1、圆章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长 的点的轨迹就是以定点为圆 心，定 长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的 轨迹是 这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两 边距离相等的点的轨迹是 这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的 轨迹是：平行于这条直 线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的 轨迹是：平行于 这两
2、条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外 点 在圆外；A三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；dr2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；drd=rr drddCBAO四、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 ；dRr外切（图 2） 有一个交点 ；相交（图 3） 有两个交点 ；内切（图 4） 有一个交点 ；dr内含（图 5） 无交点 ；R周1rRd周3rRd五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
3、平分弦所 对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： 是直径 弧 弧 弧 弧ABABCDEBCDACD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， OABCD弧 弧周2rRd 周4rRd周5rRdOE DCBAOC DA B六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推
4、3 定理，即上述四个 结论中，只要知道其中的 1 个相等，则 可以推出其它的 3 个结论，即： ； ；AOBDEAB ； 弧 弧CF七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆 周角等于它所对的圆心的角的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBCAB 22、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角OCD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或OAB90C 是直径90CAB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么 这个三
5、角形是直角三角形。即：在 中，ABCOAB 是直角三角形或 90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。FEDC BAOCBAOD CBAOCB AOCB AO八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 中，O四边形 是内接四边形ABCD 180180E九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直
6、线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆 心； 过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线PAB 平分OPA十一、圆幂定理EDCBANM AOPBAOPO DCBA（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘 积相等。即：在 中， 弦 、 相交于点 ，OABCDPP（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 中， 直径 ，OABCD 2
7、E（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切 线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 中， 是切线， 是割线OPAB 2C（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割 线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在 中， 、 是割线OPBE CDP十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆 的的公共弦。如图： 垂直平分 。12OAB即： 、 相交于 、 两点 垂直平分12十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长： 中， ；12RtOC221ABOC（2）外公切线长： 是半径之差； 内公切线长： 是半径之和 。2十四、
8、圆内正多边形的计算O EDCB AD EC BPAOBAO1 O2CO2O1BADCB AO（1）正三角形 在 中 是正三角形，有关 计算在 中进 行： ；OABCRtBOD:1:32BO（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 中进行，tAE：:1:2OEA（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 中进行， .RtOAB:1:32OA十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式： ；180nRl（2）扇形面积公式： 2136Sl：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积nRS2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图=2S侧表 底 2rh（2）圆柱的体积： V（2）圆锥侧面展
9、开图（1） =S侧表 底 2Rr（2）圆锥的体积： 13VhECBA DOBAOS lBAO周周周周周周周周 C1D1DCBAB1RrC BAO圆的检测试题(基础卷)精心选一选（每小题 3 分，共 30 分）1下列三个命题：圆既是轴对称图形又是中心对称图形；垂直于弦的直径平分弦； 相等的圆心角所对的弧相等其中真命题的是（ ）A. B. C. D. 2O 的半径为 4，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，则直线 l 与O 的位置关系是（ ）A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定3 O 中，AOB84，则弦 AB 所对的圆周角的度数为（ ）A.42 B.138 C.69 D.42或 1384如
10、图 1，O 的直径 CD 垂直于弦 EF，垂足为 G，若EOD=40,则DCF 等于（ ）A.80 B. 50 C. 40 D. 205已知两圆的半径是方程 两实数根，圆心距为 8，那么这两个圆的位置01272x关系是（ ）A.内切 B.相交 C.外离 D.外切6已知圆上的一段弧长为 5cm，它所对的圆心角为 100,则该圆的半径为( )A.6 B.9 C.12 D.187两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为 9 和 5，如果P 与这两个圆都相切，则P 的半径为( )A.2 B.7 C.2 或 7 D.2 或 4.58如图 2， AB 与 O 切于点 B， AO6， AB4，则 O 的半径为（
11、 ） A、4 B、2 C、2 D、 5513139如图 3，已知0 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 35，过 C 点的切线 PC 与 AB 的延长线交于点 P，则么P 等于（ ）A15 0 B20 0 C25 0 D30 010如图 4，ABC 内接于O，C=45，AB= 4 ，则O 半径为（ ）A、 B、4 C、 D、5232图 1 图 2 图 3 图 4二、耐心填一填（每小题 4 分，共 24 分）11过O 内一点 M 的最长弦为 10cm，最短弦为 8cm，则 OM= cm.12RtABC 中，C90，AC=5,BC=12,则ABC 的内切圆半径为 13已知正 n 边形的一个外角与一
12、个内角之比为 13，则 n 等于 14某校九（3）班在圣诞节前，为圣诞晚会制作一个圆锥形圣诞老人的纸帽，已知圆锥的母线长为 30cm，底面直径为 20cm，则这个纸帽的表面积为 15如图 5，O 是ABC 内切圆，切点为 D、E、F，A=100，C=30，则DFE 度数是 16如图 6，O 中，直径为 MN ，正方形 ABCD 四个顶点分别在半径 OM、OP 以及O 上，并且POM = 45，若 AB 1，则该圆的半径为 图 5 图 6三、思维大比拼（17 题 6 分，22、24 题各 10 分，18、19、20、21、23 题各 8 分，共 66分） 17 如图 7，在ABC 中，ACB90
13、，B36，以 C 为圆心，CA 为半径的圆交 AB于点 D,交 BC 于点 E.求 、 的度数18已知：如图 8， ABC 中， AC BC，以 BC 为直径的 O 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE AC于点 E，交 BC 的延长线于点 F （8 分）求证：（1） AD BD； （2） DF 是 O 的切 线19如图，ABC 内接于0，且ABCC，点 D 在弧 BC 上运动过点 D 作DEBCDE 交直线 AB 于点 E，连结 BD (1)求证：ADB=E； (2)求证：AD 2=ACAE； (3)当点 D 运动到什么位置时，DBEADE 请你利用图进行探索和证明图 图 220如图 10
14、，P 是O 外的一点，PA、PB 分别与O 相切于点 A、B，C 是 上的任意一点，过点 C 的切线分别交 PA、PB 于点 D、E. FEDCBAOAD DEAB(1)若 PA=4,求PED 的周长；(2)若P=40,求DOE 的度数22如图，ABC 内接于0，且 ABCC，点 D 在弧 BC 上运动过点 D 作 DEBCDE 交直线 AB 于点 E，连结 BD (1)求证：ADB=E； (2)求证：AD 2=ACAE； (3)当点 D 运动到什么位置时，DBEADE 请你利用图进行探索和证明图 图24如图 12，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B = 90，AB =8，AD=24，BC=26，AB 为O 的直径。动点 P 从 A 点开始沿 AD 边向点 D 以 1 cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C开始沿 CB 边向点 B 以 3cm/s 的速度运动，P、Q 两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t s ,求：（1） t 分别为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形、等腰梯形？（2） t 分别为何值时，直线 PQ 与O 相交、相切、相离？
