1、 中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网2010 届高三数学一轮复习精品教案三角函数 一、本章知识结构：二、重点知识回顾1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边 相同的角，都可以表示成 k3600+ 的形式，特例，终边在 x 轴上的角集合|=k180 0，kZ，终边在 y 轴上的角集合| =k180 0+900，kZ，终边在坐标轴上的角的集合 |=k90 0，kZ。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的
2、换算；角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度1801)8(157弧长公式： ；扇形面积公式： 。RlRlS22、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：（1）三角函数定义：角 中边上任意一点 为 ，设 则：P),(yxrOP|cos,sinrrytan（2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（3）特殊角的三角函数值 0 6432232sin 0 211 0 -1 0cos 1 320 -1 0 1中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.Z
3、XXK:COM 版权所有 中学学科网tan 0 31 3不存在 0 不存在 0（3）同角三角函数的基本关系： xxtancosi;1ssin22（4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）:sin( )sin,cos( )cos,tan( )tansin( )sin,cos( )cos,tan( )tansin( )sin,cos( )cos,tan( )tansin( )sin,cos( )cos,tan( ) tan222sin( )sin,cos( )cos,tan( )tan ，kkk()kZsin( )cos,cos( )sinsin( )cos,cos( )-sin223、两角和与差的
4、三角函数（1）和（差）角公式 ;sincosin)si( ;iccotan1t)ta(（2）二倍角公式二倍角公式： ；cosin2si ；222 sin1cos 2tan1ta（3）经常使用的公式升（降）幂公式：、 、 ；21ssin2coscicosi2辅助角公式： （ 由 具体的值确定）；2inn()abab,ab正切公式的变形： .tt1t)4、三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数 ， ， 的图象与性质，并挖掘：sinyxcosxtany最值的情况；了解周期函数和最小正周期的意义会求 的周期，或者经过简单的恒i()A等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情
5、况；会从图象归纳对称轴和对称中心；的对称轴是 ，对称中心是 ；sinyx2xk()Z(,0)kZ中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网的对称轴是 ，对称中心是cosyxxk()Z(,0)2k(kZ的对称中心是tan,02注意加了绝对值后的情况变化.写单调区间注意 .（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数 的简图，并能由图象写出解析式sin()yAx“五点法”作图的列表方式；求解析式 时处相 的确定方法：代（最高、低）点法、公式 .i()
6、1x（三）正弦型函数 的图象变换方法如下：snyx先平移后伸缩的图象sinyx 向 左 (0)或 向 右 (0)平 移 个 单 位 长 度得 的图象i()() 横 坐 标 伸 长 1到 原 来 的 纵 坐 标 不 变得 的图象sin()yx()AA 纵 坐 标 伸 长 1)或 缩 短 (0b 时，一解（锐角）。三、考点剖析考点一：三角函数的概念【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制，任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能进行弧度与角度的互化，会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法，终边相同角的表示方法，由三角函数的定义，确定终边在
7、各个象限的三角函数的符号。在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更为方便、简洁。【命题规律】在高考中，主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选择题和填空题为主。例 1、（2008 北京文）若角 的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2 的值为 .解： 22tan4tan,ta.13点评：一个角的终边经过某一点，在平面直角坐标系中画出图形，用三角函数的定义来求解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。考点二：同角三角函数的关系【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精
8、品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网证明强化记忆，在解题时要注意 ，这是一个隐含条件，在解题时要经常22sincos1能想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。【命题规律】在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。例、（浙江理）若 则 =( )cos2in5,tan（A） （B）2 （C） （D）112解：由 可得：由 ，cosin5cssi又由 ，可得： （ ） 2122in12si5n可得 ， ，si5coi所以， 2。tansi点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题
9、，要能想到隐含条件：，与它联系成方程组，解方程组来求解。22sico1例 3、（2007 全国卷 1 理 1） 是第四象限角， ，则 （ ）5tan12sinA B C D553513解：由 ，所以，有 ， 是第四象限角，tan12cossin22解得： si53点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式： ，同样要cosinta能想到隐含条件： 。22sincos1考点三： 诱导公式【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的， sin 与 cos 对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中 + 的
10、整数 k 来讲的，象限指 + 中，将2k 2k 看作锐角时， + 所在象限，如将 cos( +) 写成 cos（ +），因为 3 是2k33中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网奇数，则“cos”变为对偶函数符号 “sin”，又 + 看作第四象限角，cos( +)为2323“+”，所以有 cos( +)=sin。23【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角函数值，也有些大题用到诱导公式。例 4、(2008 陕西文) 等于（ ）sin0A B C
11、D321232解： sin0si(360)1sin点评：本题是对诱导公式和特殊角三角函数值的考查，熟练掌握诱导公式即可。答案： 725例 5、（2008 浙江文）若 .2cos,53)2sin(则解：由 可知， ；而3sin()5co。227co1(点评：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，难度不算大，属基础题，熟练掌握公式就能求解。考点四：三角函数的图象和性质【内容解读】理解正、余弦函数在0，2 ，正切函数在（ - ， ）的性质，如单调2性、最大值与最小值、周期性，图象与 x 轴的交点，会用五点法画 函数的图象，并理解它的性质：sin()yAxR，（）函数图象在其对称轴处取得最大值或最
12、小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（）函数图象与 x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（）函数取最值的点与相邻的与 x 轴的交点间的距离为其函数的 个周期。14注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等 ，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。例 6、(2008 天津文)设 ， ， ，则（ ）5sin7a2cosbtan7A B C Dabccbc解： ，因为 ，所以 ，选2sin72420si1tan7D中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXX
13、K.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网点评：掌握正弦函数与余弦函数在0， ， ， 的大小的比较，画出它42们的图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：0,1，也要掌握。例 7、(2008 山东文、理 )函数 的图象是（ ）lncosyxyx2Oyx2Oyx2Oyx2OA B C D解： 是偶函数，可排除 B、D，由 的值域可以确定.lncos()yxcosx因此本题应选 A.点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经
14、常采用排除法。例 8、(2008 天津文 )把函数 的图象上所有的点向左平行移动 个单位sin()yxR3长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到的图象所12表示的函数是（ ）A Bsin23yxR， sin6xyR，C Di， i23，解：y= sinx3 向 左 平 移 个 单 位 sin()3yx12 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 倍，故选（C）。(2)y点评：三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一，牢固变换的方法，按照变换的步骤来求解即可。例 9、（浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线 的交点个数是 ( )20)(32cos(，
15、xy 21y（A）0 （B）1 （C）2 （D）4解：原函数可化为：)(cs(，xy= 作出原函数图像，sin,0.x中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网截取 部分，其与直线 21y的交点个数是 2 个.0,2x点评：本小题主要考查三角函数图像的性质问题，学会五点法画图，取特殊角的三角函数值画图。考点五：三角恒等变换【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余
16、弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内容。【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有，近几年常有一道解答题，难度不大，属中档题。例 10、（2008 惠州三模）已知函数 xxxf cosinsi3)(2（I）求函数 的最小正周期； （II ）求函数 的值域. )(xf ,0)(f在解： xf cosinsi32 x2sin1co3（I ） 2i1x 3)in(xT（II） 20431)32sin(x所以 的值域为： )(xf 2,点评：本题考查三角恒等变
17、换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。例 11、（2008 广东六校联考）已知向量 (cos x，sin x)， ( )，a23b2sincox，且 x0 ， 2（1）求 ba（2）设函数 + ，求函数 的最值及相应的 的值。xf)(ba)(xfx解：（I）由已知条件： ， 得：2033(cos,sini)22xab中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网2233(cos)(sini)xxxsin2co（2） sin3cosi xf ci，因为： ，所
18、以：2)1(i21sn2x 20x1sin0x所以，只有当： 时， ， ，或 时，3)(maxf 11)(minxf点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等知识。例 12、（2008 北京文、理）已知函数的最小正周期为 .2()sin3sin()(02fxx（）求 的值；（）求函数 f(x)在区间0， 上的取值范围.解：（） 1cos3sin22xx= 31in= s().62x因为函数 f(x)的最小正周期为 ,且 0 ，所以 2解得 =1.（）由（）得 1()sin2).6f因为 0x ，23所以 167.所以 1.2()x因此 0 ，即 f(x)的
19、取值范围为0， 1sin2332点评：熟练掌握三角函数的降幂，由 2 倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训练时，要注意公式的推导过程。考点六：解三角形【内容解读】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意。【命题规律】本节是高考必考内容，重点为正余弦
20、定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度。例 13、（2008 广东五校联考）在ABC 中，角 A、B 、 C 所对的边分别为 a、b、c,且103cos,2tanBA（1）求 tanC 的值; （2）若ABC 最长的边为 1，求 b。解：（1） B 锐角,s且 , , 210sincoBsin1taco31tatn23tat()t()1ABCAB (2)由(1)知 C 为钝角, C 是最大角,最大边为 c=1, , 2tan135sinC由正弦定理: 得 。sinibcB10si5n2Bb点评：本题考查同角三角函数公式，两
21、角和的正切，正弦定理等内容，综合考查了三角函数的知识。在做练习，训练时要注意加强知识间的联系。例 14、(2008 海南、宁夏文 )如图，ACD 是等边三角形， ABC 是等腰直角三角形，ACB=90，BD 交 AC 于 E，AB=2。（1）求 cosCBE 的值；（2）求 AE。解：（）因为 ， ，9065BCD CBAD所以 15E所以 2coscs(43)4（）在 中， ，A 2由正弦定理 sin(51)sin(9015)故 230coE624点评：注意用三角恒等变换公式，由特殊角 45 度，30 度，60 度，推导 15 度，75 度EDCBA中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXX
22、K.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网的三角函数值，在用正弦定理时，注意角与它所对边的关系。例 15、(2008 湖南理 )在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东 且与点 A 相距 40 海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北45 2偏东 + (其中 sin = ， )且与点 A 相距 10 海里的位置 C. 609 13（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II
23、）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由 .解: （I）如图，AB =40 ，AC=10 ，2136,sin.BAC由于 ,所以 cos =09 256().由余弦定理得 BC= 2cos10.ABC所以船的行驶速度为 （海里/小时）.1053（II） 如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设点 B、 C 的坐标分别是 B（x 1，y 2）, C（x 1，y 2）,BC 与 x 轴的交点为 D.由题设有，x 1=y1= AB=40,2x2=ACcos ,03cos(45)30ADy2=ACsin in2.所以过点 B、 C 的直线 l 的斜率 k= ,直线 l
24、 的方程为 y=2x-40.1又点 E（0，-55）到直线 l 的距离 d= |054|357.所以船会进入警戒水域.点评：三角函数在实际问题中有很多的应用，随着课改的深入，联系实际，注重数学在实际问题的应用将分是一个热点。四、方法总结与 2010 年高考预测1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）注意隐含条件的应用：1cos 2xsin 2x。（2）角的配凑。 （）， 等。（3）升幂与降幂。主要用 2 倍角的余弦。（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。（5）引入辅助角。asin bcos sin( )，这里辅助角 所在象限2ba由 a、b 的符号确定， 角的值由 tan 确定。中学学科网学
25、海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系
26、。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。5高考考点分析近几年高考中，三角函数主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。五、复习建议1、本节公式较多，但都是有规律的，认真总结规律，记住公式是解答三角函数的关键。2、注意知识之间的横向联系，三角函数知识之间的联系，三角函数与其它知识的联系，如三角函数与向量等。3、注意解三角形中的应用题，应用题是数学的一个难点，平时应加强训练。
