第二章 参数估计.doc

1、第二章 参数估计一、填空题1、总体 的分布函数为 ，其中 为未知参数，则对 常用的点估计方法X);(xF有 ， 。2、设总体 的概率密度为(),(;)0xef而 是来自总体 的简单随机样本，则未知参数 的矩估计量为12,nX X_3、设 是来自总体 的简单随机样本，且 ，记321, )(XE，X 32124， 213 4则哪个是 的有偏估计 ，哪个是 的较有效估计 。4、随机变量 的分布函数 中未知参数 的有效估计量和极大似然估计X);(xF量的关系为 。5、随机变量 的分布函数 中未知参数 的有效估计量和最优无偏估计);(x量的关系为 。6、称统计量 为可估函数 的（弱）一致估计量是指 ),

2、(21nXT)(g。7、判断对错：设总体 ，且 与 都未知，设 是来自),(2N2 nX,.21该总体的一个样本，设用矩法求得 的估计量为 、用极大似然法求得 的1估计量为 ，则 = 。 _2128、 是总体未知参数 的相合估计量的一个充分条件是_ .n解： lim(), liVar()0nnnE9、已知 是来自总体 的简单随机样本， 。令1021,x XEX，则当 时， 为总体均值 的无偏估计。7618iiA10、 设总体 ，现从该总体中抽取容量为 10 的样本，样本值为,0UX0.513.6172.10.8152.06， ， ， ， ， ， ， ， ， 则参数 的矩估计为 。11、 设 与

3、 都是总体未知参数 的估计，且 比 有效，则 与 的期望121212与方差满足_ .解： 1212(), ()ED12、设 和 均是未知参数 的无偏估计量，且 ，则其中的统计)(221E量 更有效。13、在参数的区间估计 中，当样本容量 固定时，精度 提高时，),(21n12置信度 。114、设 是来自总体 的样本，则 的置信度为 0.95 的置nX,21 )1,(N信区间为 。15、设 是来自总体 的样本，其中 未知，则 的置n,21 ),(22信度为 0.95 的置信区间为 。16、设 是来自总体 的样本，其中 未知，则 的置nX,21 ),(2N2信度为 0.95 的置信区间为 。17、

4、设 服从参数为 的指数分布， 是来自总体 的样本，)2(,21nX X为其样本均值，则 服从 分布。XXn218、设总体服从正态分布 ，且 未知，设 为来自该总体的),(Nn,.21一个样本，记 ，则 的置信水平为 的置信区间公式是nii1_；若已知 ，则要使上面这个95.01置信区间长度小于等于 0.2，则样本容量 至少要取多大_。n18、为估计大学生近视眼所占的百分比，用重复抽样方式抽取 200 名同学进行调查，结果发现有 68 个同学是近视眼。则大学生近视眼所占的百分比的 95%的置信区间为 。19、设总体 未知参数为 ， 为样本均值, 若 近似服从 ，XXXn(1)N(0,1)则 的一

5、个双侧近似 1- 置信区间为 。20、设总体 为样本，则 的矩估计量为 12(,),.nXUX，极大似然估计量为 。21、设总体 为样本， 、 未知，则 的置信度212(,),.nN22为 1 的置信区间为 。22、设总体 X 在区间 上服从均匀分布，则 的矩估计 ； ,)(D。23、设总体 ，若 和 均未知， 为样本容量，总体均值 的置),(2NX2n信水平为 的置信区间为 ，则 的值为 _； 1),(X24、在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。二、简述题1、描述矩估计法的原理。2、描述极大似然

6、估计法的原理。3、极大似然估计法的一般步骤是什么？4、评价估计量好坏的标准有哪几个？5、什么是无偏估计？6、什么是较有效？7、什么叫有效估计量？8、判断可估函数 是有效估计量的充要条件是什么？)(g9、什么是最优无偏估计量？10、什么是一致最小方差无偏估计量？11、有效估计量和最优无偏估计量的关系是什么？12、什么叫均方误差最小估计量？13、叙述一致估计量的概念。14、试述评价一个置信区间好坏的标准。15、描述区间估计中样本容量、精度、置信度的关系。三、单选题1、设总体未知参数 的估计量 满足 ,则 一定是 的( )()EA 极大似然估计 B 矩估计 C 无偏估计 D 有效估计2、设总体未知参

7、数 的估计量 满足 ,则 一定是 的( )()EA 极大似然估计 B 矩估计 C 有偏估计 D 有效估计3、设 为来自均值为 的总体的简单随机样本，则nX,21 （ ）)(iXA是 的有效估计量 B是 的一致估计量C是 的无偏估计量 D不是 的估计量4、估计量的有效性是指( )A.估计量的抽样方差比较小 B.估计量的抽样方差比较大C.估计量的置信区间比较宽 D.估计量的置信区间比较窄5、若置信水平保持不变，当增大样本容量时，置信区间（ ）A将变宽 B将变窄 C保持不变 D宽窄无法确定6、一个 95%的置信区间是指（ ）A总体参数有 95%的概率落在这一区间内B总体参数有 5%的概率未落在这一区

8、间内C在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有 95%的区间包含该总体参数D在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有 95%的区间不包含该总体参数7、置信度 表示区间估计的（ ）1A精确性 B显著性 C可靠性 D准确性8、抽取一个容量为 100 的随机样本，其均值为 =81，标准差 s =12。总体均值x 的 99%的置信区间为（ ）其中： 。58.29.0UA 81 1.97 B 81 2.35 C 81 3.09 D 81 3.52四、计算题1、设 是来自总体 X 的样本 X 的密度函数为1,nX,0()xef试求 的极大似然估计量。2、设总体 X 服从参数为 的泊松分布，求未知参数

9、的矩估计量。3、 设总体 X 服从参数为 的泊松分布，求未知参数 的有效估计量。4、设总体 的概率密度为 .,0)()(其xexf是未知参数, 是来自 的样本，求 的矩估计量 nX,21 15、设 是取自总体 X 的一个样本，X 的密度函数为nX,.21其中 未知， 0。elsxxf,0)(2试求 的矩估计和极大似然估计。6、设 是取自总体 X 的一个样本，X 的密度函数为nX,.21其中 未知， elsxxf,0),(6)(30试求 的矩估计 。7、设总体 的概率密度为X.,0)()(其xexf是未知参数, 是来自 的样本，n,21 X（1）求 的矩估计量 ；（ 2）求 的最大似然估计量 ；

10、（3） 和 是不是212的无偏估计量（说明原因）？8、设总体 ，且 与 都未知，设 为来自总体的一),(2NX2 nX,21个样本，设 ， 。求 与 的极大似然估计量nii1niiXS12)(9、设总体 的概率分布为X0 1 2p21-3其中 是未知参数,利用总体 的如下样本值)310(X0，1，1，0，2，0，2，1，1，2（1）求 的矩估计值；（2）求 的最大似然估计值。10、设随机变量 的分布函数为X其其xxF0,1),(其中参数 . 设 为来自总体 的简单随机样本,1,0nX,21(1) 当 时 , 求未知参数 的矩估计量;(2) 当 时 , 求未知参数 的最大似然估计量; (3) 当

11、 时 , 求未知参数 的最大似然估计量. 211、 设 为来自总体 N(0, )的简单随机样本， 为样本均)2(,21nX 2X值，记 .,iYii 求：（1） 的方差 ；i()1,iDYn（2） 与 的协方差1n).Cov（3）若 是 的无偏估计量，求常数 c. 2)(c12、设总体 的概率密度为X,01,;12,xfx其 他 ,其中 是未知参数 ， 为来自总体 的简单随机样本，记012n.XX为样本值 中小于 1 的个数.N12,.nx（1） 求 的矩估计；（2）求 的最大似然估计13、设总体 的概率密度为X1,02(),1)xfx其 他为来自总体 的简单随机样本， 是样本均值.nX,21

12、 X（1）求参数 的矩估计量 ；（2）判断 是否为 的无偏估计量，242并说明理由.解：（1），10 1()(,)2()42xxEXxfdd令 ，代入上式得到 的矩估计量为 ()XE12X（2），22 2141 (4)4()4()DXEDDnn因为 ，所以 故 不是 的无偏估计量0， 2 X14、设总体 服从 上的均匀分布， 是来自总体 的一)0(, n,.21 X个样本，试求参数 的极大似然估计解： 的密度函数为X1,0;(,)xfx其 他 ,似然函数为 1,0,12,()nixnL其 它显然 时， 是单调减函数，而 ，所以()L12max,n是 的极大似然估计12max,nX 15、 设总

13、体 的概率密度为.其 它,0,1,)1()xxf是来自 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为_.nX,.21解:似然函数为 1 11(,;)()(),)nnni niLxxx 1lnl()lii1ln0iidLx解似然方程得 的极大似然估计为.1lniix16、设总体的概率密度为10,(;).xfx其 它 (0)试用来自总体的样本 ，求未知参数 的矩估计和极大似然估计.nX,21解：先求矩估计110EXxd故 的矩估计为11X再求极大似然估计111 1(,;)()nnni niLxxx 1ll(lnii1nl0niidLx所以 的极大似然估计为.1lniix17、已知分子运动的速度 具有概率

14、密度X2()34,0,()0.xefx为 的简单随机样本nX,.21（1）求未知参数 的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为 的无偏估计。解：（1）先求矩估计23()104xEXed2 2() ()00x xe2X再求极大似然估计2()1314(,;)ixniniLXe3221()nnx 21nixe221ln3ln(4)liL 2310ixd得 的极大似然估计 ，213nix（2）对矩估计2EX所以矩估计 是 的无偏估计.18、假设 、 、 、 是来自总体 的简单随机样本值.已知0.51.20.8.X服从正态分布lnYX(,)N（1） 求 的数学期望值 （记 为 ）；Eb（

15、2） 求 的置信度为 的置信区间；0.95（3） 利用上述结果求 的置信度为 的置信区间.b09519、设 是来自正态总体 的样本, 方差 未知，总体均值nX,21 )(2N2的置信度为 的置信区间的长度记为 ，求 。L4()E20、某出租车公司欲了解从财大南校到火车站乘租车的时间，随机地抽查了 9辆出租车，记录其从财大南校到火车站的时间，算得 （分钟） ，修正样本20x方差 的标准差 。若假设此样本来自正态总体 ，其中 与 均2s3s ),(N2未知，试求 的置信水平为 0.95 的置信下限。21、已知两个总体 与 独立， , ， 未XY)(21),(2Y21,知， 和 分别是来自 与 的样

16、本，求 的置信度1,.21n2,.nX21/为 的置信区间.解：设 布 定 理 知的 样 本 方 差 ， 由 抽 样 分，分 别 表 示 总 体 YXS21 ,， /2121/22(,)(,1)PFnFn则，121122/ /(,)(,)SS 所求 的置信度为 的置信区间为 212121/ /,(,)(,)SSFnFn 22、一批糖袋的重量（单位：千克）服从正态分布。现在从该批糖袋中随机抽取 12 袋，测得这 12 糖袋的平均重量为 ，方差为 0.1291057.3求这批糖袋的平均重量 的置信度为 95%的置信区间，并计算估计的精度。求这批糖袋的重量方差 的置信度为 95%的置信区间。223、

17、设总体 （方差已知） ，问需抽取容量 多大时，才能使得总体),(2NXn均值 的置信度为 的置信区间的长度不大于 L？1五、证明题1、设 是从总体 抽取的一个样本， 的密度函数为nX,21 X1,0(),xef证明样本均值 是未知参数 的无偏、有效、一致估计量；X2、设 是总体为 的简单随机样本.记 ，12,n 2(,)NniiX1，iiXS122)(21SnT（）证 是 的无偏估计量 .2（）当 时 ，求 .0,()DT3、设从均值为 ，方差为 0 的总体中分别抽查容量为 的两独立样本。2 21,n和 分别是两样本的均值。试证明：1X2对于任意常数 都是 的无偏估计，并确定常数 使21),(

18、, XbaYbaba,达到最小。)(YD4、设总体 服从 分布， 为总体的样本，证明 是参数 的X),1(pBn,.21 Xp一个 UMVUE证明： 的分布律为1(;)(),0xxfp容易验证 满足正则条件，于是;f2()ln(;)(1)IEfxp另一方面，1Var()ar()()XnnIp即 得方差达到 C-R 下界的无偏估计量，故 是 的一个 UMVUEXp5、设 是来自总体 的一个样本， 是 的一个n,.21 ,xF),.(21nnX估计量，若 且 .2)(,)(nnnDkE0limli2nnk试证 是 的相合（一致）估计量。n证 由契贝晓夫不等式，对任意的 有0-2(|)nnnPk于是 20lim(|)lim0nnnn 即 依概率收敛于 ，故 是 的相合估计。n