1、1FGGA BCDE CA BDE FDEB1 A1C1CAB FM高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：(1)通过“平移 ”。(2) 利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5) 利用面面平行，等等。(1) 通过“平移 ”再利用平行四边形的性质1如图，四棱锥 PABCD 的底面是平行四边形，点 E、F 分 别为棱 AB、 PD 的中点求证：AF平面 PCE；分析：取 PC 的中点 G，连 EG.，FG，则易证 AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形 ABCD
2、中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD1 ，3过 A 作 AECD，垂足为 E，G、F 分别为 AD、CE 的中点，现将ADE 沿 AE 折叠，使得 DEEC.（）求证：BC面 CDE； （）求证：FG 面 BCD；分析：取 DB 的中点 H，连 GH,HC 则易证 FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D, E, F 分别为 AA1, CC1, AB 的中点，M 为 BE 的中点, ACBE. 求证：（）C 1DBC； （）C 1D平面 B1FM. 分析：连 EA，易证 C1EAD 是平行四边形，于是 MF/EAEFBACDP（第 1 题图）24、如图所示,
3、 四棱锥 P ABCD 底面是直角梯形, CD=2AB, E 为 PC 的中点, ,ADCB证明: ;/E平 面分析:：取 PD 的中点 F，连 EF,AF 则易证 ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知 、 、 、 分别是四面体的棱 、 、 、 的中点，求GMADCB证： 平面 。AM分析：连 MD 交 GF 于 H，易证 EH 是AMD 的中位线6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是 PC的中点。 求证： PA 平面 BDE 7如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中， D 为 AC 的中点.求证：AB 1/面 BDC1；分析：连 B1C 交 BC
4、1 于点 E，易证 ED 是B 1AC 的中位线8、如图，平面 平面 ，四边形 与 都是直角梯形，AEFBCDAEFBCD， ， 分别为 的中点09,BD/12/12,GH,AF（）证明：四边形 是平行四边形；HG（） 四点是否共面？为什么？,CFEABCDEFGM3PEDCBA（.3） 利用平行四边形的性质9正方体 ABCDA1B1C1D1中 O 为正方形 ABCD 的中心，M 为 BB1 的中点，求证： D1O/平面 A1BC1;分析：连 D1B1 交 A1C1 于 O1 点，易证四边形 OBB1O1是平行四边形10、在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD，AB= DC， .21中 点为 P
5、DE求证：AE平面 PBC；分析：取 PC 的中点 F，连 EF 则易证 ABFE是平行四边形11、在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形， ACB= 90，平面，EF， ，.=.（）若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角- -的大小（I）证法一：因为 EF/AB， FG/BC，EG/AC ， 90ACB，所以 90,EGF .EFG由于 AB=2EF，因此，BC=2FC，连接 AF，由于 FG/BC， B214在 ABCD中，M 是线段 AD 的中点，则 AM/BC，且 BCAM21因此 FG/AM 且 FG=AM，所以四边形 AFGM 为平行四边形，因此 GM/FA。
6、又 F平面 ABFE， G平面 ABFE，所以 GM/平面 AB。(4)利用对应线段成比例12、如图：S 是平行四边形 ABCD 平面外一点，M 、N 分别是 SA、BD 上的点，且 = ， SADB求证：MN 平面 SDC分析：过 M 作 ME/AD，过 N 作 NF/AD利用相似比易证 MNFE 是平行四边形13、如图正方形 ABCD 与 ABEF 交于 AB，M，N 分别为 AC 和 BF 上的点且 AM=FN 求证：MN平面 BEC分析：过 M 作 MG/AB，过 N 作 NH/AB利用相似比易证 MNHG 是平行四边形(5)利用面面平行14、如图，三棱锥 ABCP中， 底面 ABC，
7、 90， PB=BC=CA， E为PC的中点， M为 的中点，点 F在 P上，且 2FP.（1）求证： E平面 ；（2）求证： /平面 ；分析: 取 AF 的中点 N，连 CN、MN，易证平面 CMN/EFBA FAEABACADAMA NA5直线、平面平行的判定及其性质 经典题（附详细解答）一 、 选 择 题1下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ;B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2 E， F， G 分别是四面体 ABCD 的棱 BC， CD， DA 的中点，则
8、此四面体中与过 E， F， G 的截面平行的棱的条数是 A0 B1 C2 D3 3 直线 及平面 ，使 成立的条件是（ ）,abc， ， /abA B C D/,/,cb/,ab4若直线 m 不平行于平面 ，且 m ，则下列结论成立的是（ ）A 内的所有直线与 m 异面 B 内不存在与 m 平行的直线C 内存在唯一的直线与 m 平行 D 内的直线与 m 都相交5下列命题中，假命题的个数是（ ） 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交； 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行； 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行； 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；
9、a 和 b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与 平行A4 B3 C2 D16已知空间四边形 中， 分别是 的中点，则下列判断正确的是（ D,MN,AB）A B12MNC12C DC二 、 填 空 题7在四面体 ABCD 中，M， N 分别是面 ACD，BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平行的是_.8如下图所示，四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点，M， N， P 分别为其所在棱的中点，能得到 AB/面 MNP 的图形的序号的是 6D CA BB1A1C1 9正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 DD 中点，则 BD1 和平面 ACE 位置关系是 1三 、 解 答 题
10、10.如图，正三棱柱 的底面边长是 2，侧棱长是 ，D 是 AC 的中点.求证：13平面 ./1CBD111.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，M，N，G 分别是 AA1，CD，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN/B 1D1 ；（2）AC 1/平面 EB1D1 ；（3）平面 EB1D1/平面 BDG. 参考答案一、选择题1D 【提示】当 时， 内有无数多条直线与交线 平行，同时这些直线也与平面ll平行.故 A，B，C 均是错误的2C 【提示】棱 AC，BD 与平面 EFG 平行，共 2 条.3C【提示】 则 或 异面；所以 A 错误； 则 或 异/,ab/a,b/
11、,ab/a,b面或 相交，所以 B 错误； 则 或 异面，所以 D 错误；, ,/， 则 ， 这是公理 4，所以 C 正确./c/74B 【提示】若直线 m 不平行于平面 ，且 m ，则直线 m 于平面 相交， 内不存在与 m 平行的直线.5B 【提示】错误.过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.过直线外一点有无数个平面和这条直线平行平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上.6. D 【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边.二、填空题7平面 ABC，平面 ABD【提示】连接 AM 并延长，交 CD 于 E，连结 BN
12、并延长交 CD 于 F，由重心性质可知，E、F 重合为一点，且该点为 CD 的中点 E，由 = = 得 MNAB.因此，MN平面MANB21ABC 且 MN平面 ABD.8. 【提示】对于，面 MNP/面 AB,故 AB/面 MNP.对于，MP/AB, 故 AB/面 MNP,对于，过 AB 找一个平面与平面 MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故不能推证AB/面 MNP.9平行【提示】连接 BD 交 AC 于 O，连 OE，OEB D ，OEC 平面 ACE，B D 平面1 1ACE.三、解答题10.证明：设 与 相交于点 P，连接 PD，则 P 为 中点，1AB1AD 为 AC 中点， P
13、D/ .C1又 PD 平面 D， /平面 D 1B111.证明：（1） M、N 分别是 CD、CB 的中点， MN/BD又 BB1 DD1, 四边形 BB1D1D 是平行四边形. /所以 BD/B1D1.又 MN/BD，从而 MN/B1D1 （2） （法 1）连 A1C1，A 1C1 交 B1D1 与 O 点四边形 A1B1C1D1 为平行四边形，则 O 点是 A1C1 的中点E 是 AA1 的中点， EO 是 AA1C1 的中位线，EO/AC 1.AC1 面 EB1D1 ，EO 面 EB1D1，所以 AC1/面 EB1D1 （法 2）作 BB1 中点为 H 点，连接 AH、C 1H，E、H 点为 AA1、BB 1 中点，8所以 EH C1D1，则四边形 EHC1D1 是平行四边形，所以 ED1/HC1/又因为 EA B1H，则四边形 EAHB1 是平行四边形，所以 EB1/AHAH HC1=H， 面 AHC1/面 EB1D1.而 AC1 面 AHC1，所以 AC1/面 EB1D1（3）因为 EA B1H，则四边形 EAHB1 是平行四边形，所以 EB1/AH/因为 AD HG，则四边形 ADGH 是平行四边形，所以 DG/AH，所以 EB1/DG又 BB1 DD1, 四边形 BB1D1D 是平行四边形. 所以 BD/B1D1./BD DG=G， 面 EB1D1/面 BDG
