1、行列式部分的填空题1在 5 阶行列式 中，项 a13a24a32a45a51 前的符号应取 正 号。ij2排列 45312 的逆序数为 8 。3行列式 中元素 x 的代数余子式是 8 25144行列式 中元素-2 的代数余子式是 -11 。035行列式 中， 的代数余子式是 -5 。251xx6计算 = 0 0dcba行列式部分计算题1计算三阶行列式381402解： =（-4 ） = -43814022（ ） 12决定 i 和 j，使排列 1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列.解：i 和 j 等于 5 或 8。（1）当 i=5，j =8 时，排列 1 2 3 4 i 6 j 9 7 则
2、成为排列 1 2 3 4 5 6 8 9 7，N (1 2 3 4 5 6 8 9 7)=2,该排列为偶排列。（2）当 i=8，j =5 时，排列 1 2 3 4 i 6 j 9 7 则成为排列 1 2 3 4 8 6 5 9 7，N (1 2 3 4 5 6 8 9 7)=5,该排列为奇排列。所以当 i=8，j=5 时，排列 1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列。3(7 分) 已知 ，求 的值043x解：D= =2 （ -2）10x当 =0 或 =2 时，D=0，x所以，当 或 时，2x0143x4(8 分) 齐次线性方程组 0zyx有非零解，求 。解： D= =12()如果方程组有
3、非零解，则 D=0，即 。15用克莱姆法则求下列方程组：103294zyx解：计算行列式D= 45273113249810D2908352351所以： ， ，13Dx24y3Dz矩阵部分填空题1计算 = 045361126452已知矩阵 A=（1，2，3） ，则 AT9633若 4 阶方阵 A 的行列式|A|=2，则|A 3|= 8 。4设 A 为 3 阶矩阵，若已知 m则,45. 矩阵 的伴随矩阵是212136设 A 是 3 阶方阵，且 A2=0，则 A3= 0 .7设 A 为 2 阶方阵，|A|=2，则 1矩阵部分计算题1已知矩阵 ，求矩阵的秩210543解：对矩阵作以下初等变换： 210
4、543A2801437931010440可以看出：r（A）=22.设 A= ,求1203451A解： ，所以 A 可逆。A1425()5()103, , ,1143()21210()A13134()02A同法可得： , , , , , .21025233132533122305A=120151A0323设 A= ，求 A*和 A154021解： ,所以 A 可逆。1345易得： ， ， ， ， ， ，10A121321025A234， ， 。333于是： ，24051A 51204205101A4设 A= ，求 A-1。3120解： ，所以 A 可逆。6A易得： ， ， ， ， ， ，1123
5、12102321A， ， 。30于是： 21036A 3162013061A5设 为三阶矩阵，若已知|A|=2 ，求|A|A|)(ija解： 143AA线性方程组部分填空题1设齐次线性方程组 Ax=0 的系数阵 A 的秩为 r，当 r= n 时，则 Ax=0 只有零解；当Ax=0 有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .2设 1， 2 为方程组 Ax=b 的两个解，则 1- 2 是其导出方程组的解。3设 0 是线性方程组 Ax=b 的一个固定解，设 z 是导出方程组的某个解，则线性方程组Ax=b 的任意一个解 可表示为 = 0 +z .4若 n 元线性方程组 Ax=b 有解，R（
6、A）=r，则当 r=n 时，有惟一解；当 rn 时，有无穷多解。5A 是 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充要条件是 r（A）n .6n 元齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分必要条件是 r（A）=n 。7 线性方程组 Ax=b 有解的充要条件是 r(Ab)=r(A) 。8设 是线性方程组 Ax=b 的一个特解， 是其导出组的基础解系，则线1u rnv,21性方程组 Ax=b 的全部解可以表示为 = unrcc1求线性方程组的通解.223347131xx解：对增广矩阵（Ab）施以以下初等变换：（Ab）=01137437420132 2 10740110 10所以： 342x
7、x取 （其中 ， 为任意常数） ，则原方程组的通解为：31c， 1c222134xc2求齐次线性方程组的一个基础解系.0510536342xx解：对增广矩阵（A0）施以如下初等变换：（A0）=12103630450512100即原方程组与下面方程组同解：（其中 为自由未知量）12430x24x，对自由未知量 取值 ，即得原方程组的一个基础解系为：2410，1201，3求非齐次线性方程组的通解321431xx解：对增广矩阵（Ab）施以如下初等变换：（Ab）=11232131204012563 011034210201 所以：142343xx取 =c（c 取一切常数）4则原方程组的通解为12343
8、xcxc4 求方程组的通解 2532141xx解：对增广矩阵（Ab）作初等行变换，有： 1214352143524114352018071435201805901705107650170所以13246750xxx取 ，则方程组的通解为：3(c为 任 意 常 数 ）12346750xcx5已知线性方程组 12431xx64321（1）求增广矩阵（Ab）的秩 r（Ab）与系数矩阵 A 的秩 r（A ） ；（2）判断线性方程组解的情况，若有解，则求解。解：（1）对增广矩阵（Ab）施以以下初等变换：（Ab）=231231401453177658 1076107645453296321 1010(Arb
9、r） ， （ ）（2）因为 ，即 r（Ab ）= r（A）故方程组有解，且 r（Ab）= (4） ， （ ）r（A） =n,故方程组有唯一解，其解为：12340x向量的线性关系填空题1向量 =（1，3，5，7） ，=（a,b,5,7） ，若 =，则 a= 1 ,b= 3 .2已知向量 =（1，2，3） ， =（3，2，1） ，则 3 +2 = （ 9，10，10） ， -2 1= （-2，0，2） 3设向量组 线性无关，则向量组 ， + ， + + 线性 无关 31, 121234设向量 线性无关，则 线性 无关 。321,a321,a5设向量 线性无关，则向量 线性 相关 0,6. 是 3
10、维向量组,则 线性 相 关.4321,4321,7零向量是线性 相关 的，非零向量 是线性 无关 的.线性关系部分证明题（注：下面的题目中只需选做 3 道题即可）1 证明：如果向量组 线性无关，则向量组 亦线性无关, ,证：设 ，123()()()0kk即： 312因为向量组 线性无关，故系数全为零，,即：13212300kk所以向量组 亦线性无关。,2设向量 可由向量 1， 2， r 线性表示，但不能由 1， 2， r-1 线性表示，问向量组 1， 2， r-1， r 与向量组 1， 2， r-1， 是否等价？为什么？3设 1， 2 是某个齐次线性方程组的基础解系，问 1+ 2，2 1 2
11、是否也可构成该方程组的基础解系？4已知 ，判定此向量组是线性相关还是线)2,53(),02(),10(21 性无关。解：对矩阵（ ）施以如下初等变换：123,Ta10210250505512 秩 =23051所以向量组线性相关。5设=（1 ，1，2 ） T， =（1 ，2，3） T， =（1，3，t ） T请问当 t 为何值时， ， ， 线性相关？并将 用 ， 线性表示12解：对矩阵（ ）施以如下初等变换：123,11002234ttt当 t-4=0，即 t=4 时，秩 =秩 =2,132t12此时 线性相关。由上面的初等变换可知：123,3126 , 设 线性无关，而 线性相关，则 能由s,
12、21 ,21s 线性表示，且表示法惟一。s,21证：先证 可由 线性表示。s,21因 线性相关，所以存在一组不为零的数 及 k，使,21s 12,sk成立，其中必有 ，否则上式成为0skk 0=0，且 不全为零，这与 线性无关相矛12s 12,sk s,21盾。因为 ，故 ，即： 能由0k12()()()sk 线性表示。s,21再证表示法惟一。如果 且 ，12shh 12sll则： 成立。2()()()0ssll由 线性无关可知 ，s,21 12sllhl即 ，2,shllh所以表示法惟一。判断：1、 若矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数，则矩阵 A 乘以 B 有意义。 对2、 若矩阵 A
13、可逆，则它一定是非奇异的。 对3、 若矩阵 A 的行数不等于矩阵 B 的列数，则矩阵 A 乘以 B 没有意义。 错4、 齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式不等于零. 错5、 是阶正交矩阵，则 对T16、 若向量组 线性相关,则 能由 线性表示. 错s,21 1s,27、 一个 n 维向量组 （s1）线性相关的充要条件是含有零向量 错8、 矩阵 A,X,Y 满足 AX=AY,且 ,则 X=Y. 错0A9、 若 A 是方阵,则 A 必可逆. 错10、 设矩阵 A 增加一行变成矩阵 B,则矩阵 B 的秩大于矩阵 A 的秩. 错11、 是 3 维向量组,则 线性相关. 对4321,4321
14、,12、 若同阶方阵 A 与 B 都可逆,则 A+B 也一定可逆. 错13、 矩阵 A 满足 ,则 A=0 或者 A=E. 错特征值部分选择题（单选题）1. 是阶正交矩阵，则 A （） （） （） （）1EATA12. A 与 B 是两个相似的 n 阶矩阵,则 A (A) 存在非奇异矩阵 P,使 (B) |A| |B| BP1 (C) 存在对角矩阵 D,使 A 与 B 都相似于 D (D) BII3 下列结论中,错误的有( C )(A) 若向量 与 正交,则对任意实数 a,b, 与 也正交ab(B) 若向量 与向量 都正交,则 与 的任一线性组合也正交21 21,(C) 若向量 与 正交,则
15、与 中至少有一个是零向量(D) 若向量 与任意同维向量正交 ,则 是零向量4 设矩阵 ,则 A 的特征值为 C 10A(A) 1,0,1 (B) 1,1,2 (C) -1,1,2 (D) -1,1,15 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 B (A) A 有 n 个特征值(B) A 有 n 个线性无关的特征向量(C) A 的行列式不等于零(D) A 的特征多项式没有重根单选：1. 已知四阶行列式 D 中第三行元素为（ -1，2，0，1） ，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则 D 的值等于 C:-152. 行列式 A 的第一行元素是（ -3，0，4） ，第二行元素是（ 2，a
16、，1),第三行元素是（5，0，3） ，则其中元素 a 的代数余子式是：B:-293. 排列 3721456 的逆序数是：C:84. 行列式 A 的第一行元素是（ k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1) ，如果行列式 A 的值等于 0，则 k 的取值应是：C:k=3 或 k=15. 有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1 ） ，第二行元素是（ 3，1 ，4） ，第三行元素是（8，9，5） ，则该行列式的值是： C:56. 有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2 ） ，第二行元素是（ -1，-1，0 ） ，第三行元素是（2，0 ，-5） ，则该行列式的值是： B
17、:-17. 有二阶行列式，其第一行元素是（2，3） ，第二行元素是（3，-1） ，则该行列式的值是：A:-118. 有二阶行列式，其第一行元素是（1，3） ，第二行元素是（1，4） ，该行列式的值是: B:19. 下列 n 阶(n2)行列式的值必为 0 的有：B:行列式非零元素的个数小于 n 个。10、矩阵 A 为三阶矩阵，若已知|A|=m,则|-mA|的值为 C:-m*m*m*m11、矩阵 A 的第一行元素是（1，0，5） ，第二行元素是（0，2，0） ，则矩阵 A 乘以 A 的转置是：C:第一行元素是（26，0） ，第二行元素是（0，4） 。12、矩阵 A 适合下面哪个条件时，它的秩为 r
18、. B:A 中线性无关的列向量最多有 r 个。多选1、 向量组 a1,a2,.,as 线性无关的必要条件是：A：a1,a2,as 都不是零向量。C：a1,a2,as 中任意两个向量都不成比例。 D：a1,a2,as 中任一部分组线性无关。2、向量组 a1,a2,.,as 线性相关的充分必要条件是：C：a1,a2,as 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。D ：a1,a2,as 中至少有一部分组线性相关。3、向量组 a1,a2,.,as 的秩不为零的充分必要条件是：A：a1,a2,as 中至少有一个非零向量。D：a1,a2,as 中有一个线性无关的部分组。4、n 阶矩阵可逆的充要条件是：A：r(A)=n B：A 的列秩为 n。5、齐次线性方程组 AX=0 是线性方程组 AX=b 的导出组，则 C：u 是 AX=0 的通解，X1 是 AX=b 的特解时，X1+u 是 AX=b 的通解。D ：V1，V2 是 AX=b 的解时，V1-V2是 AX=0 的解。
