1、- 1 -分式培优讲义【知识精读】分 式 定 义 ： （ 、 为 整 式 ， 中 含 有 字 母 ）性 质 通 分 ：约 分 ：分 式 方 程 定 义 ： 分 母 含 有 未 知 数 的 方 程 。 如解 法 思 想 ： 把 分 式 方 程 转 化 为 整 式 方 程方 法 ： 两 边 同 乘 以 最 简 公 分 母依 据 ： 等 式 的 基 本 性 质注 意 ： 必 须 验 根应 用 ： 列 分 式 方 程 解 应 用 题 及 在 其 它 学 科 中 的 应 用ABMABxB ()0513【分类解析】1. 分式有意义的应用例 1. 若 ，试判断 是否有意义。ab101ab，分析：要判断 是否
2、有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因b，式分解，即可判断 与零的关系。，解： ab10()即或b10a中至少有一个无意义。，2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。例 2. 计算： aa22131- 2 -分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算。解：原式 aa()()131aa13213()()例 3. 解方程： 765622xx分析：因为 ， ，所以最简公1()xx223()分母为： ，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于()xx123故可得如下解法。x2225656156解： x22原方程变为 1
3、7615622xx5022x经检验， 是原方程的根。x3. 在代数求值中的应用例 4. 已知 与 互为相反数，求代数式a269|b1的值。()42222bab分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出 a、b 的值，又因为- 3 -， ，利用非负数及相反数的性质可求出 a、b 的值。aa226930()|b1解：由已知得 ，解得， ab31，原式 ()()()422abab()()baaba222221把 代入得：原式ab3， 124. 用方程解决实际问题例 5. 一列火车从车站开出，预计行程 450 千米，当它开出 3 小时后，因特殊任务多停一站，耽误 30 分钟，后来把速度提高了 0.2
4、倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。解：设这列火车的速度为 x 千米/时根据题意，得 450312.方程两边都乘以 12x，得 4503x解得 x7经检验， 是原方程的根答：这列火车原来的速度为 75 千米/时。5. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。例 6. 已知 ，试用含 x 的代数式表示 y，并证明 。xy23()3213xy解：由 ，得y2332332xxy()- 4 -()()323269421321xyyy6、中考原题：例 1已知 ，则 M_。Mxyxy22分析：通过分式加减运算等式左边和右
5、边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出 M。解： 2xyy2222xyxMxy例 2已知 ，那么代数式 的值是_。x230()x132分析：先化简所求分式，发现把 看成整体代入即可求的结果。2解：原式 ()()xxx132 2x22303原 式 x7、题型展示：例 1. 当 x 取何值时，式子 有意义？当 x 取什么数时，该式子值为零？|x23解：由 2310()得 或1所以，当 和 时，原分式有意义x2由分子 得|20当 时，分母x230- 5 -当 时，分母 ，原分式无意义。x2x230所以当 时，式子 的值为零|例 2. 求 的值，其中 。xmnxmn22() xmn231分析：先化
6、简，再求值。解：原式 ()()xx()mxn2xnn312416， ， ，原 式 ()()m223n224169()【实战模拟】1. 当 x 取何值时，分式 有意义？21x2. 有一根烧红的铁钉，质量是 m，温度是 ，它放出热量 Q 后，温度降为多少？（铁t0的比热为 c）- 6 -3. 计算： xyxy24224. 解方程： xx214365875. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过 3 天。现在甲、乙两人合作 2 天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定日期是多少天？6. 已知 ，求 的值。4360270xyzxyzxy， ， xyz2
7、- 7 -【试题答案】1. 解：由题意得x01解得 且x当 且 时，原式有意义02. 解：设温度降为 t，由已知得：QmcttQmct()00答：温度降为 。()tc03. 分析：此题的解法要比将和后两个分式直接通分计算简便，它采用了逐步通分的方法。因此灵活运用法则会给解题带来方便。同时注意结果要化为最简分式。解：原式 ()()xyyxy242xyxyxy2232224()()4. 解：原方程化为 113517xx357x方程两边通分，得 213257()()xx()x57化简得 83解得 4经检验： 是原方程的根。说明：解分式方程时，在掌握一般方法的基础上，要注意根据题目的特点，选用简便的方法，减少繁琐计算。- 8 -5. 分析：设规定日期是 x 天，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，工作总量1x13x为 1解：设规定日期为 x 天根据题意，得 21321()解得 x6经检验 是原方程的根答：规定日期是 6 天。6. 解： 43012702yzxyz()()，由(1)(2)解得x2yzxz343
