1、第 1 页 共 34 页线性代数复习要点第一部分 行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1. 行列式的计算： (定义法) 121212121()12 nnnnjn jjjnnaaDa （降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 12 ,0.ijijinjAijaAa第 2 页 共 34 页 (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 1212*0nnbAb第 3
2、 页 共 34 页 若 都是方阵（不必同阶）,则AB与=()mnAOABB1例 计算 2-103-5解 =2-103-5215733- 关于副对角线：(1)21 12 2 11 1 nn nnn naOaaa 范德蒙德行列式： 122112nijjinnnxxx例 计算行列式第 4 页 共 34 页 型公式：ab 1()nabanbb (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. (递推公式法) 对 阶行列式 找出 与 或 , 之间的一种关系称为递推公式，其中nnDn1nD2, , 等结构相同，再由递推公式求出 的方法称为递推公式法.nD12(拆分法) 把某一行（或列）的元素写
3、成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算.第 5 页 共 34 页 (数学归纳法) 第 6 页 共 34 页2. 对于 阶行列式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式；nA1()nknEASkS3. 证明 的方法：0、 ；、反证法；、构造齐次方程组 ，证明其有非零解；0Ax、利用秩，证明 ；()rn、证明 0 是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系： (1)(1)ij ijiji ijiMAM 第 7 页 共 34 页第二部分 矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1. 矩阵的定义 由 个数排成的 行 列的表 称为
4、矩阵.mnn121212nmmnaaA 记作： 或ijmnAa 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. 矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数 与矩阵 的乘积记作 或 ，规定为 .AA()ijac. 矩阵与矩阵相乘：设 , ,则 ，()ijmsa()ijsnBb)ijmnCBc其中121212(,)jijiisijijisjjbcaaba 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式 不成立.0AB或 =0a. 分块对角阵相乘： ,1122,A12AB12nAb. 用对角矩阵 乘一个矩阵,相当于用
5、的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 向量； 左 行第 8 页 共 34 页112111212 22212120n nmmnmmnabbabaBa c. 用对角矩阵 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 向量.右 列121 121122 212 120n mnmmnmmmnbbababaB d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 方阵的幂的性质： ， nA()nnA 矩阵的转置：把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .ATAa. 对称矩阵和反对称矩阵: 是对称矩阵 .T是反对称矩阵 .Ab. 分块矩阵的转置矩阵：TTBCD 伴随矩阵：
6、， 为 中各个元素的代数余子式.1212*12nTijnnAA ij, , .*E*A1分块对角阵的伴随矩阵： *B*(1)(1)mnmnAABB第 9 页 共 34 页2. 逆矩阵的求法 方阵 可逆 .A0伴随矩阵法 ： 1注 1abdbcdca主 换 位副 变 号 初等变换法 1()()AEA 初 等 行 变 换例 求 的逆矩阵.12解 32 321 21323119121003121021006309211209921019r rrrr 191222, 919以矩阵转置的性质： ()TA()TABTA11()TA()TTA矩阵可逆的性质： 1()11()11()kk伴随矩阵的性质： 2(
7、)nA()AB1nA1()A()kk () ()110 nrrAn若若若 k（无条件恒成立）E第 10 页 共 34 页 分块矩阵的逆矩阵： 11AB11ABB1CACOB 11OOC , 1231213aaa 3211123 aaa 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义 ）ABEAB例 设方阵 满足矩阵方程 , 证明 及 都可逆, 并求 及 .A20EA2112EA解 由 得 , 故 可逆, 且 .20E1 1由 也可得 或 , 故 可逆, 且(2)34(2)(3)4EA2.12A(3)43. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的
8、竖0线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在列的其他元素都是 时，0称为 行最简形矩阵第 11 页 共 34 页4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换 初等矩阵 初等矩阵的逆 初等矩阵的行列式( )ijrijc(,)Eij 1(,)(,)Eijij(,)Eij1( )iki ik 1kk( )ijrijck(,)ij ,(),()ijij,()ij矩阵的初等变换和初等矩阵的关系： 对 施行一次初等 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 乘 ；A行 左 A 对 施行一次初等 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 乘 .列 右注意：
9、 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵. 5. 矩阵的秩 关于 矩阵秩的描述：A、 ， 中有 阶子式不为 0， 阶子式 (存在的话) 全部为 0；()rr1r、 ， 的 阶子式全部为 0；、 ， 中存在 阶子式不为 0；()矩阵的秩的性质： ; ; ()AOr1()0AOr()mnrAi(,) ()T rkk 其 中 0 (),() 0mns rABnABr x 若 若 0的 列 向 量 全 部 是 的 解 ()ri, 若 、 可逆，则 ； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩. PQ()()()rAPrQPA 若 ；()()mnxBr BOAC 只 有 零 解
10、在 矩 阵 乘 法 中 有 左 消 去 律第 12 页 共 34 页若 ()()nsrABrB 在 矩 阵 乘 法 中 有 右 消 去 律 . 等价标准型.()r rEOEOA若 与 唯 一 的 等 价 ， 称 为 矩 阵 的 , rAB()rmax(),AB(,)()rB , OrCrrO求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法( )：设法化成 0AAXBXAB(I) 或 (I)第 13 页 共 34 页ABEX 初 等 行 变 换(I)的 解 法 ： 构 造 ()()AEBX 初 等 列 变 换(I的 解 法 ： 构 造TTB(I)的 解 法 ： 将 等 式 两 边 转 置 化
11、 为 ， 用 (I)的 方 法 求 出 ， 再 转 置 得第 14 页 共 34 页第三部分 线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5.线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1.线性表示：对于给定向量组 ，若存在一组数 使得 ，12,n 12,nk 12nkk则称 是 的线性组合，或称称 可由 的线性表示.12n ,线性表示的判别定理: 可由 的线性表示12,n由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程：mn、 有解121212mnma
12、xaxb 、12112212 nmmmaaxbAx、 （全部按列分块，其中 ）；1212nxa 12nb、 （线性表出）12nxax、有解的充要条件： （ 为未知数的个数或维数）(),)rAn第 15 页 共 34 页2. 设 的列向量为 , 的列向量为 ，,mnsAB12,nB12,s则 msC12212 1212, ,sn snnsbbc ，iAc(,)is为 的解iix121212,s ssAc可由 线性表示.sc n即： 的列向量能由 的列向量线性表示， 为系数矩阵.CB同理： 的行向量能由 的行向量线性表示， 为系数矩阵.BA即： 12112212nnmnmaac 12122122n
13、mmnaac 第 16 页 共 34 页3. 线性相关性判别方法：法 1第 17 页 共 34 页法 2法 3推论 线性相关性判别法（归纳）第 18 页 共 34 页 线性相关性的性质 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动） 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 向量组 中任一向量 都是此向量组的线性组合 .12,ni(1)n 若 线性无关，而 线性相关 ,则 可
14、由 线性表示,且表示法唯一.2, 12,n4. 最大无关组相关知识向量组的秩 向量组 的极大无关组所含向量12,n的个数，称为这个向量组的秩.记作 12(,)nr矩阵等价 经过有限次初等变换化为 . AB向量组等价 和 可以相互线性12,n12,n表示. 记作： , 矩阵的行向量组的秩 列向量组的秩 矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.第 19 页 共 34 页 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系 向量组 可由向量组 线性表示,且 ，则 线性相关.12,s12,nsn12,s向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 .s 向量组 可由向量组 线性表示,且
15、 ,则两向量组等价；12,s12,n 12(,)sr12(,)nr 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 设 是 矩阵,若 ， 的行向量线性无关；Amn()rAm5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式 向量式 x12nxx其中 1211122212,nmmnnmaabAx 2,jjmj（1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质：121212121212(),3, ,(4), ,5, ,6kkAxAxAxAx 是 的 解 也 是 它 的 解是 的 解
16、对 任 意 也 是 它 的 解 齐 次 方 程 组 是 的 解 对 任 意 个 常 数 也 是 它 的 解 是 的 解 是 其 导 出 组 的 解 是 的 解是 的 两 个 解 是 其 导 出 组 的 解 121212 12,(7), , 100kk kxxA 是 的 解 则 也 是 它 的 解 是 其 导 出 组 的 解是 的 解 则 也 是 的 解是 的 解第 20 页 共 34 页(3) 判断 是 的基础解系的条件：12,s Ax 线性无关；12,s 都是 的解；s x .()snrA每 个 解 向 量 中 自 由 未 知 量 的 个 数(4) 求非齐次线性方程组 Ax = b 的通解的
17、步骤 1212(1()2)(3)40,.,(5)ArbrnnxbAxxbxk 0n-r0将 增 广 矩 阵 通 过 初 等 行 变 换 化 为 ；当 时 ， 把 不 是 首 非 零 元 所 在 列 对 应 的 个 变 量 作 为 自 由 元 ；令 所 有 自 由 元 为 零 ， 求 得 的 一 个 ；不 计 最 后 一 列 ， 分 别 令 一 个 自 由 元 为 ， 其 余 自 由 元 为 零 ， 得 到 的 ;写 出 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 阶 梯 形 矩 阵特 解基 础 解 系 通 解2.,. nrnrk其 中 为 任 意 常 数第 21 页 共 34 页例 求下述方程组的解1
18、23457,26xx解 ,19021173(,)32320610Ab 由于 ，知线性方程组有无穷多解 . ()25r原方程组等价于方程组 ,13542923xx令 34510,.1x求得等价方程组对应的奇次方程组的基础解系 123021,.00求特解: 令 ，得 故特解为 3450x1293,.x923.0所以方程组的通解为 ，（ 为任意常数）.123092100xkk123,k第 22 页 共 34 页（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. 若 是 的一个解， 是 的一个解 线性无关Ax1,s Ax1,s 与 同解（ 列向量个数相同） , 且有结果：B,B()rArB 它们的极大
19、无关组相对应,从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 矩阵 与 的行向量组等价 齐次方程组 与 同解 （左乘可逆矩阵 ）；mnAlBAxBPABP矩阵 与 的列向量组等价 （右乘可逆矩阵 ）.l QQ第 23 页 共 34 页第四部分 方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1. 标准正交基 个 维线性无关的向量 ,两两正交,每个向量长度为 1.n 向量 与 的内积 12,Tna 12,Tnb 121(,)ni nabab . 记为：与 正 交 (,)0 向量 的长度
20、12,Tna 22211(,)ni naa 是单位向量 . 即长度为 的向量.(,)12. 内积的性质： 正定性： 0,()且 对称性： (,) 线性性： 1212(,)(,)(,)k3. 设 A 是一个 n 阶方阵, 若存在数 和 n 维非零列向量 , 使得x，Ax则称 是方阵 A 的一个特征值， 为方阵 A 的对应于特征值 的一个特征向量. 的特征矩阵 （或 ） .0E0E 的特征多项式 （或 ）.()() 是矩阵 的特征多项式()AAO ， 称为矩阵 的 迹 .12n 1nitrA 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的 各元素.n 若 ,则 为 的特征值,且 的基础解系即为
21、属于 的线性无关的特征向量.0AAx0第 24 页 共 34 页 一定可分解为 = 、 ,从而 的特征值()1rAA122,nnabb212()nAababA为： , .112abatr 23n 0为 各行的公比， 为 各列的公比.注 2,Tn A1,nb A 若 的全部特征值 ， 是多项式,则:A12,n ()f 若 满足 的任何一个特征值必满足fO()if0 的全部特征值为 ； .()f 12(),()nff 12()nAff 与 有相同的特征值，但特征向量不一定相同.AT4. 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵 A 的特征方程 ，求出特征值 .0Ei(2) 根据 得到 A 对应于特征
22、值 的特征向量.()0iExi设 的基础解系为 其中 .i 12,inr ()iirAE则 A 对应于特征值 的全部特征向量为 i 12,iinrkk其中 为任意不全为零的数 . 12,inrk例 求 的特征值和全部特征向量.043A解 第一步：写出矩阵 A 的特征方程，求出特征值 .21()()0431E解得特征值为 123,.第二步：对每个特征值 代数齐次线性方程组 ，求其非零解,即对应于特征值 的全部特征向量.()0AEx当 时，齐次线性方程组为 ,系数矩阵()x第 25 页 共 34 页110034AE得基础解系: ，故对应于特征值 的全部特征向量为 .1P11(0)kP当 时，齐次线
23、性方程组为 ,系数矩阵2(2)0AEx414100AE得基础解系: ， .21P34故对应于特征值 的全部特征向量为 ， 其中 不全为零.23kP23,k5. 与 相似 （ 为可逆矩阵）AB1PAB 与 正交相似 （ 为正交矩阵） 可以相似对角化 与对角阵 相似.（称 是 的 相似标准形 ）A6. 相似矩阵的性质： ,从而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.EABA是 关于 的特征向量 , 是 关于 的特征向量 .注 01PB0 tr 从而 同时可逆或不可逆AB, ()r若 与 相似, 则 的多项式 与 的多项式 相似.A()fB()fA7. 矩阵对角化的判定方法 n 阶矩阵 A 可对角化
24、 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.这时, 为 的特征向量拼成的矩阵， 为对角阵,主对角线上的元素为 的特征值.P1PA第 26 页 共 34 页设 为对应于 的线性无关的特征向量,则有：ii.121nPA 可相似对角化 ，其中 为 的重数 恰有 个线性无关的特征向量. A()iinrEAkiiA：当 为 的重的特征值时， 可相似对角化 的重数 基础解系的个数.注 i0i ()nrx 若 阶矩阵 有 个互异的特征值 可相似对角化.n8. 实对称矩阵的性质： 特征值全是实数,特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交；：对于普通方阵，不同特征值对应
25、的特征向量线性无关；注 一定有 个线性无关的特征向量. 若 有重的特征值,该特征值 的重数= ；nAi()inrEA 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 两个实对称矩阵相似 有相同的特征值.9. 正交矩阵 TAE正交矩阵的性质： ；1 ；TAE 正交阵的行列式等于 1 或-1； 是正交阵,则 ， 也是正交阵；T 两个正交阵之积仍是正交阵； 的行（列）向量都是单位正交向量组.A第 27 页 共 34 页10. 例 实对称阵 ，求正交阵 ，使得 为对角阵. 1203AQA1解 22(1)2(5)00E所以
26、 A 的特征值为 ， ， ，123当 时，解 ，得基础解系为1()Ex1(2,)Tx当 时，解 ，得基础解系为2 0当 时，解 ，得基础解系为35()Ax3(,)Tx令 12,3Txy212(,)Ty312(,)Ty第 28 页 共 34 页令 ，则123213(,)23Qy 10521AQT11. 施密特正交规范化 线性无关,123,121233231(,),(,)()正 交 化单位化： 123技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量. 第 29 页 共 34 页第四部分 二次型1. 二次型及其矩阵形式2. 二次型
27、向标准形转化的三种方式3. 正定矩阵的判定1. 二次型 121212 121 12(,)(,)nn Tij ni nnaaxfxaxxA 其中 为对称矩阵，A12(,)Tn 与 合同 . （ ）BTCB,AC为 实 对 称 矩 阵 为 可 逆 矩 阵 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数 负惯性指数 二次型的规范形中负项项数p rp符号差 ( 为二次型的秩)2pr 两个矩阵合同 它们有相同的正负惯性指数 他们的秩与正惯性指数分别相等. 两个矩阵合同的充分条件是： 与 B等价A 两个矩阵合同的必要条件是： ()r2. 经过 化为 标准形 .12(,)Tnfxx正 交 变 换 合 同 变 换可 逆 线 性 变 换 xCy21nifdy 正交变换法第 30 页 共 34 页 配方法（1）若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，ixix直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;（2） 若二次型中不含有平方项，但是 ( ), 则先作可逆线性变换0ijaij,1,2iijjkxynkij 且化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方法配方.
