.10.（08天津）已知圆 C 的圆心与点 关于直线 对称直线 与圆(,)Py3410xyC 相交于 两点，且 ，则圆 C 的方程为_ BA,611.（09四川）若 21:5Oxy与 22:()0()OxmyR相交于 A、B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 w.12.（09全国）若直线 m被两平行线 12:3llx与
10、所截得的线段的长为 2，5则 m的倾斜角可以是: 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）13.（09天津）若圆 24xy与圆 2xya（a0）的公共弦的长为 23，则a=_ .14 （09辽宁）已知圆 C 与直线 xy0 及 x y40 都相切，圆心在直线 xy0 上，则圆 C 的方程为_.一选择题1 【答案】D【解析】由题设，可知 ，且 ，12ABCSab1 2abab 8.ab当且仅当 时， . 的方程为： 应选D. 428abl1240.4xyxy2 【答案】A【解析】由（x1） 2+y2=25知圆心为Q （1，0）.据k QPkAB=1，k A
11、B= =1（其中 kQP= =1）.AB 的方程为 y=（x2）1=x3，QP0即 x y3=0. 应选 A.3. 【答案】D【解析】直线方程 ,圆的方程为：3yx22()4xy圆心 (0,2)到直线的距离 201()d，由垂径定理知所求弦长为 *13d，4.【答案】B【解析】设圆 2C的圆心为（a，b） ，则依题意，有102ab解得 2ab，对称圆的半径不变，为 1.5.【答案】B【解析】圆心 (0,)为到直线 1yx，即 10y的距离 12d，而 01，选 B.6.【答案】A【解法】设圆心坐标为 (,)b，则由题意知 2()()ob，解得 b，故圆的方程为 22()1xy.7 【答案】C【
12、解析】由已知得圆心为 P(-1，2)，半径为 13，显然过 A 点的弦长中最长的是直径，此时只有一条，其长度为 26，过 A 点的弦长中最短的是过 A 点且垂直于线段 PA 的弦，也只有一条，6其长度为 10（PA 的长为 12，弦长=2 =10），而其它的弦可以看成是绕 A 点不间断旋转而213成的，并且除了最长与最短的外，均有两条件弦关于过 A 点的直径对称，所以所求的弦共有 2（26-10-1）+2=32故选 C8 【答案】C【解析】此圆的圆心为 C（5，1） ，半径.设直线 上的点 P 符合要求，连结 PC，则由题意知 ，又 .2rxyl: lPC215设 与 切于点 A，连结 AC，
13、则 .在 中， ， ，2l 2AARt2130A l1与 l2的夹角为 60. 故选 C.二填空题9 【答案】 【解析】 .31233m10.【答案】 .22(1)8xy【解析】圆 C 的圆心与 P（2,1）关于直线 y=x+1 对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为设 AB 中点为 M，连结 CM、CA，在三角形 CMA 中.)(22Ryx故圆的方程为222304(1)3,5|, 8,MARC又 .18)(22yx11.【答案】4 【解析】由题知 )0,()21mO，且 53|，又 21AO，所以有 5)52()2 m 420AB.12.【答案】或【解析】两平行线间的距离为 21|3|d，由图知直线 m与 1l的夹角为 o30， 1l的倾斜角为o45，所以直线 m的倾斜角等于 075430o或 0153o.13.【答案】1【解析】由知 26xya的半径为 ,26a2)(1(6a解之得 1.14 【答案】 2)xy7【解析】圆心在 xy0 上,结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径 即可.2
