1、巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第二讲 约数与倍数 第二讲 约数与倍数基础知识分解质因数的方法，掌握约数个数和约数和的求法和具体意义。设自然数n的质因子分解式如n= p1 p2 .pk 那么：1a2aakn的约数个数：d(n)=(a 1+1)(a2+1)(ak+1)n 的所有约数和：（1+P 1+P1 +p1 ）（1+P 2+P2 +p2 ）（1+P k+Pk +pk ）aa2a最大公约数和最小公倍数的求法。短除法，分解质因数法，辗转相除法。分数最小公倍数和最大公约数的求法。约数与倍数的相关性质：两（多）个数的公约数是它们最大公约数的约数；两（多）个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数； ； 。,
2、),(baba,),(例题1. 求 ； ； ； 。)142 ,68( ,)5243 ,0186( 5243 ,0186分析与解答： 2， 4828)( 4 1536464053,0 ,2. 分数 、 、 的最大公约数是_；最小公倍数是_；。36149207分析与解答：（ 、 、 ）1371280 、 、 1463. 180 一共有_个约数；这些约数的和是_；720 有_个奇约数；这些奇约数的和是_；分析与解答： 因为 1802 2325 180 的约数个数为：（21）（21）（11）18 个。180 的约数的和为：（124）（139）（15）546巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第二讲 约数与
3、倍数 因为 7202 4325720 的奇约数的个数为：（21）（11）6720 的奇约数的和为：（139）（15）784. 120 中，有_个数的约数之和是 4 的倍数；分析与解答：3， （1+3） ；6， （1+2 ）（1+3） ；12， （1+3）（1+2+4）7， （1+7） ；14， （1+7 ）（1+2） ；11， （1+11） ；19， （1+19 ）15， （1+3）（1+5 ）共有 8 个。 5. 7663 和 81 的最大公约数最大是_，最小公倍数最小是_；分析与解答：76637997 81489784. 所以最大公约数最大是 97.因为 791038137 8148978
4、4，所以最小公倍数最小是 7997846436926. 两个自然数的最大公约数是 6，最小公倍数是 540。这样的自然数一共有_组；分析与解答：设这两个数是 6a，6b，且（a,b）=1.那么 6ab540，可得 ab=90.a=1,b=90 或 a=2,b=45 或 a=5,b=18 或 a=9,b=10.共四组。7. 两个自然数的和是 99，它们最大公约数和最小公倍数的和是 231，那么这两个数分别是_、_；分析与解答：设这两数的最大公约数是 m,这两数分别为 ma,mb. 最小公倍数是 mab，那么mambm(a+b)=99 m+mab=m(1+ab)=231从以上式子可看出：m 为 9
5、9 与 231 的公约数，且 m 必为奇数。所以 m=1,3,5,9,231.（99， 231）33，所以 m 为 33 的约数，m=33 ，11，3. 这样就可以得到：当 m=33 时，a+b=3, 1+ab=7，不成立。当 m=11 时，a+b=9, 1+ab=21,此时 a=4,b=5.所以这两个数分别是 44，55.巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第二讲 约数与倍数 8. 5 位同学 ,每位同学都有编号 ,他们是 1 号到 15 号,1 号同学写了一个自然数,2 号说：“这个数能被 2 整除” ，3 号说：“这个数能被他的编号数整除.1 号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余
6、同学都对,问:(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数 ?(2)如果告诉你,1 号写的数是五位数,请找出这个数.分析与解答：(1)根据 2 号15 号同学所述结论同学所述结论,将合数学 4,6,，15 分解质因数后，由 1 号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论.4=22,6=23,8=23,9=32,10=25,12=22 3,14=27,15=3 5由此不难断定说得不对的两个同学的编号是 8 与 9 两个连续自然数(可逐次排除,只有 8 与9 满足要求).(2)1 号同学所写的自然数能被 2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15 这 12 个数整除,也就
7、是它们的公倍数.它们的最小公倍数是223 5 7 11 13=60060因为 60060 是一位五位数,而这 12 个数的其他公倍数均不是五位数,所以 1 号同学写的五位数是 60060.9. 已知 a 与 b 的最大公约数是 12,a 与 c 的最小公倍数是 300,b 与 c 的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数 a,b,c 共有多少组?(例如:a=12、b=300、c=300，与 a=300、b=12、c=300 是不同的两个自然数组)分析与解答：先将 12、300 分别进行质因数分解：12=22 3300=22 3 52(1)确定 a 的值.依题意 a 只能取 12 或 1
8、2 5(=60)或 12 25(=300).(2)确定 b 的值.当 a=12 时,b 可取 12,或 12 5,或 12 25；当 a=60,300 时，b 都只能取 12.所以,满足条件的 a、b 共有 5 组：a=12 a=12 a=12 a=60 a=300b=12, b=60, b=300, b=12, b=12.巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第二讲 约数与倍数 (3)确定 a,b,c 的组数.对于上面 a、b 的每种取值，依题意，c 均有 6 个不同的值：52，5 2 2，5 2 22，5 2 3，5 2 2 3，5 2 22 3，即 25，50，100，75，150，300.所
9、以满足条件的自然数 a、b、c 共有 5 6=30（组）习题：1. 用长是 9 厘米、宽是 6 厘米、高是 7 厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块_块. 分析与解答：依题意，正方体的棱长应是 9，6，7 的最小公倍数，9，6，7 的最小公倍数是 126.所以,至少需要这种长方体木块76912=14 2118=5292(块)2. 一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔 3、5、9、15、10 分钟发一次，第一次同时发车以后，_分钟又同时发第二次车.分析与解答：依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是 3,5,9,15 和 10 的最小公倍数.因为 3,5,9
10、,15 和 10 的最小公倍数是 90,所以从第一次同时发车后 90 分钟又同时发第二次车.3. 动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得 12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒.那么平均给三群猴子,每只可得_粒.分析与解答：依题意得花生总粒数=12 第一群猴子只数=15 第二群猴子只数=20 第三群猴子只数由此可知,花生总粒数是 12,15,20 的公倍数,其最小公倍数是 60.花生总粒数是60,120,180,，那么巨人学校 五年级尖子仁华预备班 第二讲 约数与倍数 第一群猴子只数是 5，10，15，第二群猴子只数是 4，8，12，第三群猴子只数是 3，6，9，所以，三群猴子的总只数是 12，24，36，.因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是 5 粒.
