1、 第二章：实数知识梳理1.平方根如果一个数 x 的平方等于 a，那么，这个数 x 就叫做 a 的平方根；即:当时，我们称 x 是 a 的平方根，记做： 。因此：)0(2ax )0(（1）当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是 0 本身；（2）当 a0 时，也就是 a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做： 。x（3）当 a0 时，也即 a 为负数时，它不存在平方根。例 1.（1） 的平方是 64，所以 64 的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。（3）若 的平方根是2，则 x= ； 的平方根是 x16（4）当 x 时， 有意义。x23（5）一个正数的平方根分别是 m 和
2、 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？2.算术平方根（1）如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么，这个正数 x 就叫做 ax2的算术平方根，记为：“ ”，读作， “根号 a”，其中， a 称为被开方数。特别规定：0 的算术平方根仍然为 0。（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即： 。)0(（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： 。a a例 1.（1）下列说法正确的是 （ ）A.1 的算数平方根是 B. ；C. 的平方根是
3、D.0 没有平方根 124813（2）下列各式正确的是（ ）A. B. C. D.981.3.39725（3） 的算术平方根是 。2)(（4）若 有意义，则 _。x1x（5）已知ABC 的三边分别是 且 满足 ，求 c 的,cba0)4(32ba取值范围。（6） （提高题）如果 x、y 分别是 4 的整数部分和小数部分。求 x y 的3值.3.立方根（1）如果 x 的立方等于 a，那么，就称 x 是 a 的立方根，或者三次方根。记做： ，读作，3 次根号 a。注意：这里的 3 表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。（2）平方根与立方根
4、：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例 3.（1）64 的立方根是 （2）若 ，则 b 等于（ ） 9.28,.33abA. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列说法中： 都是 27 的立方根， ， 的立方根是y3642， 。4832其中正确的有 （ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个（4）已知：A= 是 的算术平方根，B= 是yxyx32yx的立方根。求 AB 的平方根。x24.无理数（1）无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表
5、现形式主要包含下列几种：特殊意义的数，如：圆周率 以及含有 的一些数，如：2- ，3等；开方开不尽的数，如: 等；39,52特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01（两个 1 之间依次多1 个 0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：9（2）有理数与无理数的区别：有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 1 的分数） ，而无理数则不能写成分数形式。例 4.（1）下列各数：3.141、0.33333、 、75、 、0.3030003000003（相邻两个 3
6、之间 0 的个数逐25.3次增加 2） 、其中是有理数的有；是无理数的有。 （填序号）（2）有五个数:0.125125,0.1010010001,- , , 其中无理数有 432( )个A 2 B 3 C 4 D 5 4.实数（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是 0，最大的负整数是-1。（2）实数的性质：实数 a 的相反数是-a；实数 a 的倒数是 （a0） ；实数 a1的绝对值|a|= ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。)0(（3）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于 0，0 大于负
7、数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。 （在数轴上，右边的数总是大于左边的数） 。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。（4）实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例 5.（1）下列说法正确的是（ ） ；A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；C、1 和 2 之间的无理数只有 ； D、不带根号的数都是有理数。2（2）a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )A、 B、 C、 D、baabbaab（3）比较大小(填“”或“
8、0，则 ab=1；（ ）2把下列各数分别填入相应的集合里|3|，213，1234， ,0， , , , , 227 9 3 18 2 8( )0，3 2 ，ctg45,1.2121121112 中2 3无理数集合 负分数集合 整数集合 非负数集合 *3已知 10，且 y|x|，用“连结 x，x，|y|，y。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？12把下列语句译成式子：（1）a 是负数 ；（2）a、b 两数异号 ；（3）a、b 互为相反数 ；（4）a、b 互为倒数 ；(5)x 与 y 的平方
9、和是非负数 ；（6）c、d 两数中至少有一个为零 ；（7）a、b 两数均不为 0 。*13.数轴上作出表示 ， ， 的点。2 3 5四独立训练：10 的相反数是 ，3 的相反数是 ， 的相反数是 3 8； 的绝对值是 ，0 的绝对值是 ， 的倒数2 3是 2数轴上表示32 的点它离开原点的距离是 。A 表示的数是 ，且 AB ，则点 B 表示的数是 。12 13 ,(1 )0, ,01313, 3 1 ,1101001000 33 2227(两 1 之间依次多一个 0),中无理数有 ，整数有 ，负数有 。4. 若 a 的相反数是 27，则a| ；5若|a| ，则 a= 25若实数 x，y 满足
10、等式（x3） 24y0，则 xy 的值是 6实数可分为（ ）（A）正数和零（B）有理数和无理数（C）负数和零 （D）正数和负数*7若 2a 与 1a 互为相反数，则 a 等于（ ）（A）1 （B）1 （C） （D）12 138当 a 为实数时， =a 在数轴上对应的点在（ ）a2(A)原点右侧（B）原点左侧（C）原点或原点的右侧（D）原点或原点左侧*9代数式 的所有可能的值有（ ） （A）2 个 （B）3 个 （C）4 个 （D）无数个10已知实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图（1）比较 ab 与 a+b 的大小 （2）化简|ba|+|a+b|11实数、在数轴上的对应点如图所示，其中试化简：2*12已知等腰三角形一边长为，一边长，且（2） 29 20 。求它的周长。13若 3，5 为三角形三边，化简： （ 2 ） 2（ 8） 2
