1、第 1 章 特殊平行四边形一、选择题1下列给出的条件中，不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ）AABCD，AD=BC BA=C，B=D CABCD，ADBC DAB=CD，AD=BC2下列说法中，错误的是（ ）A平行四边形的对角线互相平分 B对角线互相平分的四边形是平行四边形C菱形的对角线互相垂直 D对角线互相垂直的四边形是菱形3如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在 D、C的位置，若EFB=65，则AED等于（ ）A50 B55 C60 D654如图，ABCD 中，EF 过对角线的交点 O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形 BCEF 的周长为（ ）A
2、8.3 B9.6 C12.6 D13.65如图，已知某广场菱形花坛 ABCD 的周长是 24 米，BAD=60，则花坛对角线 AC 的长等于（ ）A6 米 B6 米 C3 米 D3 米6已知一矩形的两边长分别为 10cm 和 15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）A6 cm 和 9 cm B5 cm 和 10 cm C4 cm 和 11 cm D7 cm 和 8 cm7如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）AAB=CD BAD=BC CAB=BC DAC=BD8如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD=6，BD=4，C
3、D=3，E、F、G、H 分别 是9AB、AC、CD、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ ）A7 B9 C10 D119如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45 度后得到正方形ABCD，边 BC与 DC 交于点 O，则四边形 ABOD 的周长是（ ）A2 B3 C D1+10如图，正方形 ABCD 的面积为 4，ABE 是等边三角 形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）A2 B3 C D二、填空题11（5 分）已知菱形的两条对角线长分别为 2cm，3cm，则它的面积是cm 212（5 分）如图
4、，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O 且 AC=8，如果AOD=60，那么 AD= 13（5 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为 AD边中点，菱形 ABCD 的周长为 28，则 OH 的长等于 14（5 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二个正方形，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，如此下去，第 n个正方形的边长为 三、解答题（15 题 12 分，16 题 12 分，17 题 16 分）15如图，已知平行四边形 ABCD，DE 是ADC 的角平分线，交 BC 于点 E（1）求证：CD=CE；（2）若
5、 BE=CE，B=80，求DAE 的度数16如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在平面上的 F点处，DF 交 BC 于点 E（1）求证：DCEBFE；（2）若 CD=2，ADB=30，求 BE 的长17已知，如图 1，BD 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线，BE 平分DBC 交 DC 于点 E，延长 BC 到点 F，使 CF=CE，连接 DF，交 BE 的延长线于点 G（1）求证：BCEDCF； （2）求 CF 的长；（3）如图 2，在 AB 上取一点 H，且 BH=CF，若以 BC 为 x 轴，AB 为 y 轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点 P
6、，使得以 B、H、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的 P 点坐标；若不存在，说明理由24如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，点 E 是 BC 的中点，连接 AC，DE，AC=AB，DEAB求证：四边形 AECD 是矩形25已知：如图，在ABC 中，AB=AC，ADBC，垂足为点 D，AN 是ABC 外角CAM 的平分线，CEAN，垂足为点 E，（1）求证：四边形 ADCE 为矩形；（2）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明26如图，在ABCD 中，DEAB，BFCD，垂足分别为 E，F（1）求证：ADECBF；（2）求证：四边形 B
7、FDE 为矩形27如图，在正方形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，且不与 A、D 重合，BP 的垂直平分线分别交 CD、AB 于E、F 两点，垂足为 Q，过 E 作 EHAB 于 H（1）求证：HF=AP；（2）若正方形 ABCD 的边长为 12，AP=4，求线段 EQ 的长28如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ADC=90，B=30，CEAB，垂足为点 E若 AD=1，AB=2，求 CE 的长29如图，ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MNBC设 MN 交ACB 的平分线于点E，交ACB 的外角平分线于点 F（1）求证：OE=OF；（2）若 CE=12，CF
8、=5，求 OC 的长；（3）当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？并说明理由30如图，ABC 中，AB=AC，AD 是BAC 的角平分线，点 O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长到点 E，使 OE=OD，连接 AE，BE（1）求证：四边形 AEBD 是矩形；（2）当ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由第 1 章 特殊平行四边形参考答案与试题解析一、选择题1下列给出的条件中，不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ）AABCD，AD=BC BA=C，B=D CABCD，ADBC DAB=CD，AD=BC【考点】平行四边形的判定【分析
9、】直接根据平行四边形的判定定理判断即可【解答】解：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形C 能判断，平行四边形判定定理 1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；B 能判断；平行四边形判定定理 2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；D 能判定；平行四边形判定定理 3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形判定定理 4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；故选 A【点评】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的 5 个判断方法2下列说法中，错误的是（ ）A平行四边形的对角线互相平分B对角线互相平分的四边形是平行四边形C菱形的对角线互相垂直D
10、对角线互相垂直的四边形是菱形【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到 ABC 均正确，而 D 不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，故选：D【点评】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分3如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在 D、C的位置，若EFB=6
11、5，则AED等于（ ）A50 B55 C60 D65【考点】翻折变换（折叠问题）【专题】数形结合【分析】首先根据 ADBC，求出FED 的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知FED=FED，最后求得AED的大小【解答】解：ADBC，EFB=FED=65，由折叠的性质知，FED=FED=65，AED=1802FED=50故AED等于 50故选：A【点评】本题考查了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念求解4如图，ABCD 中，EF 过对角线的交点 O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形 BCEF 的周长为（ ）
12、A8.3 B9.6 C12.6 D13.6【考点】平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的中心对称性，可知 EF 把平行四边形分成两个相等的部分，先求平行四边形的周长，再求 EF 的长，即可求出四边形 BCEF 的周长【解答】解：根据平行四边形的中心对称性得：OF=OE=1.3，ABCD 的周长=（4+3）2=14四边形 BCEF 的周长= ABCD 的周长+2.6=9.6【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分平行四边形是中心对称图形5如图，已知
13、某广场菱形花坛 ABCD 的周长是 24 米，BAD=60，则花坛对角线 AC 的长等于（ ）A6 米 B6 米 C3 米 D3 米【考点】菱形的性质【专题】应用题【分析】由四边形 ABCD 为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据BAD=60得到三角形 ABD 为等边三角形，在直角三角形 ABO 中，利用勾股定理求出 OA 的长，即可确定出 AC 的长【解答】解：四边形 ABCD 为菱形，ACBD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=244=6（米），BAD=60，ABD 为等边三角形，BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），在 RtAOB 中，根据勾股定理得：OA
14、= =3 （米），则 AC=2OA=6 米，故选 A【点评】此题考查了勾股定理，菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键6已知一矩形的两边长分别为 10cm 和 15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）A6 cm 和 9 cm B5 cm 和 10 cm C4 cm 和 11 cm D7 cm 和 8 cm【考点】矩形的性质【分析】根据已知条件以及矩形性质证ABE 为等腰三角形得到 AB=AE，注意“长和宽分别为 15cm和 10cm”说明有 2 种情况，需要分类讨论【解答】解：如图，矩形 ABCD 中，BE 是角平分线ABE=EBCA
15、DBCAEB=EBCAEB=ABEAB=AE当 AB=15cm 时：则 AE=15cm，不满足题意当 AB=10cm 时：AE=10cm，则 DE=5cm故选 B【点评】此题考查了矩形的性质与等腰三角形的判定与性质注意出现角平分线，出现平行线时，一般出现等腰三角形，需注意等腰三角形相等边的不同7如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）AAB=CD BAD=BC CAB=BC DAC=BD【考点】矩形的判定【分析】由四边形 ABCD 的对角线互相平分，可得四边形 ABCD 是平行四边形，再添加 AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形
16、ABCD 是矩形【解答】解：可添加 AC=BD，四边形 ABCD 的对角线互相平分，四边形 ABCD 是平行四边形，AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，四边形 ABCD 是矩形，故选：D【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形8如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ ）A7 B9 C10 D11【考点】三角形中位线定理；勾股定理【专题】计算题【
17、分析】根据勾股定理求出 BC 的长，根据三角形的中位线定理得到 HG= BC=EF，EH=FG= AD，求出 EF、HG、EH、FG 的长，代入即可求出四边形 EFGH 的周长【解答】解：BDDC，BD=4，CD=3，由勾股定理得：BC= =5，E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，HG= BC=EF，EH=FG= AD，AD=6，EF=HG=2.5，EH=GF=3，四边形 EFGH 的周长是 EF+FG+HG+EH=2（2.5+3）=11故选 D【点评】本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据三角形的中位线定理求出 EF、HG、EH、FG 的长
18、是解此题的关键9如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45 度后得到正方形 ABCD，边 BC与DC 交于点 O，则四边形 ABOD 的周长是（ ）A2 B3 C D1+【考点】旋转的性质【专题】压轴题【分析】当 AB 绕点 A 逆时针旋转 45 度后，刚回落在正方形对角线 AC 上，可求三角形与边长的差BC，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求 BO，OD，从而可求四边形 ABOD 的周长【解答】解：连接 BC，旋转角BAB=45，BAC=45，B在对角线 AC 上，AB=AB=1，用勾股定理得 AC= ，BC= 1，在等腰 RtOBC 中，OB=BC= 1，在直角
19、三角形 OBC 中，由勾股定理得 OC= （ 1）=2 ，OD=1OC= 1四边形 ABOD 的周长是：2AD+OB+OD=2+ 1+ 1=2 故选 A【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形边长的求法连接 BC 构造等腰RtOBC 是解题的关键10如图，正方形 ABCD 的面积为 4，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A2 B3 C D【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质【专题】几何图形问题【分析】由于点 B 与 D 关于 AC 对称，所以连接 BE，与 AC 的交点即为 P
20、点此时 PD+PE=BE 最小，而 BE 是等边ABE 的边，BE=AB，由正方形 ABCD 的面积为 4，可求出 AB 的长，从而得出结果【解答】解：连接 BD，与 AC 交于点 F点 B 与 D 关于 AC 对称，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE 最小正方形 ABCD 的面积为 4，AB=2又ABE 是等边三角形，BE=AB=2所求最小值为 2故选：A【点评】此题主要考查轴对称最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题二、填空题11已知菱形的两条对角线长分别为 2cm，3cm，则它的面积是 3 cm 2【考点】菱形的性质【分析】由知菱形的两条对角线长分别为 2cm，3cm，根据菱形
21、的面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案【解答】解：菱形的两条对角线长分别为 2cm，3cm，它的面积是： 23=3（cm 2）故答案为：3【点评】此题考查了菱形的性质注意菱形的面积等于对角线乘积的一半12如图，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O 且 AC=8，如果AOD=60，那么 AD= 4 【考点】矩形的性质【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得 OA=OD= AC，然后判断出AOD 是等边三角形，根据等边三角形的三边都相等解答即可【解答】解：在矩形 ABCD 中，OA=OD= AC= 8=4，AOD=60，AOD 是等边三角形，AD=OA=4故答案为：4【点评】本题考查
22、了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的判定与性质，比较简单，熟记性质是解题的关键13如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 28，则 OH 的长等于 3.5 【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理【分析】由菱形的四边相等求出边长，再根据对角线互相垂直得出AOD=90，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=CD=DA，ACBD，AOD=90，AB+BC+CD+DA=28，AD=7，H 为 AD 边中点，OH= AD=3.5；故答案为：3.
23、5【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键14如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二个正方形，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，如此下去，第 n 个正方形的边长为 （ ） n1 【考点】正方形的性质【专题】压轴题；规律型【分析】首先求出 AC、AE、HE 的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，AB=BC=1，B=90，AC 2=12+12，AC= ；同理可求：AE=（ ） 2，HE=（ ） 3，第 n 个正方形的边长 an=（ ） n1 故答案为（ ）
24、 n1 【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用三、解答题（15 题 12 分，16 题 12 分，17 题 16 分）15（2010株洲）如图，已知平行四边形 ABCD，DE 是ADC 的角平分线，交 BC 于点 E（1）求证：CD=CE；（2）若 BE=CE，B=80，求DAE 的度数【考点】平行四边形的性质【专题】计算题；证明题【分析】（1）根据 DE 是ADC 的角平分线得到1=2，再根据平行四边形的性质得到1=3，所以2=3，根据等角对等边即可得证；（2）先根据 BE=CE 结合 CD=CE 得到ABE 是等腰三角形，求出BAE
25、的度数，再根据平行四边形邻角互补得到BAD=100，所以DAE 可求【解答】（1）证明：如图，在平行四边形 ABCD 中，ADBC1=3又1=2，2=3，CD=CE；（2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，ADBC，又CD=CE，BE=CE，AB=BE，BAE=BEAB=80，BAE=50，DAE=1805080=50【点评】（1）由角平分线得到相等的角，再利用平行四边形的性质和等角对等边的性质求解；（2）根据“BE=CE”得出 AB=BE 是解决问题的关键16（2015乐山）如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在平面上的 F 点处，DF 交BC 于点
26、E（1）求证：DCEBFE；（2）若 CD=2，ADB=30，求 BE 的长【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质【分析】（1）由 ADBC，知ADB=DBC，根据折叠的性质ADB=BDF，所以DBC=BDF，得BE=DE，即可用 AAS 证DCEBFE；（2）在 RtBCD 中，CD=2，ADB=DBC=30，知 BC=2 ，在 RtBCD 中，CD=2，EDC=30，知 CE= ，所以 BE=BCEC= 【解答】解：（1）ADBC，ADB=DBC，根据折叠的性质ADB=BDF，F=A=C=90，DBC=BDF，BE=DE，在DCE 和BFE 中，DCEBFE；（2）在 RtB
27、CD 中，CD=2，ADB=DBC=30，BC=2 ，在 RtECD 中，CD=2，EDC=30，DE=2EC，（2EC） 2EC 2=CD2，CE= ，BE=BCEC= 【点评】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等角对等边、平行线的性质以及勾股定理的综合运用，熟练的运用折叠的性质是解决本题的关键17（2016 春 历下区期末）已知，如图 1，BD 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线，BE 平分DBC交 DC 于点 E，延长 BC 到点 F，使 CF=CE，连接 DF，交 BE 的延长线于点 G（1）求证：BCEDCF； （2）求 CF 的长；（3）如图 2，在 AB 上取
28、一点 H，且 BH=CF，若以 BC 为 x 轴，AB 为 y 轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点 P，使得以 B、H、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的 P 点坐标；若不存在，说明理由【考点】四边形综合题【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理 SAS 即可证得BCEDCF；（2）通过DBGFBG 的对应边相等知 BD=BF= ；然后由 CF=BFBC=即可求得；（3）分三种情况分别讨论即可求得【解答】（1）证明：如图 1，在BCE 和DCF 中，BCEDCF（SAS）；（2）证明：如图 1，BE 平分DBC，OD 是正方形 ABCD 的对
29、角线，EBC= DBC=22.5，由（1）知BCEDCF，EBC=FDC=22.5（全等三角形的对应角相等）；BGD=90（三角形内角和定理），BGF=90；在DBG 和FBG 中，DBGFBG（ASA），BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），BD= = ，BF= ，CF=BFBC= 1；（3）解：如图 2，CF= 1，BH=CFBH= 1，当 BH=BP 时，则 BP= 1，PBC=45，设 P（x，x），2x 2=（ 1） 2，解得 x=1 或1+ ，P（1 ，1 ）或（1+ ，1+ ）；当 BH=HP 时，则 HP=PB= 1，ABD=45，PBH 是等腰直角三角形，P（ 1， 1）；当 PH=PB 时，ABD=45，PBH 是等腰直角三角形，P（ ， ），综上，在直线 BD 上是否存在点 P，使得以 B、H、P 为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P 点坐标为（1 ，1 ）、（1+ ，1+ ）、（ 1， 1）、（ ，）【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键
