1、角平分线的性质定理及其逆定理 一、 基础概念学习目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用，掌握尺规作图做角平分线，规范证明步骤。（1）角平分线的性质定理证明：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。证明角平分线的性质定理时，将用到三角形全等的判定公理的推论：推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （AAS）推导过程：已知：OC 平分MON，P 是 OC 上任意一点，PAOM，PBON，垂足分别为点 A、点 B求证：PAPB证明：PAOM ，PB ONPAO PBO90OC 平分MON12在PAO 和 PBO 中，PAO PBOPAPB几何表达：（
2、角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，OP 平分MON（12） ，PAOM，PBON，PAPB（2）角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。推导过程已知：点 P 是MON 内一点， PAOM 于 A，PB ON 于 B，且 PAPB求证：点 P 在MON 的平分线上证明：连结 OP在 Rt PAO 和 RtPBO 中，RtPAORtPBO（HL ）12OP 平分MON即点 P 在MON 的平分线上几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 ）如图所示，PAOM ，PB ON，PAPB12（OP 平分MON）（3） 角平分线性质及判定的应用为推
3、导线段相等、角相等提供依据和思路；实际生活中的应用例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为 300米在下图中标出工厂的位置，并说明理由（4）角平分线的尺规作图活动三：观察与思考： 尺规作角的平分线观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如图)，思考这种作法的依据。步骤一：以点 O 为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于 A，B 两点。由作图可知： OA = OB 步骤二：分别以点 A，B 为圆心，以固定长(大于 AB 长的一半)为半径画弧，两弧交于点 C。由作图可知： AC = BC 步骤三：作射线 OC，则 OC 就是AOB 的平分线。由作图可
4、知： 定理，可得 同学们，讨论交流一下，你能说出作图的每一步骤的依据是什么吗？试用证明的方法说出作图的正确性。二、 【典型例题】例 1. 已知：如图所示，CC90，AC AC求证：（1）ABC ABC；（2）BCBC（要求：不用三角形全等判定） 例 2. 如图所示，已知ABC 中，PEAB 交 BC 于 E，PF AC 交 BC 于 F，P 是 AD 上一点，且 D 点到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分BAC ，并说明理由例 3. 如图所示，已知ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，那么 AP 能否平分BAC？请说明理由由此题你能得到一个什么结论？1-32FE
5、DCBA1-31ED CBA例 4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P 点处，距公路 400m，现分别以公路、铁路所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标例 5. 如图所示，在ABC 中，C90，ACBC，DA 平分CAB 交 BC 于 D，问能否在 AB 上确定一点 E，使BDE 的周长等于 AB 的长？若能，请作出点 E，并给出证明；若不能，请说明理由练习一一、填空题：1.如图 1-31，ABC 中，AD 是 BC 的垂直平分线，BE 平分ABC 交 AD 于 E, EFAB , 则
6、 AB = ，BF = ；2.已知：如图 1-32，在 RtABC 中，C = 90, AC = BC, BD 平分ABC 交 AC 于 D, DEAB 于 E，若 BC = 5, 则DEC 的周长为 .二、选择题：1.如图 1-33，ABC 中，B = 42, ADBC 于 D，E 是 BD 上一点，EFAB 于 F，若ED = EF, 则AEC 的度数为（ ） ；A. 60 B. 62 C. 64 D. 662.给出下列命题： 垂直于同一条直线的两直线平行； 角平分线上的点到角两边的距离相等； 三角形的三条角平分线相交于一点； 全等三角形的面积相等；其中原命题和逆命题都是真命题的共有（ ）
7、.A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个三、解答题：如图 1-34，已知：ABC 中，BAC = 90, ADBC 于 D，AE 平分DAC，EFBC 交 AC 于 F，连接 BF. 求证：BF 是ABC 的平分线. 1-33FE D CBAAB CD EF1-34【综合练习】已知：如图 1-35，ABC 中，AB = 2AC, AD 平分BAC，且 AD = BD. 求证：DCAC. 例题答案例 1. 已知：如图所示，CC90，AC AC求证：（1）ABC ABC；（2）BCBC（要求：不用三角形全等判定） 证明：（1）CC90（已知） ，ACBC ，ACBC（垂直的定义）
8、又ACAC（已知） ，点 A 在CBC的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） ABC ABC（2）C C ，ABCABC，180（CABC）180（C ABC ） （三角形内角和定理） 即BAC BAC，ACBC ，ACBC，BCBC（角平分线上的点到这个角两边的距离相等） 例 2. 如图所示，已知ABC 中，PEAB 交 BC 于 E，PF AC 交 BC 于 F，P 是 AD上一点，且 D 点到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分BAC ，并说明理由解：AD 平分BACD 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，点 D 在EPF 的平分线上12又PE
9、 AB，1 3同理，24AB CD1-3534，AD 平分BAC例 3. 如图所示，已知ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，那么 AP 能否平分BAC？请说明理由由此题你能得到一个什么结论？解：AP 平分BAC 结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等理由：过点 P 分别作 BC，AC，AB 的垂线，垂足分别是 E、F、D BM 是ABC 的角平分线且点 P 在 BM 上，PDPE（角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PFPE，PDPF AP 平分BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上） 例 4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学
10、校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P 点处，距公路 400m，现分别以公路、铁路所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标解：（1）点 P 在公路与铁路所夹角的平分线上，点 P 到公路的距离与它到铁路的距离相等，又点 P 到公路的距离是 400m，点 P（学校）到铁路的距离是 400m（2）学校所在位置的坐标是（400，400） 评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等例 5. 如图所示，在ABC 中，C90，ACBC，DA 平分CAB 交 BC 于 D，问能否在 AB 上确定一点 E，使BDE 的周长等于 AB 的长？若能，请作出点 E，并给出证明；若不能，请说明理由解：能过点 D 作 DEAB 于 E，则BDE 的周长等于 AB 的长理由如下：AD 平分CAB，DC AC，DEAB，DCDE在 Rt ACD 和 RtAED 中， ，Rt ACD RtAED（ HL） ACAE又ACBC ，AEBCBDE 的周长BDDEBEBDDCBEBCBEAEBEAB 1.4 角平分线练习一【基础练习】 一、1. AC, BD； 2. 5 . 二、1. D； 2. A. 三、提示：证 AF = EF.2【综合练习】提示：作 DE AB, 证ADC ADE.
