1、同济高等数学公式大全1 / 25高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： CaxaxdshcxadCxctgxctgddxx)ln(lnsseesineco2222CaxadxaxadxCrctgtxxdctgCrcsinl21n1slsenilcos22Caxxadxa axaxdaxIndInnn rcsin22l)(221cossi2 22 22020axactgxxctgln1)(logs)(es)(2 221)(1)(arcosinxarctgxx同济高等数学公式大全2 / 25222 11cos1sin udxtguxux ， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：
2、三角函数公式：诱导公式：函数角 A sin cos tg ctg- -sin cos -tg -ctg90- cos sin ctg tg90+ cos -sin -ctg -tg180- sin -cos -tg -ctg180+ -sin -cos tg ctg270- -cos -sin ctg tg270+ -cos sin -ctg -tg360- -sin cos -tg -ctg360+ sin cos tg ctg和差角公式： 和差化积公式： 2sinicosco22sinsincoi2ctgtctg1)(1sincos)cos(ini xarthcxsechstxeshxxx
3、1ln2)(l:2:2）双 曲 正 切双 曲 余 弦双 曲 正 弦 .59047182.)1(limsin0exx同济高等数学公式大全3 / 25倍角公式：半角公式： cos1insico12cos1insico12 scsssin tgtg 正弦定理： 余弦定理： RCBbAaiiin Cab22反三角函数性质： rctgxarctgxxxarcos2rcsi 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()2()1()(0)()( !)1()! nknnnnnkk uvuknvuvuCv 中值定理与导数应用： 拉 格 朗 日 中 值 定 理 。时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是
4、当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：xFfabfab)(F)()( )曲率：23313cos4cosiniintgt22 2221sicosin1cossinitgtt同济高等数学公式大全4 / 25.1;0.)1(limMsM:.,13202aKayds MsKtgydxs 的 圆 ：半 径 为直 线 ：点 的 曲 率 ： 弧 长 。：化 量 ；点 ， 切 线 斜 率 的 倾 角 变点 到从平 均 曲 率 ： 其 中弧 微 分 公 式 ： 定积分的近似计算： ba nnnba nnba n yyyyxff yyxf )(4)(2)(3)( 21)()( 131240
5、11010 抛 物 线 法 ：梯 形 法 ：矩 形 法 ：定积分应用相关公式： babadtfxfykrmFApsW)(1),221均 方 根 ：函 数 的 平 均 值 ： 为 引 力 系 数引 力 ：水 压 力 ：功 ：空间解析几何和向量代数：同济高等数学公式大全5 / 25。代 表 平 行 六 面 体 的 体 积 为 锐 角 时 ，向 量 的 混 合 积 ： 例 ： 线 速 度 ：两 向 量 之 间 的 夹 角 ： 是 一 个 数 量 轴 的 夹 角 。与是向 量 在 轴 上 的 投 影 ：点 的 距 离 ：空 间 ,cos)( sin,cos,Pr)(Pr ,cos)()()(2 222
6、2121 21212121 bacbaccba rwvkjic babababjjj uABABzyxMdzyxzyxzyx zyxzyx zyxzyxuu （ 马 鞍 面 ）双 叶 双 曲 面 ：单 叶 双 曲 面 ：、 双 曲 面 ： 同 号 ）（、 抛 物 面 ：、 椭 球 面 ：二 次 曲 面 ： 参 数 方 程 ：其 中空 间 直 线 的 方 程 ： 面 的 距 离 ：平 面 外 任 意 一 点 到 该 平、 截 距 世 方 程 ：、 一 般 方 程 ： ， 其 中、 点 法 式 ：平 面 的 方 程 ： 13,2211 ;,1302 ),(,)()()(12222 0000 220
7、0 0000 czbyaxqpzyxcba ptznymxpnmstpznymxCBADzyxdczbyaxDCBA zyxMCBAnz同济高等数学公式大全6 / 25多元函数微分法及应用zyzx yxxyxyxFzyxF dFdddyvdvyudxvxzuxzfz tvtdttvu xffzdzududyxzd ， ， 隐 函 数 ， ， 隐 函 数隐 函 数 的 求 导 公 式 ： 时 ，当 ：多 元 复 合 函 数 的 求 导 法全 微 分 的 近 似 计 算 ： 全 微 分 ： 0),( )()(,),(),()(, ),(),(2),(1),(1,)(,)( ,)(0),(yuGFJ
8、yvvyGFJyuxxxx GFvuvJvuy vu 隐 函 数 方 程 组 ：微分法在几何上的应用：同济高等数学公式大全7 / 25),(),(),(3 0)(,(,2 )(),()(1,0),( ,0),( 0)()()( (,)( 000 0000 000 0000 zyxFzyxzyxF zyxFzyxzyxzyxnMzyxF GFGFTGzyxFztytxt tyxzytzytx zzyxzy 、 过 此 点 的 法 线 方 程 ： ：、 过 此 点 的 切 平 面 方 程、 过 此 点 的 法 向 量 ： ， 则 ：上 一 点曲 面 则 切 向 量若 空 间 曲 线 方 程 为 ：
9、处 的 法 平 面 方 程 ：在 点 处 的 切 线 方 程 ：在 点空 间 曲 线 方向导数与梯度： 上 的 投 影 。在是单 位 向 量 。 方 向 上 的， 为， 其 中：它 与 方 向 导 数 的 关 系 是 的 梯 度 ：在 一 点函 数 的 转 角 。轴 到 方 向为其 中 的 方 向 导 数 为 ：沿 任 一 方 向在 一 点函 数 lyxflf ljieyxflf jyfxyxpyxfzl yffllfz),(grad snco),(grad,),(),( sinco),(),( 多元函数的极值及其求法： 不 确 定时 值时 ， 无 极为 极 小 值为 极 大 值时 ，则 ：
10、， 令 ：设 ,0),( ),(,),(,),(0),(),(202 0000BACyxA CyxfByxfAfff xyx重积分及其应用：同济高等数学公式大全8 / 25 DzDyDx zyxDyDx DyxDD adfaFayxdfFayxdfF FMzo IyI dxydyxzAyxfzrdrfdf 232232232 2222 )(,)(,)(, )0( ),(,),(,),(1),()sin,co(),( ， ， ， 其 中 ：的 引 力 ：轴 上 质 点平 面 ） 对平 面 薄 片 （ 位 于 轴 对 于轴对 于平 面 薄 片 的 转 动 惯 量 ： 平 面 薄 片 的 重 心 ：
11、的 面 积曲 面柱面坐标和球面坐标： dvyxIdvzxIdvzyI MMyxM drrFddrrFdyzf vrxzrfzF dzrFdxyzfryx zyx )()()( 1,1,1 sin),(sin),(),( siicosin),si,(),( ,),(,(,sinco 222 20),022 2， ， 转 动 惯 量 ： ， 其 中 重 心 ： ， 球 面 坐 标 ：其 中 ： 柱 面 坐 标 ：曲线积分： )()()(),(),( ,)(, 22 tyxdtttfdsyxf tytxLfL 特 殊 情 况 ： 则 ： 的 参 数 方 程 为 ：上 连 续 ，在设 长 的 曲 线
12、积 分 ） ：第 一 类 曲 线 积 分 （ 对 弧同济高等数学公式大全9 / 25。， 通 常 设 的 全 微 分 ， 其 中 ：才 是 二 元 函 数时 ，在 ：二 元 函 数 的 全 微 分 求 积 注 意 方 向 相 反 ！减 去 对 此 奇 点 的 积 分 ， ， 应。 注 意 奇 点 ， 如， 且内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数在，、 是 一 个 单 连 通 区 域 ；、 无 关 的 条 件 ：平 面 上 曲 线 积 分 与 路 径 的 面 积 ：时 ， 得 到， 即 ：当 格 林 公 式 ：格 林 公 式 ： 的 方 向 角 。上 积 分 起 止 点 处 切 向 量 分 别
13、 为和， 其 中系 ：两 类 曲 线 积 分 之 间 的 关 ， 则 ：的 参 数 方 程 为设 标 的 曲 线 积 分 ） ：第 二 类 曲 线 积 分 （ 对 坐 0),(),(),( ),( )0,(),(),(21 212, )()( cos()(),),(),(),( 0),0 yxdyxQyPyxu uQyPxQGyxPG ydxdxyADPQQPdyxdyxL dQPttttPyxdyPLx DLDLL 曲面积分： dsRQPRdxyQzPdyxzdzxyQyzPdxzxRxyzR dxyzRzdxyyP dfszfzxyzy xyDDD )cosco(),(,),( ),(),
14、( ),(),( ),(1),( 22 系 ：两 类 曲 面 积 分 之 间 的 关 号 。， 取 曲 面 的 右 侧 时 取 正 号 ；， 取 曲 面 的 前 侧 时 取 正 号 ；， 取 曲 面 的 上 侧 时 取 正 ， 其 中 ：对 坐 标 的 曲 面 积 分 ：对 面 积 的 曲 面 积 分 ：高斯公式：同济高等数学公式大全10 / 25 dsAvsRQPdsAnzRyx dsRQPRdxyzPdyvzQPnn i )cocos( .,0iv,di )cosco()(成 ：因 此 ， 高 斯 公 式 又 可 写 ，通 量 ： 则 为 消 失的 流 体 质 量 ， 若即 ： 单 位 体
15、 积 内 所 产 生散 度 ： 通 量 与 散 度 ：高 斯 公 式 的 物 理 意 义 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： dstARzQdyPxARQPzyx yPxQRzPyzQPxdxyzdy RdzyPxRPzQyR 的 环 流 量 ：沿 有 向 闭 曲 线向 量 场旋 度 ： ， ， 关 的 条 件 ：空 间 曲 线 积 分 与 路 径 无上 式 左 端 又 可 写 成 ： kjirot coscos)()()( 常数项级数： 是 发 散 的调 和 级 数 ：等 差 数 列 ：等 比 数 列 ： nqqnn13212)(12 级数审敛法：同济高等数学公式大全11 / 25散 。
16、存 在 ， 则 收 敛 ； 否 则 发、 定 义 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ：、 比 值 审 敛 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ： 别 法 ） ：根 植 审 敛 法 （ 柯 西 判、 正 项 级 数 的 审 敛 法 nnnnsusUulim;31li21lim1211 。的 绝 对 值其 余 项， 那 么 级 数 收 敛 且 其 和如 果 交 错 级 数 满 足 莱 布 尼 兹 定 理 ：的 审 敛 法或交 错 级 数 1113243 ,0li )0,( nnn n urrusuu绝对收敛与
17、条件收敛： 时 收 敛 时 发 散 级 数 ： 收 敛 ； 级 数 ： 收 敛 ；发 散 ， 而调 和 级 数 ： 为 条 件 收 敛 级 数 。收 敛 ， 则 称发 散 ， 而如 果 收 敛 级 数 ；肯 定 收 敛 ， 且 称 为 绝 对收 敛 ， 则如 果 为 任 意 实 数 ；， 其 中1)1(1)()2()1(232pnpnun 幂级数： 01)3(lim)3(111 1121032 RaaRRxxaxaxx nnnn 时 ，时 ，时 ，的 系 数 ， 则是， 其 中求 收 敛 半 径 的 方 法 ： 设 称 为 收 敛 半 径 。， 其 中时 不 定时 发 散时 收 敛， 使在数
18、轴 上 都 收 敛 ， 则 必 存 收 敛 ， 也 不 是 在 全， 如 果 它 不 是 仅 在 原 点 对 于 级 数 时 ， 发 散时 ， 收 敛 于 函数展开成幂级数：同济高等数学公式大全12 / 25 nnn nnxfxffxfx RfR xfxfxfx !)0(!2)0()(0)(0 lim,()!1 )(!)(!)()10( 00)(2000时 即 为 麦 克 劳 林 公 式 ： 充 要 条 件 是 ：可 以 展 开 成 泰 勒 级 数 的余 项 ：函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 ：一些函数展开成幂级数： )()!12()!53sin )1(1(1)( 2 xnxxx nmmm
19、 欧拉公式： 2sincosicoixiiiix exe 或三角级数： 。上 的 积 分 在任 意 两 个 不 同 项 的 乘 积正 交 性 ： 。，其 中 ， 0 ,cos,in2cos,incs,i1 )in()i()( 100 xxxtAbaAxbattf nn傅立叶级数： 是 偶 函 数 ，余 弦 级 数 ： 是 奇 函 数 ，正 弦 级 数 ： （ 相 减 ）（ 相 加 ） 其 中 ， 周 期 nxaxfnxdfab bnxdfbaxbxfnn nnnn cos2)(2,10cos)(20 i3i41316246142853)3,(si)(210co1)si(2)( 0022220
20、周期为 的周期函数的傅立叶级数：l2同济高等数学公式大全13 / 25llnlnndxlfba llxblxxf )3,21(si)(1,0co2)si(2)(10 其 中 ， 周 期微分方程的相关概念：即 得 齐 次 方 程 通 解 。 ，代 替分 离 变 量 ， 积 分 后 将， 则设 的 函 数 ， 解 法 ：， 即 写 成程 可 以 写 成齐 次 方 程 ： 一 阶 微 分 方 称 为 隐 式 通 解 。 得 ： 的 形 式 ， 解 法 ：为： 一 阶 微 分 方 程 可 以 化可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 或 一 阶 微 分 方 程 ： uxyudxudxuxdyxu xy
21、yfyCxFGfg fgdyQPyf )()(,)()()( )()(0,),( 一阶线性微分方程： )1,0()(2 )0)(, )(1 )()( nyxQPdxy eCdxeQCyx dxPPdx，、 贝 努 力 方 程 ：时 ， 为 非 齐 次 方 程 ，当 为 齐 次 方 程 ，时当、 一 阶 线 性 微 分 方 程 ：全微分方程： 通 解 。应 该 是 该 全 微 分 方 程 的 ， 其 中 ： 分 方 程 ， 即 ：中 左 端 是 某 函 数 的 全 微如 果 Cyxu yxQuyxPydP),( ),(),(),(,0)(二阶微分方程： 时 为 非 齐 次时 为 齐 次， 0)(
22、)()(2 xfyxQdPx二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 212,)(2 ,(*)0)(1,0(*)r yrqpqyp式 的 两 个 根、 求 出 的 系 数 ；式 中的 系 数 及 常 数 项 恰 好 是， 其 中、 写 出 特 征 方 程 ：求 解 步 骤 ： 为 常 数 ；， 其 中 式 的 通 解 ：出的 不 同 情 况 ， 按 下 表 写、 根 据 (*),321r的 形 式，1r(*)式的通解两个不相等实根 )04(2qp xrxrecy21同济高等数学公式大全14 / 25两个相等实根 )04(2qp xrecy1)(21一对共轭复根 241pqpirir， ， )sin
23、o2x二阶常系数非齐次线性微分方程 型为 常 数 ；型 ， 为 常 数， sin)(cos)()(,xPxexffylm求极限的各种方法1约去零因子求极限例 1：求极限 1lim4x【说明】 表明 无限接近，但 ，所以 这一零因子可以约去。与 1xx【解】 =46)(li1)()(li 2121 xxx2分子分母同除求极限例 2：求极限 13lim2x【说明】 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】 3li13li12xxx【注】(1) 一般分子分母同除 的最高次方；同济高等数学公式大全15 / 25(2) nmbaxbanmmnnx 0li13分子(母) 有理化求极
24、限例 3：求极限 )13(li22xx【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 13)(lim)(lim222222 xxx013li22x例 4：求极限 30sintalixx【解】 xxxx sin1talimi1tnlim3030 4li2sintalista1li 30300 xxx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 4应用两个重要极限求极限两个重要极限是 和 ，第一个重要极1sinlm0x exnxxx 10)(lim)1(li)(li限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例 5：求极限xx1li【说明
25、】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑 ，最后凑指数部分。X1【解】 221lim12li1lim exxx xxx 同济高等数学公式大全16 / 25例 6：(1) ；(2)已知 ，求 。xx21lim82limxxaa5用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当 时, ,0x )1ln(arctrsintasinxxx e；bb121cos(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例 7：求极限 0ln()im1cosx【解】 .02llix例 8：求极限 x30tansil【解】 x30tilm 613lim3
26、1cosliil 2102030 xxxxxx6用罗必塔法则求极限例 9：求极限 220 )sin1l(coslnixx【说明】 或 型的极限,可通过罗必塔法则来求。【解】 220 )sin1l(coslnimxxxx2sin1cosilim203si2li 20 x【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解例 10：设函数 f(x)连续，且 ，求极限0)(f .)(lim0xdtf【解】 由于 ,于是000 )()()(xxxut ufdfdf同济高等数学公式大全17 / 25= =xxx dufttdtf 000 )(lim)(lim xx xfduft0)()(limxxfu
27、ft0)()(li= =)()(lim0xfduftxx.21)0(f7用对数恒等式求 极限 lig例 11：极限 xx20)1ln(i【解】 = =xx20)l(im)1ln(20lixxe.2)1ln(2im)1ln(2lim00 eeexxx 【注】对于 型未定式 的极限，也可用公式1)(gf=)(lixgf )(1lim(xfe因为 )1(ln)(li)(lnli)(li xfgxfgxgf )(1lim(xgfe例 12：求极限 .3012cosli1x【解 1】 原式2cosln30imxxe20cosln3ixx20lcoslix（ ） 01sincoimxx（ ）1nl 6【解
28、 2】 原式2cosln301imxxe20cosl3ixx同济高等数学公式大全18 / 2520cos1ln3imxx（ ） 20cos1lim36x8利用 Taylor 公式求极限 例 13 求极限 .) ( ,li20axax【解】 ,) (lnl122ln xeaax ;) (l2ln2xaxx ). (l2ax.axaxxx 22020 ln) (lnimli 例 14 求极限 01li(cot)x.【解】 00sincoslitlxxx3230()1()!limxx301()()2!lix.9数列极限转化成函数极限求解例 15：极限21sinlmn【说明】这是 形式的的数列极限，由
29、于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求解。同济高等数学公式大全19 / 25【解】考虑辅助极限 61sin101sin222 limli1sinlm eeex yyxxx所以， 612sinlen10n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.例 16：极限 222 11limnnn 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把 看成0,1定积分。)(xf101li dfnffnfn【解】原式 222111limnnn2l102d
30、x例 17：极限 nnn 222 11lim【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成 的形式，因nfffn2lim而用两边夹法则求解；(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】 nnn 222 11lim因为 1122222 n同济高等数学公式大全20 / 25又 nn2lim1li2所以 nn 2221li 12单调有界数列的极限问题例 18：设数列 满足nx110,si(,)nnxx（）证明 存在，并求该极限；lim（）计算 .21linxn【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. 【详解】 （）因为 ，则
31、 .10x210sinx可推得 ，则数列 有界.10sin,x 于是 ， （因当 ） ， 则有 ，可见数列 单调减nn0sinxx时 ， 1nxnx少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限 存在.limn设 ，在 两边令 ，得 ，解得 ，即 .limnxl1sinnx sil0llim0nx（） 因 ，由（）知该极限为 型，221sililnnxxn1(使用了罗必塔法则)61sin01sin00 32221 lmlisil eexxxxxx故 .22116ilimlnnn 同济高等数学公式大全21 / 25求不定积分的方法及技巧小汇总 1.利用基本公式。 （这就不多说了）2.第一类换元法。 （
32、凑微分）设 f()具有原函数 F() 。则 CxFdxfdxf )()( 其中 可微。)(用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例 1、例 2：例 1： dxx)1(lnl【解】 )1(ll x例 2：Cxxddxx 2)ln1(l2)lnln)(l)1(lnl2)l(【解】 xxln1Cxdln1)l()(223.第二类换元法：设 是单调、可导的函数，并且 具有原函数，则有换元公)(tx )(.0)( tft又 设式 dttfdxf)()(第二
33、类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有同济高等数学公式大全22 / 25以下几种： achtxtxtaxstt；： ；： ；： ssec)3( on2i)1(22 也 奏 效 。， 有 时 倒 代 换当 被 积 函 数 含 有： txcbxatdcxbmnn 1)6(542 4.分部积分法.公式： dd分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取 时，通常基于以下两点考虑：、（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧！例 3： dxx21arcos【解】观察被积函数，选取变换 ,则xtarcos td
34、dttx3323 )in(sicarc Cxxxtttt dtttt arcos1)2(3919cossin3cs)1i3(1nssin3)si1()( 23232例 4： xd2arcsin【解】 dxx222 1arcsinsii同济高等数学公式大全23 / 25Cxxx dxxdx2arcsin12arcsin1arcsiarcsi 2222上面的例 3，降低了多项式系数；例 4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在 中， 的选取有下面简单的规律：dd、选 取 的 函 数 不 能 改 变 。，会 出 现 循 环 ， 注 意， ， )3(sin,co)(
35、art,ln2c,i)()1( xePxePa mxm将以上规律化成一个图就是：但是，当 时，是无法求解的。xxarcsinln，对于（3）情况，有两个通用公式： CbxabedxbeIxaxaxx )sinco(cosii221（分部积分法用处多多在本册杂志的涉及 lnx 的不定积分中，常可以看到分部积分）5.几种特殊类型函数的积分。（1）有理函数的积分有理函数 先化为多项式和真分式 之和，再把 分解为若干个部分分式)(xQP)(*xQP)(*xQP之和。 （对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现 时，记得用递推公式：nnadI)(2）12122 )(3)(nnn IaxaI （lnx ar
36、csinx） Pm(x)（ax sinx)同济高等数学公式大全24 / 25例 5： dxx2346)1(【解】 2323462346 )1()()( x23)1(4x224242322 )1()1()1(4)ln( xdxdxdxC CxCd )1(1)1()(222 2故不定积分求得。（2）三角函数有理式的积分万能公式： 2tan1cost2ansi2xxx的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。化 为 有 理 函 数可 用 变 换 t)cos,(indxQP对于只含有 tanx（或 cotx）的分式，必化成 。再用待定系数 xsincoi或来做。 （注：没举例题并不代表不重要 ）xbaBxAsinco)si()is(（3）简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现 时，可令 ；同时出现x1和 tx2an时，可令 ；同时出现 时，可令 x=sint；同时出现x1和 tx2sinxarcsin2和同济高等数学公式大全25 / 25时，可令 x=cost 等等。xarcos12和
