1、1线性代数超强总结()0Arnx不 可 逆 有 非 零 解 是 的 特 征 值的 列 （ 行 ） 向 量 线 性 相 关 12()0,TsinArnxApx可 逆 只 有 零 解 的 特 征 值 全 不 为 零的 列 （ 行 ） 向 量 线 性 无 关 是 正 定 矩 阵 与 同 阶 单 位 阵 等 价 是 初 等 阵总 有 唯 一 解R 具 有向 量 组 等 价相 似 矩 阵 反 身 性 、 对 称 性 、 传 递 性矩 阵 合 同 关于 ：12,ne称为 的标准基， 中的自然基，单位坐标向量；:n: 线性无关；12,ne ； ；tr()=E任意一个 维向量都可以用 线性表示.n12,ne2
2、 行列式的计算： 若 都是方阵（不必同阶）,则AB与 (1)mnAABB上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线： (1)21122 111 nnnnnnaaaa 逆矩阵的求法: 1A 1()()EA 初 等 行 变 换 1abdbcdcaTTABCD 1212 1nanaa 21112 naana3 11 12 21n nAAA 1 12121nnAA 方阵的幂的性质： mnA()m 设 ，对 阶矩阵 规定： 为 的一个多项式.110()fxaxax 110()mfAaAaE A 设 的列向量为 , 的列向量为 ， 的列向量为 ,mnsB12,nB12,sAB12,sr12
3、1212 2,(,)(,)(), .ii sTn ni irAsAAbbbBirB 则 ： 即 用 中 简 若 则 单 的 一 个 提即 ： 的 第 个 列 向 量 是 的 列 向 量 的 线 性 组 合 组 合 系 数 就 是 的 各 分 量 ； 高 运 算 速 度 的 第 个 行 向 量 是 的 行 向 量 的 线 性 组 合 组 合 系 数 就 是 的 各 分 量 用对角矩阵 左乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵 右乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,
4、即：1 12 2,k kAB 412kABAB 矩阵方程的解法：设法化成 XXAB(I) 或 (I)当 时,0,ABE 初 等 行 变 换 （ 当 为 一 列 时(I)的 解 法 ： 构 造 ()() 即 为 克 莱 姆 法 则 ）TTAXBI的 解 法 ： 将 等 式 两 边 转 置 化 为 ， 用 (I)的 方 法 求 出 ， 再 转 置 得 和 同解（ 列向量个数相同）,则：AxBAB 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 判断 是 的基础解系的条件：12,s 0Ax 线性无关；12,s 是 的解；s x .()snrA每
5、 个 解 向 量 中 自 由 变 量 的 个 数5 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 向量组 中任一向量 都是此向量组的线性组合.12,ni(1)n 向量组 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.1n向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示.12,n i 维列向量组 线性相关 ；m, ()rAn维列向量组 线性
6、无关 .12n .()0rA 若 线性无关，而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法惟一.12,n 12,n 12,n 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.6向量组等价 和 可以相互线性表示 . 记作：12,n12,n 1212,nn矩阵等价 经过有限次初等变换化为 . 记作：ABAB 矩阵 与 等价 作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.B()r矩阵 与 作为向量组等价 1212()(,)nnrr1212(,)nnr矩阵 与
7、等价.A 向量组 可由向量组 线性表示 .12,s12,n1212(,)nsr12(,)nr12(,)sr12(,)nr 向量组 可由向量组 线性表示,且 ，则 线性相关.sss向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 .12,s 12n 向量组 可由向量组 线性表示,且 ,则两向量组等价；s, 12(,)sr12(,)nr 任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 若 是 矩阵,则 ,若 ， 的行向量线性无关；Amn()minrA()rAm若 ， 的列向量线性无关,即：n线性无关.1
8、2,n7线性方程组的矩阵式 向量式 Ax 12nxx1211122212,nmmnnmaabAx 2,1,jjmj81212 12 0, (), An An nAxAxnxxAxrAn 当 为 方 阵 时当 为 方 阵 时有 无 穷 多 解 有 非 零 解线 性 相 关 有 唯 一 组 解 只 有 零 解可 由 线 性 表 示 有 解 线 性 无 关 12 (), 1(An rAAxr 当 为 方 阵 时 克 莱 姆 法 则 不 可 由 线 性 表 示 无 解 矩阵转置的性质： ()TA()TAB()TkATA()TTAB矩阵可逆的性质： 1()11()11()k111()(T11()kkAA
9、伴随矩阵的性质： 2()nA()AB1()nkA1nA11()ATTA()kAE9() ()110 nrAnrA若若若 ABnkAkA10线性方程组解的性质：121212121212(),0,3, ,(4),0,5, , 06kkAxAxAxAx 是 的 解 也 是 它 的 解是 的 解 对 任 意 也 是 它 的 解 齐 次 方 程 组 是 的 解 对 任 意 个 常 数也 是 它 的 解 是 的 解 是 其 导 出 组 的 解 是 的 解是 的 两 个 解 是 其 导 出 组 的 解 121212 12,(7), ,00kk kxA 是 的 解 则 也 是 它 的 解 是 其 导 出 组
10、的 解是 的 解 则 也 是 的 解是 的 解 设 为 矩阵,若 ,则 ,从而 一定有解.Amn()rAm()r当 时,一定不是唯一解. ,则该向量组线性相关.方 程 个 数 未 知 数 的 个 数向 量 维 数 向 量 个 数是 的上限.()r和 矩阵的秩的性质： ()()TrArA B ()rmin(),r 0Akk 若若 ()rrB 0,A若 则 1 ()0,()mnsrrA若 且 则 n ,PQQ若 可 逆 则 ()ArB若 可 逆 则 ,A若 可 逆 则 且 在矩阵乘法中有左消去律:(),(),rnr若 则110ABC标准正交基 个 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为 1.n
11、.与 正 交 ()0是单位向量 .(,)1 内积的性质： 正定性： (,)0,()且 对称性： 双线性： 1212(,)(,),)(,)(,),)cc施密特 线性无关,123,121233231(,),(,)()正 交 化单位化： 123正交矩阵 .TAE 是正交矩阵的充要条件： 的 个行（列）向量构成 的一组标准正交基.Ann: 正交矩阵的性质： ；1T ；E 是正交阵,则 （或 ）也是正交阵；AT1A 两个正交阵之积仍是正交阵； 正交阵的行列式等于 1 或-1.的特征矩阵 .AEA12的特征多项式 .A()EAf的特征方程 . 0AxAx 与 线 性 相 关 上三角阵、下三角阵、对角阵的特
12、征值就是主对角线上的 各元素.n 若 ,则 为 的特征值,且 的基础解系即为属于 的线性无关的特征向量.0AA0x0 12n 1nitr 若 ,则 一定可分解为 = 、 ,从而()rAA122,nnabb212()nAababA的特征值为： , .112abatr 230n 若 的全部特征值 ， 是多项式,则:A2,n ()fx 的全部特征值为 ；()fA12),(,()nff 当 可逆时, 的全部特征值为 ,1121n的全部特征值为 .12,nAA 11 22, .mmAkkAababEAA是 的 特 征 值 则 :分 别 有 特 征 值 1122, mmAkkababExAxA是 关 于
13、的 特 征 向 量 则 也 是 关 于 的 特 征 向 量 .与 相似 （ 为可逆阵） 记为：AB1PA B: 相似于对角阵的充要条件： 恰有 个线性无关的特征向量. 这时, 为 的特征向量拼成nPA13的矩阵， 为对角阵,主对角线上的元素为 的特征值.1PA A 可对角化的充要条件： 为 的重数.()iinrEkii 若 阶矩阵 有 个互异的特征值,则 与对角阵相似.n与 正交相似 （ 为正交矩阵）AB1PA 相似矩阵的性质： 若 均可逆1B:, T （ 为整数）kAk ,从而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:EBA是 关于 的特征向量, 是 关于 的特征向量.x01PxB0 从而
14、 同时可逆或不可逆A ()rB ()ttr 数量矩阵只与自己相似. 对称矩阵的性质： 特征值全是实数,特征向量是实向量； 与对角矩阵合同； 不同特征值的特征向量必定正交； 重特征值必定有 个线性无关的特征向量；kk 必可用正交矩阵相似对角化（一定有 个线性无关的特征向量, 可能有重nA的特征值,重数= ）.()nrEA可以相似对角化 与对角阵 相似. 记为： （称 是 的 相似标准型 ）AA:A 若 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算） .()r 设 为对应于 的线性无关的特征向量,则有：ii14.1212121212(,)(,)(,),nnnnnPAA 若 , ,则： .AB
15、:CDABCD: 若 ,则 , .()ff:()ff二次型 为对称矩阵 12,TnxXA 12(,)TnXx与 合同 . 记作： （ ）ABTCB:,AC为 对 称 阵 为 可 逆 阵 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. 两个矩阵合同的充分条件是： A 两个矩阵合同的必要条件是： ()rB 经过 化为 标准型.12(,)TnfxX 正 交 变 换合 同 变 换可 逆 线 性 变 换 XCY2121(,)nifxdy 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由 ()rA正 惯 性 指 数 负 惯 性 指 数惟一确定的. 当标准型中的系数 为 1，
16、-1 或 0 时,则为 规范形 .id 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数. 任一实对称矩阵 与惟一对角阵 合同.A110 15 用正交变换法化二次型为标准形: 求出 的特征值、特征向量；A 对 个特征向量单位化、正交化；n 构造 （正交矩阵）, ；C1CA 作变换 ,新的二次型为 , 的主对角上的元素 即为 的XY 2121(,)nifxdy idA特征值.正定二次型 不全为零， .12,nx 12(,)0nfx正定矩阵 正定二次型对应的矩阵. 合同变换不改变二次型的正定性. 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）： 正惯性指数为 ；n 的特征值全大于 ；A0 的所有顺序主子式全大于 ； 合同于 ，即存在可逆矩阵 使 ；EQTAE 存在可逆矩阵 ，使 （从而 ） ；PTA0 存在正交矩阵，使 （ 大于 ）.121T nC i0 成为正定矩阵的必要条件： ； .0iaA
