1、 第 一 节 平 面 向 量 的 概 念 及 其 线 性 运 算 1.了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义知识点一 向量的有关概念 1向量：既有大小又有_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_2零向量：长度为_的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于_的向量4平行向量：方向相同或_的非零向量，又叫共线向量规定：0 与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向_的向量6相反向量：长度相等且方向_的向量答案1方向 模 2.
2、0 3.1 个单位4相反 5.相同 6.相反1给出下列结论： a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线；任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点；向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量；有相同起点的两个非零向量不平行其中正确结论的序号是 _.解析：结论中的向量 b 如果是零向量，则结论不成立；结论中两个向量的起点和终点在同一条直线上时，它们的起点和终点不是平行四边形的四个顶点；在结论中，如果向量 a 与 b 中至少有一个零向量，根据零向量与任意向量共线，则 a 与 b 共线，故结论是正确的；根据向量平行的概念知，两个向量有相同的起点，它们
3、也可能平行答案：知识点二 向量的线性运算 向量运算定义 法则(或几何意义) 运算律加法 求两个向量和的运算(1)交换律：a b_.(2)结合律：(a b) c_.减法求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算叫做 a与 b 的差a b a( b)数乘求实数 与向量 a 的积的运算(1)| a|_.(2)当 0 时， a 与a 的方向_；当 0 时， a 与 a 的方向_；当 0 时， a_. ( a)_；( )a_； (a b)_.答案b a a( b c) | |a| 相同 相反 0 a a a a b2判断正误(1) .( )AB BC CD AD (2)在 ABC 中， D 是 BC 的
4、中点，则 ( )( )AD 12AC AB 答案：(1) (2)3(必修P92 习题 2.2B 组第 5 题改编)在平行四边形 ABCD 中，若| | |，则四边形 ABCD 的形状为_AB AD AB AD 解析：如图，因为 ， ，所以| | |.AB AD AC AB AD DB AC DB 由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形 ABCD 是矩形答案：矩形知识点三 共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线的_条件是存在唯一一个实数 ，使得_答案充要 b a4下列结论：若 a， b 共线，则一定存在实数 ，使得 a b；若存在实数 ，使得 a b，则 a， b 共线；若对任意实数
5、恒有 a b，则 a b0；其中正确结论的序号是_解析：中若 a0， b0，则不存在实数 ，使得 a b，不正确；中，若b0，则 a0，两个零向量共线，若 b0，根据共线向量定理知 a， b 共线；中，只有当a b0 时，对任意 恒有 a b，正确答案：5已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 a b 与( b3 a)共线，则 _.解析：由于 a b l(b3 a)，所以Error!解得 .13答案：13热点一 平面向量的概念 【例 1】 给出下列命题：若| a| b|，则 a b；若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 是四边形 ABCD 为AB DC 平行四边形的充要条件；若
6、a b， b c，则 a c； a b 的充要条件是| a| b|且 a b.其中正确命题的序号是_【解析】 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确 ，| | |且 ，又 A， B， C， D 是不共线的四点，四边AB DC AB DC AB DC 形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则 且| | |，因此，AB DC AB DC .故“ ”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件AB DC AB DC 正确 a b， a， b 的长度相等且方向相同；又 b c， b， c 的长度相等且方向相同， a， c 的长度相等且方向相同，故 a c.
7、不正确，当 a b 且方向相反时，即使| a| b|，也不能得到 a b，故“| a| b|且a b”不是“ a b”的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.【答案】 【总结反思】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈(4)非零向量 a 与 的关系： 是 a 方向上的单位向量.a|a| a|a|设 a0为单位向量，下列命题中：若 a 为平面内的某个向量，则 a| a|a0；若 a与 a0平行，则 a| a|a0；若 a 与 a0平
8、行且| a|1，则 a a0.假命题的个数是( )A0 B1C2 D3解析：向量是既有大小又有方向的量， a 与| a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a| a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.答案：D热点二 平面向量的线性运算 考向 1 向量的线性运算【例 2】 (1)设 D， E， F 分别为 ABC 的三边 BC， CA， AB 的中点，则 等于( )EB FC A. B.BC 12AD C. D.AD 12BC (2)在 ABC 中， c， b，若点 D 满足 2 ，则 等于(
9、 )AB AC BD DC AD A. b c B. c b23 13 53 23C. b c D. b c23 13 13 23【解析】 (1) ( ) ( ) ( ) .EB FC 12AB CB 12AC BC 12AB AC AD (2) 2 ，BD DC 2 2( )，AD AB BD DC AC AD 3 2 ，AD AC AB b c.AD 23AC 13AB 23 13【答案】 (1)C (2)A考向 2 根据向量线性运算求参数【例 3】 在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 3 ，点 O 在线段 CD 上(与BC CD 点 C， D 不重合)，若 x (1 x
10、) ，则 x 的取值范围是( )AO AB AC A. B.(0，12) (0， 13)C. D.(12， 0) ( 13， 0)【解析】 设 y ，CO BC AO AC CO y y( )AC BC AC AC AB y (1 y) .AB AC 3 ，点 O 在线段 CD 上(与点 C， D 不重合)，BC CD y ， x (1 x) ，(0，13) AO AB AC x y， x .(13， 0)【答案】 D【总结反思】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则(2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三
11、角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.(2017惠州模拟)已知点 O， A， B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 OP ，则( )3OA OB 2A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 AB 的反向延长线上C点 P 在线段 AB 的延长线上D点 P 不在直线 AB 上解析： ( ) ，即 ，所以OP 3OA OB 2 32OA 12OB OA 12OA OB OA 12BA OP OA AP 12BA 点 P 在线段 AB 的反向延长线上答案：B热点三 向量共线及应用 【例 4】
12、设两个非零向量 a 和 b 不共线(1)若 a b， 2 a8 b， 3( a b)，求证： A、 B、 D 三点共线AB BC CD (2)试确定实数 k，使 ka b 和 a kb 共线【解】 (1)证明：因为 a b， 2 a8 b， 3( a b)，所以AB BC CD 2 a8 b3( a b)5( a b)5 ，BD BC CD AB 所以 ， 共线，又 与 有公共点 B，所以 A、 B、 D 三点共线AB BD AB BD (2)因为 ka b 与 a kb 共线，所以存在实数 ，使 ka b (a kb)即Error!解得 k1.即 k1 时， ka b 与 a kb 共线1若
13、将本例(1)中“ 2 a8 b”改为“ a mb”，则 m 为何值时， A、 B、 D 三点共BC BC 线？解： ( a mb)3( a b)4 a( m3) b，即 4 a( m3) b.BC CD BD 若 A、 B、 D 三点共线，则存在实数 ，使 .BD AB 即 4a( m3) b (a b)Error!解得 m7.故当 m7 时， A、 B、 D 三点共线2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线” ，则 k 为何值？解：因为 ka b 与 a kb 反向共线，所以存在实数 ，使 ka b (a kb)( 0)所以Error!所以 k1.又 0， k ，所以 k1.故当 k1 时
14、两向量反向共线.【总结反思】(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量 a， b 共线是指存在不全为零的实数 1， 2，使 1a 2b0 成立；若 1a 2b0，当且仅当 1 20 时成立，则向量 a， b 不共线.(1)设 ， 不共线，求证：点 P， A， B 共线的充要条件是： 且OA OB OP OA OB 1， ， R.(2)运用(1)的结论解决下面问题：在 ABC 中， 2 ， ，则AD DB CD 13CA CB _.解：(1)充分性： 1， OP OA OB (1 ) OA OB ( )
15、OA OB OA .OA AB .OP OA AB ，AP AB ， 共线AP AB 有公共点 A， A， P， B 三点共线必要性：若 P， A， B 三点共线，则 ( )AP AB OB OA .OP OA OB OA (1 ) .OP OA OB 令 1 ，则 ，其中 1.OP OA OB (2)由 2 ，知 A， B， D 三点共线AD DB 1，从而 .13 231正确区别向量与数量确定向量需要同时确定其“大小”和“方向” ，向量可以用有向线段表示数量的一些运算性质规律对于向量并不一定成立2注意 0 与数 0 的区别，00，零向量是有方向的，它的方向是任意的.0 a a，0 a0， 00， a a0，注意数量积 0a0，不能写成 0a0.3正确区别向量的加减法及其几何意义在 中， 的终点与 的起点相同；AB BC AC AB BC 在 中， 与 共始点；首尾相连的封闭向量链，各向量之和为零向量，如AB AC CB AB AC 0.AB BC CD DA 4证明三点 A， B， C 共线，借助向量，只需证明由这三点 A， B， C 所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数 ，使 a b(b0)即可
