1、1,第四节,矩阵的初等变换,2,定义,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是把“r”换成“c”),3,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,逆变换,逆变换,逆变换,定义 由单位矩阵E经过一次初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。,初等矩阵有下列3种:,4,(1) 对E施以第(1)种初等变换得到的矩阵.,5,(2) 对E施以第(2)种初等变换得到的矩阵.,6,(3) 对E施以第(3)种初等变换得到的矩阵.,7,(2) 对A施以某种初等列变换, 相当于用同种的n阶初等矩阵右乘A.,(1) 对A施以某种初等行变换, 相当于用同种的m阶初等矩阵左乘A.,定理
2、 设A为 阶矩阵，,证略。,例1,初等矩阵的逆矩阵还是同类型的初等矩阵：,9,等价关系的性质：,10,定理,任意一个 矩阵A都与一个形式为,的矩阵等价，称之为A的标准形。,证略。,11,将下列矩阵化为标准形 .,例2,(1),解,12,13,若方阵A可逆，则它的标准形必为单位矩阵，,初等阵是可逆的，且其逆阵仍为初等阵，于是,可逆阵能表成一些初等矩阵的乘积。,由,得,14,可逆阵可经过若干次初等行变换化为单位矩阵。,表明：,表明：,如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵E，那么同样地用这些初等行变换就把单位矩阵E化为,利用初等变换求逆阵的方法：,15,解,例3,16,17,即,初等行变换,18,例4,解,19,20,21,例5,解,假设矩阵A和B 满足关系式：,22,23,于是,因此,24,例5,或解,假设矩阵A和B 满足关系式：,25,从而获得Y。,26,例6,解,求解下列矩阵方程：,转置，,27,练习：,P69 习题二,
