1、第 1 页2018 年全国统一高考数学试卷（文科） （新课标） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。1已知集合 A=x|x10，B= 0，1，2，则 AB=（ ）A0 B1 C1，2 D0 ， 1，22 （ 1+i） （2i）= （ ）A3i B 3+i C3 i D3 +i3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）A B C D4若 sin= ，则 cos2=（ ） A B C D5若某群体中的成员只用现金支付的
2、概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A0.3 B0.4 C0.6 D0.76函数 f（x） = 的最小正周期为（ ） AB C D27下列函数中，其图象与函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称的是（ ）Ay=ln（1x） By=ln（2 x） Cy=ln（ 1+x） Dy=ln （2+x）8直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆（x 2） 2+y2=2 上，则ABP 面积的取值范围是（ ）A2 ，6 B4，8 C ，3 D2 ，3 9函数 y=x4+x2+2 的图象大致为（ ）第 2 页A B
3、 C D10已知双曲线 C： =1（a 0 ，b0）的离心率为 ，则点（4，0 ）到 C 的渐近线的距离为（ ）A B2 C D211 ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c若ABC 的面积为 ，则 C=（ ）A B C D12设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且面积为 9 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值为（ ）A12 B18 C24 D54二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 =（1，2） ， =（2， 2） ， =（1，） 若 （2 + ） ，则 = 14某公司有大量客户，且不同年龄段客户对
4、其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 15若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+ y 的最大值是 16已知函数 f（x ）=ln（ x）+1 ，f （a）=4，则 f（a）= 三、解答题：共 70 分。17等比数列a n中，a 1=1，a 5=4a3（1 ）求a n的通项公式；（2 ）记 Sn 为 an的前 n 项和若 Sm=63，求 m第 3 页18某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分
5、成两组，每组 20 人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1 ）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2 ）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m 不超过 m第一种生产方式第二种生产方式（3 ）根据（2 ）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K 2= ，P（ K2k） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82819如图，矩形 ABCD 所在平面
6、与半圆弧 所在平面垂直，M 是 上异于 C，D 的点（1 ）证明：平面 AMD平面 BMC；（2 ）在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由第 4 页20已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： + =1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M（1 ，m） （m0） （1 ）证明：k ；（2 ）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 + + = ，证明：2 | |=| |+| |21已知函数 f（x ）= （1 ）求曲线 y=f（x）在点（0 ，1 ）处的切线方程；（2 ）证明：当 a1 时，f （ x）+e0选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）2
7、2在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为 ， （ 为参数） ，过点（0 ， ）且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点（1 ）求 的取值范围；（2 ）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程第 5 页选修 4-5：不等式选讲（10 分）23设函数 f（x ）=|2x+1|+| x1|（1 ）画出 y=f（x）的图象；（2 ）当 x0，+）时，f（x ）ax +b，求 a+b 的最小值第 6 页2018 年全国统一高考数学试卷（文科） （新课标） 参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 C
8、；2D；3A；4B ；5B；6C；7 B；8A；9D ；10 D ；11 C；12B；二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 ；14分层抽样；153 ；162；一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （ 5 分） （2018新课标）已知集合 A=x|x10，B=0 ，1，2，则 AB= （ ）A0 B1 C1，2 D0 ，1，2 【分析】求解不等式化简集合 A，再由交集的运算性质得答案【解答】解：A=x|x 10 =x|x1，B=0，1 ，2，AB=x|x10，1 ，2 =1，2 故选：C2
9、 （ 5 分） （2018新课标） （1+i） （2 i）= （ ）A3i B3+i C3 i D3 +i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：（1+i） （2i）=3+i 故选：D3 （ 5 分） （2018新课标）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）第 7 页A B C D【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长
10、方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外 3 边是虚线，所以木构件的俯视图是 A故选：A4 （ 5 分） （2018新课标）若 sin= ，则 cos2=（ ）A B C D【分析】cos2=12sin 2，由此能求出结果【解答】解：sin= ，cos2=1 2sin2=12 = 故选：B5 （ 5 分） （2018新课标）若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A0.3 B0.4 C0.6 D0.7【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可【解答】解：某群体中的成员只用
11、现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：1 0.450.15=0.4故选：B6 （ 5 分） （2018新课标）函数 f（x ）= 的最小正周期为（ ）A B C D2【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论【解答】解：函数 f（x）= = = sin2x 的最小正周期为 =，故选：C7 （ 5 分） （2018新课标）下列函数中，其图象与函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称的是（ ）第 8 页Ay=ln（1x） By=ln（2 x） Cy=ln（1 +x） Dy=ln （
12、2+x）【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果【解答】解：首先根据函数 y=lnx 的图象，则：函数 y=lnx 的图象与 y=ln（x）的图象关于 y 轴对称由于函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称则：把函数 y=ln（ x）的图象向右平移 2 个单位即可得到：y=ln（2 x） 即所求得解析式为：y=ln （2x） 故选：B8 （ 5 分） （2018新课标）直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆（x2） 2+y2=2 上，则ABP 面积的取值范围是（ ）A2 ，6 B4，8 C ，3 D2 ，3 【分析】求出 A（ 2，0） ，
13、B（0， 2） ，|AB|=2 ，设 P（2 + ， ） ，点 P 到直线 x+y+2=0 的距离：d= = ，由此能求出ABP 面积的取值范围【解答】解：直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，令 x=0，得 y=2，令 y=0，得 x=2，A（2，0） ，B（0， 2） ，|AB|= =2 ，点 P 在圆（x2 ） 2+y2=2 上， 设 P（2+ ， ） ，点 P 到直线 x+y+2=0 的距离：d= = ，sin（ ）1，1， d= ，ABP 面积的取值范围是： ， =2，6 故选：A9 （ 5 分） （2018新课标）函数 y=x4+x2+2 的图象大致为（
14、）第 9 页A B C D【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可【解答】解：函数过定点（0，2 ） ，排除 A，B函数的导数 f（x）= 4x3+2x=2x（2x 21） ，由 f（x）0 得 2x（2x 21） 0，得 x 或 0x ，此时函数单调递增，排除 C，故选：D10 （ 5 分） （2018新课标）已知双曲线 C： =1（a0，b0 ）的离心率为 ，则点（4，0）到 C 的渐近线的距离为（ ）A B2 C D2【分析】利用双曲线的离心率求出 a，b 的关系，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求解即可【解答】解：双曲线 C： =1（a0，b0）的
15、离心率为 ，可得 = ，即： ，解得 a=b，双曲线 C： =1（ab0）的渐近线方程玩：y= x，点（4，0 ）到 C 的渐近线的距离为： =2 故选：D11 （ 5 分） （2018新课标）ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c若ABC 的面积为 ，则 C=（ ）第 10 页A B C D【分析】推导出 SABC = = ，从而 sinC= =cosC，由此能求出结果【解答】解：ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，cABC 的面积为 ，S ABC= = ，sinC= =cosC，0 C ，C= 故选：C12 （ 5 分） （2018新课标）设 A，B，C，D
16、是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且面积为 9 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值为（ ）A12 B18 C24 D54【分析】求出，ABC 为等边三角形的边长，画出图形，判断 D 的位置，然后求解即可【解答】解：ABC 为等边三角形且面积为 9 ，可得 ，解得 AB=6，球心为 O，三角形 ABC 的外心为 O，显然 D 在 OO 的延长线与球的交点如图：OC= = ，OO= =2，则三棱锥 DABC 高的最大值为： 6，则三棱锥 DABC 体积的最大值为： =18 故选：B二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （ 5 分） （2018新课
17、标）已知向量 =（1，2 ） ， =（2，2 ） ， =（1， ） 若 （2 + ） ，则 = 【分析】利用向量坐标运算法则求出 =（4，2 ） ，再由向量平行的性质能求出 的值【解答】解：向量 =（1，2 ） ， =（2 ，2） ， =（4，2） ，第 11 页 =（1，） ， （2 + ） ， ，解得 = 故答案为： 14 （ 5 分） （2018新课标）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 分层抽样 【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、
18、性质直接求解【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是分层抽样故答案为：分层抽样15 （ 5 分） （2018新课标）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+ y 的最大值是 3 【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过（2，3 ）时，z 最大【解答】解：画出变量 x，y 满足约束条件 表示的平面区域如图：由 解得 A（2，3 ） z=x+ y 变形为 y=3x+3z，作出目标函数对应的直线，当直线过 A（2
19、，3）时，直线的纵截距最小，z 最大，最大值为 2+3 =3，故答案为：3第 12 页16 （ 5 分） （2018新课标）已知函数 f（x）=ln（ x）+1 ，f （a）=4，则 f（a ）= 2 【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可【解答】解：函数 g（x）=ln（ x）满足 g（ x）=ln（ +x）= =ln（ x）=g （x ） ，所以 g（x）是奇函数函数 f（ x）=ln（ x） +1，f （a）=4，可得 f（ a）=4=ln（ a）+1 ，可得 ln（ a）=3，则 f（a）=ln（ a）+1= 3+1=2故答案为：2三、解答题：共 70 分。解答应写出文
20、字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。17 （ 12 分） （ 2018新课标）等比数列a n中，a 1=1，a 5=4a3（1 ）求a n的通项公式；（2 ）记 Sn 为 an的前 n 项和若 Sm=63，求 m【分析】 （1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比 q=2，由此能求出a n的通项公式（2 ）当 a1=1， q=2 时，S n= ，由 Sm=63，得 Sm= =63，mN ，无解；当 a1=1，q=2 时，Sn=2n1，由此能求出 m【解答】解：（1）等比数列
21、an中，a 1=1，a 5=4a31 q4=4（1q 2） ，解得 q=2，当 q=2 时，a n=2n1，当 q=2 时，a n=（2） n1，第 13 页a n的通项公式为，a n=2n1，或 an=（ 2） n1（2 ）记 Sn 为 an的前 n 项和当 a1=1，q=2 时， Sn= = = ，由 Sm=63，得 Sm= =63，m N，无解；当 a1=1，q=2 时，S n= = =2n1，由 Sm=63，得 Sm=2m1=63，m N，解得 m=618 （ 12 分） （ 2018新课标）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产
22、方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1 ）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2 ）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3 ）根据（2 ）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K 2= ，P（ K2k） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.8
23、28【分析】 （1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2 ）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；（3 ）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在 7092 之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在 6590 之间，第 14 页所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2 ）这 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是 79 和 81，计算它们的中位数为 m= =80；由此填写列联表如下； 超过 m 不超过 m 总计第一种生产方式
24、15 5 20第二种生产方式 5 15 20总计 20 20 40（3 ）根据（2 ）中的列联表，计算K2= = =106.635，能有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异19 （ 12 分） （ 2018新课标）如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直，M 是 上异于 C，D 的点（1 ）证明：平面 AMD平面 BMC；（2 ）在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由【分析】 （1）通过证明 CDAD，CDDM，证明 CD平面 AMD，然后证明平面 AMD平面 BMC；（2 ）存在 P 是 AM 的中点，利用直线与平面培训的判断定理说明即可【解答】
25、（1）证明：矩形 ABCD 所在平面与半圆弦 所在平面垂直，所以 AD半圆弦 所在平面，CM 半圆弦 所在平面，CMAD，M 是 上异于 C，D 的点CMDM，DMAD=D， CD平面 AMD，CD平面 CMB，平面 AMD平面 BMC；（2 ）解：存在 P 是 AM 的中点，理由：连接 BD 交 AC 于 O，取 AM 的中点 P，连接 OP，可得 MCOP ，MC 平面 BDP，OP 平面 BDP，所以 MC平面 PBD第 15 页20 （ 12 分） （ 2018新课标）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： + =1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为M（ 1，m） （m0 ）
26、 （1 ）证明：k ；（2 ）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 + + = ，证明：2 | |=| |+| |【分析】 （1）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，利用点差法得 6（x 1x2）+8m（y 1y2）=0，k= = =又点 M（1，m）在椭圆内，即 ，解得 m 的取值范围，即可得 k ，（2 ）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，P （x 3，y 3） ，可得 x1+x2=2由 + + = ，可得 x31=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a ex1=2 x1，|FB |=2 x2，|FP |=2 x3= 即可证明|FA|+|FB|
27、 =2|FP|【解答】解：（1）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，线段 AB 的中点为 M（1，m） ，x 1+x2=2，y 1+y2=2m将 A，B 代入椭圆 C： + =1 中，可得，两式相减可得，3（x 1+x2） （x 1x2）+4（y 1+y2） （y 1y2）=0，即 6（x 1x2）+8m（y 1y2）=0，k= = =点 M（ 1，m）在椭圆内，即 ，解得 0m （2 ）证明：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，P （x 3，y 3） ，可得 x1+x2=2 + + = ，F （1，0） ，x 11+x21+x31=0，x 3=1由椭圆的焦半径
28、公式得则|FA|=aex 1=2 x1，|FB|=2 x2，|FP |=2 x3= 则|FA|+|FB|=4 ，第 16 页|FA|+|FB|=2|FP|，21 （ 12 分） （ 2018新课标）已知函数 f（x）= （1 ）求曲线 y=f（x）在点（0 ，1 ）处的切线方程；（2 ）证明：当 a1 时，f （ x）+e0【分析】 （1）由 f（0 ）=2，可得切线斜率 k=2，即可得到切线方程（2 ）可得 = 可得 f（x）在（ ） ， （2，+）递减，在（ ， 2）递增，注意到 a1 时，函数 g（x）=ax 2+x1 在（2 ，+）单调递增，且 g（2）=4a +10只需（x） e，即
29、可【解答】解：（1） = f（0）=2，即曲线 y=f（x）在点（0 ，1）处的切线斜率 k=2，曲线 y=f（x）在点（0，1 ）处的切线方程方程为 y（1）=2x即 2xy1=0 为所求（2 ）证明：函数 f（x）的定义域为：R ，可得 = 令 f（x）=0，可得 ，当 x 时，f （x）0 ，x 时，f（x）0，x（2 ，+）时，f （x）0 f（x）在（ ） ， （2，+）递减，在（ ，2）递增，注意到 a1 时，函数 g（x ） =ax2+x1 在（2 ，+）单调递增，且 g（）=4a+10函数 g（x）的图象如下：第 17 页a 1， ，则 e，f（x） e，当 a1 时， f（x
30、）+e 0（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （ 10 分） （ 2018新课标）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为 ， （ 为参数） ，过点（0 ， ）且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点（1 ）求 的取值范围；（2 ）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程【分析】 （1）O 的普通方程为 x2+y2=1，圆心为 O（0，0） ，半径 r=1，当 = 时，直线 l 的方程为 x=0，成立；当 时，过点（0， ）且倾斜角为 的直线 l 的方程为 y=tanx+
31、，从而圆心 O（0 ，0）到直线 l 的距离 d= 1 ，进而求出 或 ，由此能求出 的取值范围（2 ）设直线 l 的方程为 x=m（y + ） ，联立 ，得（m 2+1）x 2+2 +2m21=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出 AB 中点 P 的轨迹的参数方程【解答】解：（1）O 的参数方程为 （ 为参数） ，O 的普通方程为 x2+y2=1，圆心为 O（0 ，0） ，半径 r=1，当 = 时，过点（ 0， ）且倾斜角为 的直线 l 的方程为 x=0，成立；当 时，过点（0， ）且倾斜角为 的直线 l 的方程为 y=tanx+ ，倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点，圆心
32、O（0，0）到直线 l 的距离 d= 1 ，tan 21，tan1 或 tan 1， 或 ，综上 的取值范围是（ ， ） （2 ）由（1 ）知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 x=m（y + ） ，设 A（x 1，y 1） ， （B（x 2，y 2） ，P（x 3，y 3） ，第 18 页联立 ，得（m 2+1）x 2+2 +2m21=0，= +2 ，= ， = ，AB 中点 P 的轨迹的参数方程为 ， （m 为参数） ， （ 1m1） 选修 4-5：不等式选讲（10 分）23 （ 2018新课标 ）设函数 f（x ）=|2x+1 |+|x1|（1 ）画出 y=f（x）的图象；（
33、2 ）当 x0，+）时，f（x ）ax +b，求 a+b 的最小值【分析】 （1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可（2 ）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可【解答】解：（1）当 x 时，f（x）=（2x +1）（x 1）=3x，当 x1，f（x）=（2x +1）（x 1）=x+2，当 x1 时，f （ x）=（2x+1） +（x 1）=3x，第 19 页则 f（x）= 对应的图象为：画出 y=f（x）的图象；（2 ）当 x0，+）时，f（x ）ax +b，当 x=0 时，f （0）=20a+b，b2，当 x0 时，要使 f（x ）ax+b 恒成立，则函数 f（x）的图象都在直线 y=ax+b 的下方或在直线上，f（x）的图象与 y 轴的交点的纵坐标为 2，且各部分直线的斜率的最大值为 3，故当且仅当 a3 且 b2 时，不等式 f（x ）ax +b 在0 ，+）上成立，即 a+b 的最小值为 5
