1、- 1 -第 八 节 函 数 与 方 程 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解知识点一 函数的零点 1定义对于函数 y f(x)(x D)，把使_成立的实数 x 叫做函数 y f(x)(x D)的零点2函数的零点与相应方程的根、函数的图象与 x 轴交点间的关系方程 f(x)0 有实数根函数 y f(x)的图象与_有交点 函数 y f(x)有_3函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数 y f(x)在区间_内有零点
2、，即存在 c( a， b)，使得_，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根答案1 f(x)0 2. x 轴 零点3 f(a)f(b)0，所以 f(2)f(e)0，所以函数的零点所在的大致区间是(1,2)，故选 B.(2)函数 f(x)2 x x3 的零点即函数 y2 x与 y x3 的交点的横坐标如图，因为f(3) f(2) ( 1)0 时， f( x)2 0 恒成立，所以 f(x)在(0，)上是增函数又因1x为 f(2)2ln20，所以 f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数 f(x)的零点个数为 2.(2)由 f(x)0 得 cosxlog 8x，设 ycos x， ylog 8x，作
3、出函数 ycos x， ylog 8x- 6 -的图象，由图象可知，函数 f(x)的零点个数为 3.【答案】 (1)2 (2)3【总结反思】判断函数 y f(x)零点个数的常用方法(1)直接法令 f(x)0，则方程实根的个数就是函数零点的个数(2)零点存在的判定方法判断函数在区间 a， b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0 时， f(x)e x x3，则 f(x)的零点个数为( )A1 B2C3 D4解析：因为函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，所以 f(0)0，所以 0 是函数 f(x)的一个零点当 x0 时，令 f(x)e x x30.则 ex x3.分别画出函数 ye x和
4、y x3 的图象，如图所示，有一个交点，所以函数 f(x)在(0，)上有一个零点- 7 -又根据对称性知，当 x0，且 a1)在 R 上单调递减，且关于 x 的方程| f(x)|2 x 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是( )A.(0，23B.23， 34C. 13， 23 34D. 13， 23) 34【解析】 要使函数 f(x)在 R 上单调递减，只需Error!解之得 a ，因为方程| f(x)13 34|2 x 恰有两个不相等的实数解，所以直线 y2 x 与函数 y| f(x)|的图象有两个交点如图所示易知 y| f(x)|的图象与 x 轴的交点的横坐标为 1，又 12，故由
5、图可知，直1a 13 1a线 y2 x 与 y| f(x)|的图象在 x0 时有一个交点；当直线 y2 x 与 y x2(4 a3)x3 a(x x1，得 x0，此时 f(x)( x1) 2(2 x1)( x1) x2 x，所以 f(x)Error!作出函数 f(x)的图象如图所示，要使方程 f(x) a 恰有三个互不相等的实数根 x1， x2， x3，不妨设 x1x2x3，则 x10,0x2 x31，且 x2， x3关于 x 对称，所以 x2 x31，当2 x12 12时，解得 x ， x10， x1 x2 x31.14 18 18 78答案： (78， 1)- 10 -1函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象2函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程 f(x)0.3研究方程 f(x) g(x)的解，实质就是研究 G(x) f(x) g(x)的零点4转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题
